远期与期货定价课件

1、远期与期货定价,第6章,Determination of Forward and Futures Prices,1,远期与期货定价,第一节 利率与连续复利率,一、单利,对利息不再计算利息，计算公式是： I=Anr F=A(1+nr) 式中，I为利息额，A为本金现值，r为每期利率，n为计息期数，F为本利和(终值,1+r)n也称为复利终值系数,复利是一种将上期利息转为本金并一并计息的方法。假设金额A 以利率r 投资了n 期，投资的终值是,二、复利,2,远期与期货定价,三、连续复利,一定期限内提高计复利的频率会对复利终值产生影响。若R为年利率，则式,说明一年复利一次的计算，其中A为投资额(本金现值,

2、设一年内计m次复利，年利率为R，投资期限为n年，则终值为,我们通常所说的利率为年利率。但每期不一定恰好是一年，一年可分为2期、4期等。此时，表示出的年利率为名义利率(每年复利n 次的年利率,3,远期与期货定价,终值为,如果将计息次数m不断扩大，即计息频率不断提高，直到变为无穷大，我们称之为连续复利(continuous compounding,若A=100, R0.10, n1，以连续复利计终值为100e0.1110.52元,4,远期与期货定价,四、利率之间的转换,在计息利率(名义)相同时，以连续复利计息的终值最大；在终值相同时，连续复利的计息利率最小,如果Rc是连续复利的利率， Rm为与之等

3、价每年计m次复利的利率(以年利率表示)，则有,所以,5,远期与期货定价,由此得出,如果分别为m1次与m2次复利的频率，则有,6,远期与期货定价,根据题意已知，m=2，Rm0.10， Rc2ln(1+0.1/2)0.09758，即连续复利的年息应为9.758,例： 某特定金额的年息为10%，每半年复利一次(半年计息一次)，求一个等价的连续复利的利率,例： 假设某债务人借款的利息为年息8，按连续复利计息。而实际上利息是一年支付一次。则一年计一次息(m1)的等价年利率为,即年利率为8.33，这说明，对于1000元的借款，该债务人在年底要支付83.3元的利息,7,远期与期货定价,五、现值与贴现,现值的

4、计算过程通常被称作贴现，所用的利率称为贴现率,一)现值,按贴现率r 计算，n 期后得到的金额F 的现值计算公式为,被称作现值系数,二)连续复利现值,在连续复利现值的情况下，按贴现率r 计算，n 年（期）后得到F 元的现值计算公式为,8,远期与期货定价,第二节 投资性商品的远期/期货合约定价,所谓投资性商品(Investment assets)系指投资者持有的、用于投资目的的商品(如股票、债券、黄金、白银等,消费性商品（Consumption assets）则主要是用于消费的商品，这类商品一般不用于投资性目的（如铜、石油等,9,远期与期货定价,忽略远期与期货价格的区别。因此，讨论中所使用的符号一

5、般既适应远期价格又适应期货价格的分析,符号的界定： T：远期合约至到期时的时间间隔(年)； S：远期合约标的资产的即期价格； F：远期价格； K：远期合约中的交割价格； f：持有远期合约多头的合约价值 r：无风险利率,一、假设与符号界定,1.交易费用为零； 2.所有交易的净利润适用同一税率； 3.参与者能够随时以相同的无风险利率借入和贷出资金； 4.当套利机会出现时，市场参与者将主动、迅速地参与套利活动,10,远期与期货定价,二、不支付收益的投资资产远期价格,最基本、最易理解的类型,例如,期限内不支付任何红利的股票以及贴现债券（零息票债券）或不考虑持有成本的黄金等资产,11,远期与期货定价,当

6、已知连续复利时,1.引例,若黄金的当前价格为$1500，一年后到期的黄金远期合约价格为$1600。一年期无风险利率为4%(年复利率)，不考虑黄金的持有成本与交易成本。此时，是否存在套利机会？若其他条件不变，远期价格变为$1520，此时是否存在套利机会,结论：合约到期期限内不支付收益资产的当前价格为S，到期期限为T 年的远期价格为F，无风险利率（年复利利率）为r，则有,12,远期与期货定价,2.一般分析,资产即期价格S，远期合约到期时间T，r是无风险利率(连续复利)，F 为远期价格。构造如下两个投资组合,投资组合A：即期购买1单位资产 投资组合B：1单位标的资产的远期合约多头+ 数量为Fe-rT

7、 的现金,组合B中，现金以无风险利率投资，时间T后其价值为F，正好用来交割合约购买1单位资产。组合B实际上是通过合约多头和现金组合复制了组合A中的1单位资产,在时间T后，组合A、B的价值相同。即期购买两种组合的成本应该相等，因而,13,远期与期货定价,Another way of seeing this result, consider the following strategy: Buy one unit of the asset and enter into a short forward contract to sell it for F0 at time T. This costs

8、S0 and is certain to lead to a cash inflow of F0 at time T. S0 must therefore equal the present value of F0; that is S0=F0e-rT, or equivalently F0 = S0erT,14,远期与期货定价,3.套利分析,假定F SerT ，投资者可以,1)以无风险利率r 即期借入S，期限为T，并购买1单位资产,2)卖出1单位标的资产的远期合约,在时间T 后，将资产按远期合约规定价格F 卖掉，同时归还借款本息SerT ，实现无风险利润,若F SerT ，投资者可以,1)卖

9、空1单位资产，将所得S 以无风险利率r 进行投资，期限为T,2)购买1单位标的资产的远期合约,在时间T 后，以价格F 交割单位资产，补回卖空的资产。可实现无风险利润,15,远期与期货定价,讨论1，若F55 套利者可以8的无风险年利率借入50元，买一股股票，并在远期市场卖出合约。3个月后套利者卖出股票获55元，归还贷款总额51.01元。锁定收益为5551.013.99元,例 购买一份3个月的股票远期合约，股价为50元，3个月期的无风险利率(连续复利)为8。 S50, r0.08, T0.25. 理论远期价格F50e 0.080.25 51.01,讨论2，若F49 套利者卖空股票，将所得收入进行投

10、资，并购买3个月远期合约。收入以无风险利率投资3个月可得51.01元。此时套利者支付49元，交割合约股票，再将股票补回空头头寸，净收益为51.01492.01元,因此，在无套利的前提下，远期价格一定是51.01元,16,远期与期货定价,三、已知现金收益的投资资产的远期价格,1.一般结论,其中I为标的资产在远期合约有效期间所支付的收益现值(之和,有些投资资产，如附息债券或支付已知红利的股票，在持有期限内可提供完全预测的现金收益,17,远期与期货定价,2.一般分析,投资组合A：一个远期合约多头+数额为Fe-rT的现金 投资组合B：一个单位的证券+现值为I的负债,合约到期时，两个组合均为一单位的标的

11、资产,在时间T后，组合A、B的价值相同。即期购买两种组合的成本应该相等，因而,18,远期与期货定价,Buy one unit of the asset and enter into a short forward contract to sell it for F0 at time T. This costs S0 and is certain to lead to a cash inflow of F0 at time T and income with a present value of I. The initial outflow is S0, the present value of

12、 the inflows is F0e-rT+I. Hence S0=F0e-rT+I or equivalently F0 = (S0-I)erT,Another way of seeing this result, consider the following strategy,19,远期与期货定价,假定 F （S-I）erT (1)以无风险利率r借入S，期限为T，并购买1单位资产； (2)卖出1单位标的资产的远期合约； (3)将期间获取的现金收益以无风险利率投资,3.套利分析,若F （S-I）erT,在时间T后，将资产按价格F卖掉。现金收益的终值为IerT 。归还借款本息SerT 后，实

13、现现金净流入0,在时间T后，以价格F交割单位资产，补回卖空的资产，并需支付现金收益IerT 。这样，在时刻T实现现金净流入(利润)0,1)卖空1单位资产，将所得收入S以无风险利率r投资，期限为T (2)购买1单位标的资产的远期合约,20,远期与期货定价,案例分析 面值1000元债券当前价格为900元，息票利率为8，每半年付息一次。若远期合约期限为1年，债券在5年之后到期。在合约有效期限内该债券共支付两次利息，其中第二次付息日是远期合约交割日的前一天。6个月期和1年期连续复利的无风险年利率分别为9和10。 求理论远期/期货价格,债券利息的现值： I=40e-0.090.5+40e-0.11=38

14、.24+36.19=74.43 远期价格：F=(900.00-74.43)e0.11912.39元,21,远期与期货定价,讨论1：若远期价格为920元,借入900元购买债券，并开立远期合约空头。该债券在6个月之后支付40美元现金收益，其现值为：40e-0.090.5 =38.24,在900元中，38.24元可以以9的年利率借入6个月，在首次付息日收到40元之后偿还本金和利息，余下的861.76元则须以10的年利率借入1年。1年后所归还的本利和为：861.76e0.11952.39,债券第二次付息收到40元，以远期合约价格卖出债券可获920元，净盈利为40+920952.397.67元,讨论2：

15、若远期价格为910元（略,22,远期与期货定价,四、已知红利率(Known Yield)投资资产远期价格,已知红利收益率系指表示为资产价格百分比的收益是已知的。如货币、股票指数等可以认为属该类资产,1.一般性结论,假设已知收益率为q，则有,投资组合A：即期购买 单位资产 投资组合B：1单位该标的资产的远期合约多头+ 的现金,投资组合A在T时间后正好等于1单位资产。投资组合B中的现金以无风险利率投资，T时间后正好可以用于交割一单位资产。即时间T后，投资组合A和B具有相同的价值。期初价值也应相同,23,远期与期货定价,2.套利分析,如果F Se(r-q)T，套利者可以买入资产，卖出远期合约来实现无

16、风险利润：F- Se(r-q)T,如果FSe(r-q)T，套利者可以买进远期合约，卖空资产，在T时刻获得无风险利润：Se(r-q)T -F,假设一个6个月期某资产的远期合约，该资产预期提供年率6%的连续红利收益率，无风险利率为每年10%(连续复利)，资产当前价格为60元。此时，S60 ，r0.1 ，T0.5 ，q0.06，则该合约的远期价格为： F60e(0.1-0.06)*0.5 =61.22元,24,远期与期货定价,五、考虑储存成本的投资类商品远期价格,对于商品期货范畴下的投资类商品，如黄金、白银等，如果不考虑存储成本，可以视为不支付收益的投资类商品，其远期价格为,F = SerT,若考虑

17、存储成本。存储成本可视为负收益。设U为合约有效期间所有存储成本的现值，则有远期价格,F = (S+U)erT,或 F = Se(r+u)T,u为存储成本与现货价格的比例,25,远期与期货定价,假设有黄金的一年期远期合约。黄金的存储成本为每年每盎司2美元，规定在年底支付。若黄金现货价格为1050美元，连续复利的无风险利率为每年7%。试求理论远期价格,于是：r=0.07，S=1050，T=1,首先计算储存成本的现值：U= 2e-0.07 =1.865,远期价格为F = (S+U)erT,(1050+1.865)e0.07,26,远期与期货定价,对于持有目的主要不是投资的商品，前面的价格分析应做调整

18、,持有消费类商品(库存)不是因为其具有投资价值，而是因为具有消费价值，能够为其正常的生产经营或消费提供较大的便利，并且存在可能的现货市场盈利机会。 这些好处被称之为便利收益(convenience yield,所以，若存在上述套利机会，他们可能不会积极主动地出售商品购买期货合约，因为期货(远期)合约不能用作即时的消费或带来所需的便利,第三节 消费性商品远期价格确定,27,远期与期货定价,当 F (S+U)erT 时，无论是消费类商品合约还是投资类商品合约都不可能存在，因为套利者可以卖出远期合约而购买现货进行套利，同时不会失去便利收益,而当F (S+U)erT 时，对于消费类商品合约而言则由于便

19、利收益的存在而有可能长期存在。所以，对于消费类商品及远期价格，有,F (S+U)erT,若便利收益率为y(以连续复利表示)，则,或,28,远期与期货定价,持有成本,对于任何合约，其与现货价格之间的关系可以用持有成本(cost of carry)来描述总结,持有成本定义为商品的存储成本与购买资产的融资成本(利息)之和减去资产的收益之值,就不支付红利的股票或零息票债券而言，由于无存存储成本和任何收益，其持有成本体现为r,对于股票指数或外币等商品，持有成本则体现为r-q(资产的收益率为q,对于考虑储存成本的商品而言，持有成本体现为资金成本r及储存成本U,等,29,远期与期货定价,设持有成本率为c。对

20、于投资性资产，远期价格为,对于消费性资产，远期价格为,c为年复利率时,c和y均为年复利率时,或,或,期货理论价格=现货价格+持有成本,30,远期与期货定价,第四节 远期合约估价,根据无套利均衡理论，远期合约的均衡价格是保证开仓时合约价值为零的价格。 但在开仓之后，远期合约的价值将会因远期价格的变化而不可能长久保持为零,一般性远期合约的估价方法(多头,当f0时，远期合约价值为0。 当f 0时，交割价格为K的期货合约多头头寸具有价值。 当f 0时，交割价格为K的期货合约空头头寸具有价值,31,远期与期货定价,1）将上述公式与 结合，可得到不支付收益的投资资产的远期合约价值(多头，下同)为： （2）

21、与公式 结合，可以得到已知现金收益（现值为I）投资资产的远期合约价值为： （3）与公式 结合，可以得到已知红利率为q的投资资产的远期合约价值为,32,远期与期货定价,远期价格： F26e0.10.527.33美元 交割价格为K的期货合约价值： f(FK)e-0.10.5（27.3325）e-0.10.5 2.22美元 或： fSKe-rT2625e-0.10.52.22美元,案例 假设一个6个月期的远期合约多头头寸，标的资产为在合约有效期内不支付红利的股票，连续复利的无风险年利率为10，股票价格S为26美元，交割价格K为25美元。试求远期合约价值,33,远期与期货定价,第五节 几类重要的期货定

22、价,一、关于远期价格与期货价格,远期价格应与期货价格存在一定差别，这主要是由于结算方式的不同所导致。 理论已证明：当无风险利率在合约期限内保持不变，或者利率完全可预测时(利率是一个已知的时间的函数)，两个交割日相同的远期与期货合约有同样的价格,34,远期与期货定价,实际上利率会经常出现波动。 若现货价格与利率正相关，期货价格应高于远期价格；现货价格与利率负相关性时，期货价格应低于远期价格。 另外，还有一些影响因素，如税收、交易成本与保证金因素等； 同时，违约风险的不同、期货合约流动性高的不同等事实，同样也是造成二者可能存在差异的原因之一。 不过，有效期较短(如几个月)的远期价格与期货价格之间的

23、理论差异微乎其微，在大数情况下可以忽略不计,35,远期与期货定价,二、股票指数期货定价 股票指数可以看成证券的组合，持有组合证券的投资者可得到红利，即计算指数的各种股票的平均红利。股票指数的期货可以视作支付已知红利收益率的资产。 如果指数中股票组合收到的红利金额总数及时间分布可以测算，也可视股票指数期货合约为已知收益的证券。 或,36,远期与期货定价,考虑一个SP500指数的3个月期期货合约。假设用来计算指数的股票的红利收益率为每年3%，指数现值为400，连续复利的无风险利率为每年8%。此时， r=0.08, S=400, T=0.25, q=0,03 则期货价格F为,实际上，计算指数的股票组

24、合的红利收益率可能每周都在变化。 q值应代表合约有效期间的平均红利年收益率,37,远期与期货定价,三、货币期货定价,主要的自由货币都有远期/期货交易，如美元、英镑、日元、加拿大元、欧元等期货合约。 外汇期货合约的价格通常是用1单位外币相当于若干本币来表示。以S表示某种货币折合成本币的即期价格，也就是期货合约标的物的市场价格，由于持有任何一种外币都能使持有者获得该货币的无风险利率，以rf 表示按连续复利计息的外汇的无风险利率,反映了外汇期货理论价格，是国际金融领域著名的利率平价关系,38,远期与期货定价,四、利率期货定价,利率期货合约是标的资产价格依附于利率水平的期货合约。即利率期货合约的标的物

25、为利息率产品。 利息率产品是在信用活动中产生的、以利率来标价借贷资金的用以证明债权债务关系的书面凭证。如商业票据(本票、汇票等)、银行存款凭证、债券等。 在期货市场上常作为标的物的短期利息率产品主要包括国库券(短期国债)、商业票据、可转让定期存单、回购协议、欧洲货币(之定期存单)等。作为期货标的物的长期利息率产品主要包括中长期国债等,39,远期与期货定价,一)短期国债及其期货,1.短期国债报价 短期国债(国库券)报价是指面值为100美元的短期国债的标价。报价方式与一般商品的报价方式有较大差别：短期国债报价实际报出的是一种贴现率(年贴现率)，它衡量短期国债在360天内提供的以年来计算的收益水平，

26、用占面值的百分比来表示。 提示:短期国债按“实际天数/360天”的天数计算惯例来计算利息,假定Y为面值为100，距到期日还有n天的短期国债的现金价格(买卖/交易价格)，则其报价为,若已知报价，则债券交易价格为,40,远期与期货定价,例如：对于一个90天的短期国债来说，如果现货价格Y为98,注意上述国债报价的贴现率与短期国债获得的收益率并不相同。前者是按贴现利息(收益)与终值(面值)的比较方式计算，而后者是按收益与成本的比较方式来计算的。 如上例：债券收益率为2/98，即每90天的收益率为2.04%，全年收益率则为:42.04%=8.16%。而国债报价的贴现率则为折扣值(年)与面值的比较,则该国

27、债的报价为8(即8,41,远期与期货定价,2.短期国债期货报价,若Y为短期国债的现金价格，则,短期国债期货以3个月(13周，一般为90天)后到期的国债为标的物(以贴现形式发行)。显然，期货合约到期日前，标的资产是期限长于90天的短期国债。短期国债期货采用指数报价形式,短期国债期货报价Q=100-相应的短期国债的报价q,If n=90, Q=100-4(100-Y) Thus: Y=100-0.25(100-Q,42,远期与期货定价,每一张期货合约的标的物为100万美元的短期国债，所以每张合约的现金价格为10000100-0.25(100-Q) 若短期国债期货最后交易日的收盘报价为94，对应于每

28、张面值为100的90天短期国债的合约价格为100-0.25(100-94)=98.5，则每张合约的交易价格为985000美元,43,远期与期货定价,The underlying asset of the most popular Eurodollar Futures contract is three-month(90 days) Eurodollar CD (Certificate of Deposit) /interest rate. The 3-month Eurodollar futures allow an investor to lock in an interest rate o

29、n $1 million for a future 3-month period. The 3-month period to which the interest rate applies starts on the third Wednesday of the delivery month. The Eurodollar interest rate is the rate of interest earned on Eurodollars deposited by one bank with another bank. It is essentially the same as the L

30、IBOR,Eurodollar Futures,远期与期货定价,If Q is the quoted price of a Eurodollar futures contract (refers to the face value of 100), RF is the interest rate of the corresponding Eurodollars CD of the contract (in fact, it is a forward/futures rate) , Q=100- RF The cash price (implied) of one contract is (de

31、fined)The face value of one Eurodollar futures contract is $1 million 10,000100-0.25(100-Q) A change of one basis point or 0.01 in a Eurodollar futures quote corresponds to a contract price change of $25,远期与期货定价,A Eurodollar futures contract is settled in cash. When it expires (on the third Wednesda

32、y of the delivery month) Q is set equal to 100 minus the actual 3-month Eurodollar interest rate (actual/360) on that day and all contracts are closed out,远期与期货定价,If the settlement price of one Eurodollar futures contract, Q is 95.53 (the corresponding Eurodollar interest rate RF is 4.47), the cash

33、price (implied) of one contract is : 10000100-0.25(100-95.53) =10000(100-0.25*4.47)=988825 When the third Wednesday of the delivery month is reached the contract is settled in cash. The final marking to market sets Q equal to 100-R, where R is the actual three-month Eurodollar interest rate on that

34、day. The cash price of one contract is 10000100-0.25(100-Q)= 10000(100-0.25R). If the interest rate is 8% on that day, the price =10000(100-0.258) =980,000,Example,远期与期货定价,二)中长期国债期货,中长期国债期货是重要的利率期货类型，尤其是长期国债，是交易最活跃的期货之一,目前美国乃至国际金融市场最普遍的长期利率期货合约是CBOT交易的长期国债利率期货。 规定：合约交割月份第一天期限超过15年以上的并从那天起15年内不可回赎的任何

35、政府债券均可以进行交割。 中期国债期货主要包括三个品种：10年期、5年期、2年期中期国债,48,远期与期货定价,1.长期国债及期货的报价,中长期国债及期货的报价方式基本类似，这里以美国长期国债为例。 (1)长期国债的报价 美国长期国债的价格以美元和1/32美元为单位报出，所报的价格是面值100美元债券的价格。如，若报价为90-05，则意味着每100美元面值的该种债券的价格为 美元。 但报价与购买者支付的现金价格并不相同，报价称之为净价(clean price)，而现金价格则为全价(dirty price)。 现金价格(cash price)= 报价+上一个付息日以来的累计利息 美国长期国债采用

36、“实际天数/实际天数”的方法计算期间内的利息,49,远期与期货定价,2)长期国债期货报价,长期国债期货的报价与长期国债本身的报价方式相类似。即若报价为98-22，则意味着每100美元面值的该种债券的期货报价为 。 每一张期货合约包含交割10万美元债券面值的债券,期货合约的报价以标准债券为标的物。这是一种“假设性”国债。交割时并不以此标准债券进行交割。 在美国，标准债券设定为到期期限20年、票面利率为6%的债券。即长期债券期货报价是这种债券的报价，而不是其他现实中存在的债券,长期国债期货合约规定，到期时空头方有权选择交割任何期限长于15年且在15内不可回赎的债券。在任何日，可能有数十种合乎标准的

37、债券可以选择交割,50,远期与期货定价,2.转换因子(conversion factor,转换因子是将交易所公布的标准债券期货的报价转换为特定债券报价的系数，即可使长期标准国债的价格与各种不同息票率及到期限期的可用于交割的债券价格具有可比性的折算比率，是一种价格转换系数。实践中，为每一个现实中存在且符合交割条件的长期国债定出一个转换因子表示其与标准国债期货报价之间的价格关系。通过转换因子的调整，可使各种不同期限和不同息票率的可交割债券的价格折算成标准化债券价格的一定倍数,特定长期国债的期货交割价格= 期货报价交割债券的转换因子+交割时债券的累计利息(上次付息以来,假设有一长期国债期货合约到期，空头方准备以某一国债进行交割。当日的期货价格为95(即面额的95%)，该国债的转换因子为1