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1、第二章 2.3 双曲线双曲线标准方程(焦点在轴)标准方程(焦点在轴)定义第一定义:平面内与两个定点,的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫焦距。PP第二定义:平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数,当时,动点的轨迹是双曲线。定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数()叫做双曲线的离心率。PPPP范围,对称轴轴 ,轴;实轴长为,虚轴长为对称中心原点焦点坐标 焦点在实轴上,;焦距:顶点坐标(,0) (,0)(0, ,) (0,)离心率1)准线方程准线垂直于实轴且在两顶点的内侧;两准线间的距离:顶点到准线的距离顶点()到准线()
2、的距离为顶点()到准线()的距离为焦点到准线的距离焦点()到准线()的距离为焦点()到准线()的距离为渐近线方程 共渐近线的双曲线系方程()()1. 双曲线的定义1 当|MF1|MF2|=2a时,则表示点在双曲线右支上; 当时,则表示点在双曲线左支上;2 注意定义中的“(小于)”这一限制条件,其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。 若2a=2时,即,当,动点轨迹是以为端点向右延伸的一条射线;当时,动点轨迹是以为端点向左延伸的一条射线;若2a2时,动点轨迹不存在.2. 双曲线的标准方程判别方法是:如果项的系数是正数,则焦点在x轴上;如果项的系数是正数,则焦点在y轴上.对于双曲线,a不一定大于
3、b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.3. 双曲线的内外部 (1)点在双曲线的内部. (2)点在双曲线的外部.4. 形如的方程可化为当,双曲线的焦点在轴上;当,双曲线的焦点在轴上;5.求双曲线的标准方程, 应注意两个问题: 正确判断焦点的位置; 设出标准方程后,运用待定系数法求解.6. 离心率与渐近线之间的关系1) 2) 7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线方程为渐近线方程:.(2)若渐近线方程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线,可设为(,焦点在x轴上,焦点在y轴上).(4)与双曲线共渐近线的双曲线系方程是(5)与双曲线共焦点的双曲线系方
4、程是(6)当离心率两渐近线互相垂直,分别为y=,此时双曲线为等轴双曲线,可设为;8. 双曲线的切线方程(1)双曲线上一点处的切线方程是.(2)过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.(3)双曲线与直线相切的条件是.9. 直线与双曲线的位置关系直线: 双曲线C:(0,0) 1) 当,即时,直线与双曲线的渐进线_平行_,直线与双曲线C相交于一点;2) 当b2-a2k20,即时,=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2)1 时,直线与双曲线相交,有两个公共点2 时,直线与双曲线相切,有且仅有一个公共点3 时,直线与双曲线相离,无公共点3) 直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线必相切吗?为什么?(不一定)10. 关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法直线: 双曲线C:(0,0)1 联立方程法: 设交点坐标为,,则有,以及,还可进一步求出, 在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如a. 相交弦AB的弦长 或 b. 中点, , 2 点差法:设交点坐标为
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