求异面直线的距离是立体几何的一个难点

1、求异面直线的距离是立体几何的一个难点，其主要原因是公垂线段较难找，那么如何求异面直线的距离呢？为帮助同学们学好这一内容，本文系统地介绍一些求异面直线距离的常用方法，望能达到开拓思路、扩大视野的目的。一、直接法直接法就是根据两条异面直线间距离的定义，直接找出其公垂线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。例1：如图1，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EACD1B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45，AB=a。求异面直线A1B1与AC之间的距离。（图1）解：连结DB，设DBAC于点O，由题设ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，可知A1A底面ABCD。A1AAC

2、。又A1AA1B1，A1A是异面直线A1B1与AC的公垂线段。由面EAC与底面ABCD所成的角为45，易知DOE=45。又截面EACD1B，且面D1BD与面EAC的交线为EO，D1BEO。DOE=DBD1=45。D1D=DB=a。D1D=AA1，异面直线A1B1与AC之间的距离为a。其次，若两条异面直线a、b互相垂直，则可通过一条(如a)作另一条(如b)的垂面，得垂足，然后可过垂足在内作出公垂线段。例2：如图2，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线DB1与AC间的距离。（图2）解：由三垂线定理可知，ACDB1。连结DB，则平面DBB1为过DB1且与AC垂直的平面，交点为O。过

3、点O作OHDB1，垂足为H，于是线段OH为异面直线DB1与AC的公垂线段。由RtDBB1RtDHO，得OHB1B=DODB1。OH=DOB1BDB1=6。所以异面直线DB1与AC间的距离为6。二、间接法间接法就是当直接法不便于求解时，利用已知条件进行间接求解或证明的方法。(1)线面距离法线面距离法就是选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，则此直线与平面的距离即为所求异面直线间的距离。例3：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=3，AA1=4，求异面直践AB与A1C间的距离。解法1：如图3，连结A1D，由ABDC，得AB面A1DC。故AB到A1DC的距离即为AB与A1

4、C间的距离。由面A1D面A1DC及面A1DAB，故可在面A1D内从A作AEA1D于点E，则AE即为AB到面A1DC的距离，也即为异面直线AB与A1C间的距离。由ADAA1=A1DAE，可得AE=125。（图3）(2)体积法体积法就是构造棱锥，把线面距离看作是某个棱锥的高，利用棱锥体积的不变性，列方程求解。例3的解法2：在图3中，由VA-A1DC=VA1-ADC，设点A到面A1DC的距离为h。由解法1的分析可知h即为异面直线AB与A1C的距离，则有13hSA1DC=13AA1SADC。(3)极值法极值法就是把两条异面直线间的距离表示成某一个变量的函数，进而通过求函数的最小值来达到解题目的。例3的

5、解法3：如图3，在直线A1C上任取一点F，作FGAC于点G，作GHAB于点H，连结FH，由于面A1AC面AC，由三垂线定理知FHAB。设AH=x，因ABCAHG及CFGCA1A，则GH=32x，FG=4-2x。当x=3225时，FH的最小值为125。即异面直线AB与A1C间的距离为125。(4)面面距离法面面距离法就是把所求异面直线间的距离转化为求分别过两条异面直线的两个平行平面间的距离。例4：如图4，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为l，求异面直线A1D与AC间的距离。（图4）解：连结A1C1、C1D、AB1、B1C，A1D与AC分别在两个相互平行的平面A1DC1和B1CA内，则A1D与AC间的距离就是两个相互平行的平面A1DC1和B1CA之间的距离，连结BD，且交AC于点O，作OO1面AC，连结DO1，作OEDO1于E。可知O