计算物理学复习题整理

1、第一章绪论1.1 计算物理的性质是什么？试举例说明计算物理在哪些学科中有重要应用？计算物理是指以计算机及计算机技术为工具和手段，运用计算数学的方法解决复杂物理问题的一门应用科学。（1）计算物理是用计算机作为实现手段的实验物理或“计算机实验”。（2）计算物理是一门新型的边缘学科，物理学、数学、计算机科学三者结合的产物。计算物理在物理学中有很多应用，概括起来主要有四个方面： （1）计算机数值分析：通常在物理研究中，我们从已知的物理规律出发得到描写物理过程的抽象数学公式后，最后或许要作数值求解以便与实验结果对照或作为实验的参考数据。例如：中子输运问题（2）计算机符号处理：利用计算机的符号处理系统进行

2、解析计算、公式的推导和高精度的数值计算。例如：多重不定和定积分；（4）计算机实时控制：使物理实验可以在没有人在场的情况下自己监测设备的正常运行，自动采集和分析实验数据。（4）计算机模拟，利用计算机进行的物理实验或“计算机模拟实验”，例如：第一性原理、分子动力学模拟、蒙特卡罗模拟。1.2 试阐述计算机模拟方法与理论、实验方法相比有什么特殊的优点和局限性。： 优点：1.省时省钱 2. 具有更大的自由度和灵活性 3. 能够模拟极端条件下的试验。缺点 ：1.不能获得物理定律和理论公式 2. 计算结果缺乏严格的论证，其结果仍需要试验验证。1.3 试阐述计算物理学和实验物理及理论物理的关系？计算物理方法是

3、除理论方法和实验方法之外的第三种研究手段，计算物理现已成为物理学研究的三大支柱之一，它与实验物理和理论物理的关系如下图：1.5并行计算有什么优点？.并行计算可以大大加快运行速度，即在短的时间内完成相同的计算量，或解决原来不能计算的非常复杂的问题，.提高传统的计算机的速度一方面受到物理上光速极限和量子效应的限制，另一方面计算机器件的产品和材料的生产受到加工工艺的限制，其尺寸不可能做得无限小，因此我们只能转向并行算法。.并行计算对设备的投入比较低，既可以节省开支又能完成任务。1.6 计算物理基本方法，基建原理第一原理方法是基于量子力学基本原理建立起来的；分子动力学方法是基于经典力学基本原理建立起来

4、的；蒙特卡罗方法是基于统计力学基本原理建立来的。第二章 随机数和蒙特卡洛方法2.1 简要叙述蒙特卡洛方法的基本思想。对求解问题本身就具有概率和统计性的情况，蒙特卡洛方法是按照实际问题所遵循的概率统计规律，用计算机 进行直接的抽样试验，然后计算其统计参数。当问题本身就不具有概率和统计性时，或者可以抽象为某个确定的 数学问题时，蒙特卡洛方法则首先建立一个恰当的概率模型，即确定某个随机事件A或随机变量X，使得待求解的解等于随机事件出现的概率或随机变量的数学期望值。然后进行模拟实验，即重复多次地模拟随机 事件或随机变量，最后对随机实验结果进行统计平均，求出A出现的频数或X的平均值作为问题的近似解。针对

5、待求问题，根据物理现象本身的统计规律，或人为构造一合适的依赖随机变量的概率模型，使某些随机变量的统计量为待求问题的解，进行大统计量趋于无穷的统计实验方法或计算机随机模拟方法。2.2 蒙特卡洛方法对随机数有较高的要求，然而实际应用的随机数通常都是通过某些数学公式计算而产生的伪随机数，但是，只要伪随机数能够通过随机数的一系列的统计检验，我们就可以把它当作真随机数放心使用。在产生伪随机数的方法中，有比较经典的冯诺曼平方取中法和线性同余法，请分别写出它们的递推关系式？对于伪随机数一般需要做哪些统计检验（至少写出四个）？ 线性同余法2.3 蒙特卡洛方法计算中减少方差的技术有哪些？2.4 若用蒙特卡罗算法

6、计算定积分 ，请给 出其求解原理与计算步骤。取 ，由于 定积分 的几何 意义是被积函数在积分区间上的图形构成的曲边梯形面积，而曲边梯形是正方形 的一 部分。显然，D的面积为1。用随机投点的方 法在区域D内产生充分多的均匀分布的点（至少2000个 点）。设随机点总数为N，这些点随机地落入D中 任何一处。于是，落入曲边梯形内点的数目m与N之 比反映了曲边梯形面积与正方形D的面积 之比如图1所 示。由此可计算曲边梯形面积。 蒙特卡罗算法求定积分算法 第一步：产生正方形D中的N个均匀随机数 ； 第二步：根据 的坐标 判断，如果 则认为 落入曲 边梯形区域内。统计落入曲边梯形区域内的随机点数目m； 第三

7、步：输出 作为定 积分 的近似 值，结束。2.5 简要叙述变分蒙特卡洛方法求解基态本征能量E0和 基态本征态波函数 基本原 理，并以一维情况为例说明蒙特卡洛计算步骤。4.7乘同余数法产生随机数的Matlab上机实验在计算机上可以用物理方法来产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生，这样产生的序列与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数或伪随机序列，只要方法和参数选择合适，所产生的伪随机数就能满足均匀性和独立性，与真正的随机数具有相近的性质。产生随机数的方法是先用一定的方法产生0,1均匀分布的随机数，然后通过一个适当的变换就可以得到符合某一概率模型的随机数。常用

8、的产生0,1均匀分布的随机数的方法有乘同余法和混合同余法。用乘同余法产生0,1均匀分布的随机数递推公式为： (Mod M) 式中a为乘子，M为模，当i=1时，xi=xi-1为初始参数，x0可取1或任意奇数。用乘同余法产生随机数 编程如下：x0=1; N=100; %初始化；s=input(计算机中二进制最大有可能的有效数字s=)b=input(b=)M=2s ; A=5(2*b+1)for k=1:N %乘同余法递推100次； x2=A*x0; %x2和x0分别表示xi和xi-1； x1=mod (x2,M); %将x2存储器的数除以M，取余数放x1（xi）中； v1=x1/M; %将x1存储

9、器的数除以M得到小于1的随机数放v1中； v(:,k)=v1; % 将v1中的数（ ）存放在矩阵存储器v的第k列中，v(:,k)%表示行不变、列随递推循环次数变化； x0=x1; %xi-1= xi； v0=v1;end %递推100次结束；v2=v %该语句末无；，实现矩阵存储器v中随机数放在v2中，%且可直接显示在MATLAB的window中；k1=k;k=1:k1;plot(k,v,k,v,r);xlabel(k), ylabel(v);title(0-1)均匀分布的随机序列) 程序运行结果N=100 S=32 K=6 a=513 N=100 S=48 K=7 A=515N=200 S=

10、32 k=6 A=513 N=200 S=48 K=7 A=513第三章 经典分子动力学方法3.1 分子动力学模拟的时间步长如何选择？分子动力学计算的基本思想是赋予分子体系初始运动状态之后利用分子的自然运动在相空间中抽取样本进行统 计计算，时间步长就是抽样的间隔，因而时间步长的选取对动力学模拟非常重要。太长的时间步长会造成分子间的激烈碰撞，体系数据溢出；太短的时间步长会降低 模拟过程搜索相空间的能力，一般来说，时间步长应该设为分子运动的最小振动周期的1/10 左右为宜。3.2 Verlet 算法中分子动力学计算的简单步骤是 什么？Verlet 算法，速度项相消，计算坐标时无需 速度出现。简单步

11、骤：设定粒子的初始位置和速度；根据粒子的位置计算每个粒子的受力；根据粒子的位置、速度和受力，计算粒子的新位置和新速度；更新粒子的位置和速度，然后回到2步骤。3.3 简述分子动力学模拟步骤。第一步 模型的设定。也就是势函数的选取。势函数的研究和物理系统上对物质的描述研究息息相关。最早是硬球势，即小于临界值 时无穷大，大于等于临界值时为零。常用的是LJ势函数，还有EAM势 函数，不同的物质状态描述用不同的势函数。模型势函数一旦确定，就可以根据物理学规律求得模拟中的守恒量。第二步 给定初始条件。运动方程的求解需要知道粒子的初始位置和速度，不同的算法要求不同的初始条件。如：verlet算法需要两组坐标

12、来启动计算，一组零时 刻的坐标，一组是前进一个时间步的坐标或者一组零时刻的速度值。第三步 趋于平衡计算。在边界条件和初始条件给定后就可以解运动方程，进行分子动力学模拟。但这样计算出的系统是不会具有所要 求的系统的能量，并且这个状态本身也还不是一个平衡态。为使得系统平衡，模拟中设计一个趋衡过程，即在这个过程中，我们增加或者从系统中移出能量，直到持续给 出确定的能量值。我们称这时的系统已经达到平衡。这段达到平衡的时间成为驰豫时间。第四步 宏观物理量的计算。实际计算宏观的物理量往往是在模拟的最后阶段进行的。它是沿相空间轨迹求平均来计算得到的。3.4 采用分子动力学方法时，需给给定的粒子系统设定恰当的

13、边界条件，这些边界条件大致分几类？采用分子动力学方法，必需对被计算的粒子系统给定适当的边界条件。这些边界条件大致可分成四种。 自由表面边界(free-surface boundary)这种边界条件常用于大型的自由分子的模拟。固定边界(rigid boundary)在所有要计算到粒子晶胞之外还要包上几层结构相同的位置不变的粒子，包层的厚度必须大于粒子间相互作用的力程范围。包层部分代表了与运动粒子起作用的宏观晶体的那一部分。 柔性边界 (flexible boundary)这种边界比固定边界更接近实际。它允许边界上的粒子有微小的移动以反映内层粒子的作用力施加到它们身上时的情况。周期性边界(peri

14、odic boundary)在模拟较大的系统时，为了消除表面效应或边界效应，常采用周期性边界条件。就是让原胞上下、左右、前后对边上的粒子间有相互作用。第四章 第一原理方法和能带理论4.1 简述绝热近似的基本内容。这是将晶体中电子的运动与晶格粒子的运动分开的另一种方法。这一方法依然考虑到电子的质量比晶格粒子的 质量小得多，但它与静近似不同的是，在研究电子的运动时，它认为电子能够紧紧地跟随运动着的晶格粒子，因此电子的运动与晶格粒子的瞬时位置有关。这样，在 电子的运动方程中，晶格粒子的位置是以参数的形式出现的。反过来，在晶格粒子的运动方程中，电子系统的本征能量也以参数的形式出现。这种互相联立的方程系

15、 统一般通过平均场方法结合变分方法求解，或者通过自恰的方法数值求解4.2 简述局域密度近似的基本内容。密度泛函理论最普遍的应用是通过Kohn-Sham方 法实现的。在Kohn-Sham DFT的框架中，最难处理的多体问题（由于处在一个外部静电势中的电子相互作用而产生的）被简化成了一个没有相互作用的电子在 有效势场中运动的问题。这个有效势场包括了外部势场以及电子间库仑相互作用的影响，例如，交换和相关作用。处理交换相关作用是KS DFT中的难点。目前并没有精确求解交换相关能 EXC 的 方法。最简单的近似求解方法为局域密度近似(LDA)。LDA近 似使用均匀电子气来计算体系的交换能（均匀电子气的交

16、换能是可以精确求解的），而相关能部分则采用对自由电子气进行拟合的方法来处理。4.3 晶体硅的晶胞结构中，有几个不等价的原子，分别处于哪些位置？4.4 什么是单电子近似？4.5 什么是赝势？4.6 简述能带理论中的基本处理方法4.7 简述Kohn-Sham方法的特点。a. 通过引 入N个单电子波函数，严格计算出了动能的主要部分，代价是需要求解N个方程。b. 除了更 一般的local势外，KS 方程与 Hartree方程具有相似的形式，求解KS方程的计算量也相差不大，但比求解具有non-local势 的HF方程要简单。c. 尽管Hartree、Hartree-Fock 和Kohn-Sham方程都提

17、供了一个多电子体系的单 电子方法，但三者有本质的差别，前两者一开始就引入了近似，而Kohn-Sham原则上是严格的。4.8 密度泛函理论的基本思想及基本定理。基本 思想是：原子、分子和固体的基态物理性質可以用粒子密度函数来描述。基本定理：定理一：一个多电子系统的基态电子密度（r） 唯一地对应外势Vext ，而此系统的任何观察量，其基态的期望值仅是基态 密度函数的唯一泛函。定理二：若为Hamiltonian H ，则系统基态的总能泛函为HEVext.第五章 有限差分和有限元数值求解5.1 方程求根有哪些基本的方法？5.2 简述龙贝格(Romberg)积分方法的基本思 想和基本步骤。5.3 试简述

18、Runge-Kutta 法方法的基本步骤。5.4 试简述有限元方法的一般步骤，比较有限差分和有限元方法。1. 这两种方法在处理问题的求解时，在处理问题的数学方法上有较大区别。2. 在对区域的离散化方法上也有明显区别，有限差分法通常采用的是矩形网络区域划分。而有限元素法采用的是三角形划分的方法。3. 计算精度不同。4. 有限差分法在采用直交网络时其计算精度与矩形最大边长h有关，此时列出的计算格式比有限元法简单方便。5. 用有限元法求解物理问题时，它是用统一的观点对区域内的节点和边界节点列出计算格式。这使得各节点的计算精度总体上比较协调。而有限差分法则是孤立的对微分方程及定解条件分别列差分方程，因而各节点精度总体上不够一致。6. 有限元法要求的计算机内存比较大7. 有限差分法的适用范围要比有限元法广泛的多。5.5 设有初值问题写出显式和隐式Euler求解公式。显式 un+1=un+hcosnh 隐式 un+1=un+hcosn+1h tn=nh （其中h=t为步长）5.6 设有初值问题写出预估-矫正Euler法的求解公式。先用显式欧拉公式作预估ui+1=(1-h)ui （i=1.2.3,）再将ui+1带入隐式公式作校正ui+1=ui-hui+1 （i=1.2.3,）u1=15.