解答题--点睛立体几何模板

1、立体几何必考点复习提纲（理科）难易指数： 所占分值： 12分试题类别： 每年必考常规题型：证平行解题思路：首选常规法，高频使用构造平行四边形和三中位线定理，注意答题的格式与标准书写；常规法证不出来的时候，用空间向量的方法（向量共线）。【13年安徽理第一问】【13年浙江理第一问】【13年江苏理第一问】【13年上海理第一问】【13年湖北理第一问】【13年山东理第一问】【13年新课标II理第一问】证垂直解题思路：首选常规法，高频使用线面垂直判定定理及性质定理、三垂线定理、勾股定理，注意答题的格式与标准书写；常规法证不出来的时候，用空间向量的方法（向量数量积为零）。【13年江苏理第二问】【13年广东理

2、第一问】【13年天津理第一问】【13年新课标I理第一问】【13年陕西理第一问】【13年江西理第一问】【13年四川理第一问】【13年大纲版理第一问】【13年湖南理第一问】【13年福建理第一问】【13年北京理第一问】求角度，求距离，或求体积 1、求角度有三种：线线角，线面角和二面角解题思路：（1）线线角（0，：常规法：是将其中一条直线平移至另一条直线所在平面与另一条直线相交，所成角即为所求；向量法：用公式求两条异面直线所在向量的夹角。【13年浙江理第二问】【13年江苏理第一问】（2）线面角（0，：常规法：是过目标直线上任意一点做目标平面的垂线，在目标直线、直线在平面上的射影和垂线所成的三角形中，解

3、直角三角形，目标直线与其射影即为所求角。向量法：目标直线所在向量与目标平面的法向量所成角的余角即为所求。【13年新课标I理第二问】【13年湖南理第二问】（3）二面角（0，）：常规法：主要有三垂线定理，定义法和公式法三种，核心考点是找到二面角的平面角；向量法：主要是建系，两个目标平面的法向量的夹角（或其补角）即为所求。考试首选向量法【13年辽宁理第二问】【13年重庆理第二问】【13年广东理第二问】【13年天津理第二问】【13年陕西理第二问】【13年江西理第二问】【13年四川理第二问】【13年江苏理第二问】【13年大纲版理第二问】【13年山东理第二问】【13年新课标II理第二问】【13年北京理第二

4、问】解题思路：（空间向量法）（1）建系：尽可能让参与计算的点落在轴线和轴面上，坐标系可以任意指向（2）标明点坐标：不能表明的可以待定系数，列向量方程求解（3）表示向量（4）求法向向量（5）用公式求角 2、求距离：一是直接找垂线段，二是用向量法求距离，三是通过等体积间接来求。 解题思路：如果是在第一个问号中求距离，一定是直接找垂线段求，如果是大题的第二个问求距离，可选择空间向量求体积公式或等体积法求距离。 空间向量的方法为：利用过已知点与目标平面相交的直线所在向量与目标平面的法向量的关系求出距离【13年上海理第二问】3、求体积：解题思路：求体积一般三种思路：1.棱锥体积找底面，求高；2.四面体转

5、换顶点；3.不规则多面体利用割补法变成规则多面体求【13年上海春理】意外现象：1. 轨迹问题或判断点的位置：主要是直接利用定义，判断符合所求的点的集合。【09年全国理第一问】【09年宁夏海南理第三问】【09年四川理第二问】2. 立体几何中的参数问题：将参数当成已知进行求解，利用位置关系求参数值时，首选特殊位置【09年湖北理第二问】辽宁点睛【2013年辽宁数学（理）】如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(I)求证:(II) 【2012高考真题辽宁理 18】如图，直三棱柱，点分别为和的中点（1）证明：；（2）若二面角为直二面角，求的值【2011高考真题辽宁理 18】如图，四边

6、形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD。（I）证明：平面PQC平面DCQ（II）求二面角Q-BP-C的余弦值。【2010高考真题辽宁理 19】已知三棱锥PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（）证明：CMSN；（）求SN与平面CMN所成角的大小.【2009高考真题辽宁理 18】如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 。（I）若平面ABCD 平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。

7、w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 新课改地区点睛【2013年高考真题上海春理 19】如图,在正三棱锥中,异面直线与所成角的大小为,求该三棱柱的体积.B1A1C1ACB【2013年高考真题上海理 19题】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线BC1平行于平面DA1C,并求直线BC1到平面D1AC的距离.【2013年高考真题天津理 19】如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A底面ABCD, AB/DC, ABAD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点. () 证明B1C1CE; () 求二面

8、角B1-CE-C1的正弦值. () 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为, 求线段AM的长. 【2013年高考真题江苏卷】本小题满分10分.如图,在直三棱柱中,点是的中点(1)求异面直线与所成角的余弦值(2)求平面与所成二面角的正弦值.【2009宁夏海南卷理】如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。 （）求证：ACSD； （）若SD平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（）在（）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。【2009年高考真题四川理】

9、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得PM面BCE？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角的大小。【2009年重庆卷理】如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，求：（）点到平面的距离；（）二面角的大小 w【2009年高考真题浙江理19】在如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，M是AB的中点。（）求证：；（）求CM与平面CDE所成的角；只要作不死，就往死里作参考答案：辽宁点睛1、2、（1）连结，由已知三棱柱为直三棱柱，所以为中点.又因为为中点

10、所以，又平面 平面，因此 6分（2）以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立直角坐标系，如图所示设则，于是，所以，设是平面的法向量，由得，可取设是平面的法向量，由得，可取因为为直二面角，所以，解得12分3、解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz. （I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.则所以即PQDQ，PQDC.故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ. 6分 （II）依题意有B（1，0，1），设是平面PBC的法向量，则因此可取设m是平面PBQ的法向量，则可取故二面角QBPC的余弦值为

11、12分4、证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,0）.4分（）,因为，所以CMSN 6分（）,设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则 9分因为所以SN与片面CMN所成角为45。 12分5、2、【答案】：（I）解法一：取CD的中点G，连接MG，NG。设正方形ABCD，DCEF的边长为2， 则MGCD，MG=2，NG=.因为平面ABCD平面DCED，所以MG平面DCEF，可得MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=，所以sinMN

12、G=为MN与平面DCEF所成角的正弦值 6分解法二： 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(-1,1,2). 又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，可得cos(,)= 所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos 6分()假设直线ME与BN共面， 8分则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。又AB/CD，所以AB/平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB/EN。又AB/CD/E

13、F，所以EN/EF，这与ENEF=E矛盾，故假设不成立。所以ME与BN不共面，它们是异面直线. 12分新课改地区：1、【答案】解因为 . 所以为异面直线与.所成的角,即=. 在Rt中, 从而, 因此该三棱柱的体积为. 2、【答案】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体,故, 故ABC1D1为平行四边形,故,显然B不在平面D1AC上,于是直线BC1平行于平面DA1C; 直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为 考虑三棱锥ABCD1的体积,以ABC为底面,可得 而中,故 所以,即直线BC1到平面D1AC的距离为. 3、【答案】 4、【答案】本题主要考察异面直线.二面角.空间向

14、量等基础知识以及基本运算,考察运用空间向量解决问题的能力. 解:(1)以为为单位正交基底建立空间直角坐标系, 则, , 异面直线与所成角的余弦值为 (2) 是平面的的一个法向量 设平面的法向量为, 由 取,得,平面的法向量为 设平面与所成二面角为 , 得 平面与所成二面角的正弦值为立体几何部分1. 解法一：（）连BD，设AC交BD于O，由题意在正方形ABCD中，所以,得. ()设正方形边长，则又，所以,连，由（）知,所以, 且,所以是二面角的平面角由,知,所以,即二面角的大小为 （）在棱SC上存在一点E，使，由（）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为连BN在中知，又由于,故平面，

15、得,由于,故.解法二： （）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图 设底面边长为，则高 于是 ， 故 从而 ()由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为 （）在棱上存在一点使. 由（）知是平面的一个法向量， 且 设 则 而 即当时， 而不在平面内，故2. 解法一：（）因为平面平面,平面，平面平面，所以平面所以.因为为等腰直角三角形， ，所以又因为，所以，即,所以平面 4分 （）存在点,当为线段AE的中点时，PM平面 取BE的中点N，连接AN,MN，则MNPC 所以PMNC为平行四边形，所以PMCN 因为CN在

16、平面BCE内，PM不在平面BCE内， 所以PM平面BCE 8分 （）由EAAB,平面ABEF平面ABCD，易知，EA平面ABCD作FGAB,交BA的延长线于G，则FGEA从而，FG平面ABCD作GHBD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BDFH因此，AEF为二面角F-BD-A的平面角因为FA=FE, AEF=45,所以AFE=90，FAG=45.设AB=1,则AE=1,AF=. FG=AFsinFAG=在RtFGH中，GBH=45,BG=AB+AG=1+=,GH=BGsinGBH=在RtFGH中，tanFHG= = 故二面角F-BD-A的大小为arctan. 12分解法二:()因为ABE为等腰

17、直角三角形,AB=AE,所以AEAB.又因为平面ABEF平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF平面ABCD=AB,所以AE平面ABCD.所以AEAD.因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).因为FA=FE, AEF = 45,所以AFE= 90.从而，.所以,.,.所以EFBE, EFBC.因为BE平面BCE,BCBE=B ,所以EF平面BCE. () M（0，0，）.P（1, ,0）.从而=（，）.于是所以PMFE

18、，又EF平面BCE，直线PM不在平面BCE内，故PM平面BCE. 8分() 设平面BDF的一个法向量为，并设=（x，y，z）=(1，1，0)， 即去y=1，则x=1，z=3，从=（0，0，3）取平面ABD的一个法向量为=（0，0，1）故二面角F-BD-A的大小为. 12分3. 解法一：（）因为AD/BC,且所以从而A点到平面的距离等于D点到平面的距离因为平面故,从而，由AD/BC，得,又由知，从而为点A到平面的距离，因此在中()如答（19）图1，过E电作交于点G，又过G点作,交AB于H，故为二面角的平面角，记为，过E点作EF/BC,交于点F,连结GF,因平面,故.由于E为BS边中点，故,在中，,因，又故由三垂线