2013年湖北高考理科数学试卷答案解析

1、. 2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）【34】（A，湖北，理1）在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 考点名称 数系的扩充与复数的概念【34】（A，湖北，理1）D 解析：，则，其对应点Z（1，1）位于第四象限.【1】（A，湖北，理2）已知全集为，集合，则A B C D考点名称 集合【1】（A，湖北，理2）C 解析：，. 【2】（A，湖北，理3文3）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A B

2、C D 考点名称 常用逻辑语句【2】（A，湖北，理3文3）A 解析：因为p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则是“没有降落在指定范围”，是“乙 没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 . 【6】（B，湖北，理4文6）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是A B C D考点名称 三角函数及其图象与性质【6】（B，湖北，理4文6）B 解析：因为可化为（xR），将它向左平移个单位得，其图像关于y轴对称.【17】（B，湖北，文2理5）已知，则双曲线：与：的A实轴长相等 B虚轴长相等 C焦距相等 D离心率相等考点名称

3、 圆锥曲线及其标准方程【17】（B，湖北，文2理5）D解析：对于双曲线C1，有，. 对于双曲线C2，有，.即这两双曲线的离心率相等.【7】（B，湖北，理6文7）已知点、，则向量在方向上的投影为A B C D考点名称 平面向量的概念及其运算【7】（A，湖北，理6文7）A 解析：=（2,1），=（5,5），则向量在向量方向上的射影为.【31】（C，湖北，理7）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是A B C D 考点名称 定积分与微积分基本定理【31】（C，湖北，理7）C 解析：令=0，解得t

4、 4或t（不合题意，舍去），即汽车经过4秒中后停止，在此期间汽车继续行驶的距离为 .【21】（B，湖北，理8）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有A B C D第9题图第8题图考点名称 空间几何体与三视图【21】（B，湖北，理8） C 解析：显然，所以B不正确. 又，从而.【26】（B，湖北，理9）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为，则的均值A B C D考点名称 统计【26】（B，湖北，理9）B

5、 125个同样大小的小正方体的面数共有1256=750，涂了油漆的面数有256=150.每一个小正方体的一个面涂漆的频率为，则它的涂漆面数为的均值.【29】（C，湖北，理10）已知为常数，函数有两个极值点，则A， B，C， D，考点名称 导数及其应用【29】（C，湖北，理10）D解析： ，由由两个极值点，得有两个不等的实数解，即有两个实数解，从而直线与曲线有两个交点. 过点（0，1）作的切线，设切点为（x0，y0），则切线的斜率，切线方程为. 切点在切线上，则，又切点在曲线上，则，即切点为（1，0），切线方程为. 再由直线与曲线有两个交点.，知直线位于两直线和之间，如图所示，其斜率2a满足：0

6、2a1，解得0a. .则这函数的两个极点满足，所以，而，即，所以.【26】（A，湖北，理11）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示. （）直方图中的值为_； （）在这些用户中，用电量落在区间内的户数为_. 第11题图考点名称 统计 否开始是结束是奇数是否输出【26】（A，湖北，理11）（）0.0044 （）70 解析：（） 0.0044； （）用电量落在区间内的户数为. 第12题图【24】（A，湖北，理12）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果_.考点名称 算法初步与框图【24】（A，湖北，理12）5 解析：已知初始

7、值，则执行程序，得；因为，则执行程序，得；，则第三次执行程序，得；，则第四次执行程序，得；，执行输出i，. 【13】（C，湖北，理13）设，且满足：，则_.考点名称 【13】（C，湖北，理13）解析：【39】（湖北理14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10，第个三角形数为. 记第个边形数为，以下列出了部分k边形数中第个数的表达式：三角形数 ，正方形数 ，五边形数 ，六边形数 ， 可以推测的表达式，由此计算_. 考点名称 创新与拓展【13】（C，湖北，理13）1000 解析：三角形数 ， 正方形数 =， 五边形数 =， 六边形数 =， 推测k边形. 所以

8、.第15题图【37】（B，湖北，理15）如图，圆上一点在直径上的射影为，点在半径上的射影为若，则的值为_考点名称 选修4-1：几何证明选讲【37】（B，湖北，理15）8 解析：根据题设，易知， RtODERtDCERtOCD，即CO=3OD=9OE，在RtODE中，在RtCDE中，即，.【36】（A，湖北，理16）在直角坐标系中，椭圆的参数方程为（为参数，）. 在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线与圆的极坐标方程分别为（m为非零常数）与. 若直线经过椭圆的焦点，且与圆相切，则椭圆的离心率为_.考点名称 选修4-4：坐标系与参数方程【36】（A

9、，湖北，理16） 椭圆C的方程可以化为，圆O的方程可化为，直线l的方程可化为，因为直线l经过椭圆的焦点，且与圆O相切，则，所以椭圆的离心率.【10】（B，湖北，理17）在中，角，对应的边分别是，. 已知.（）求角A的大小；（）若的面积，求的值.考点名称 解三角形【10】（B，湖北，理17）（）由，得, 即，解得 或（舍去）. 因为，所以. （）由得. 又，知. 由余弦定理得故. 又由正弦定理得. 【19】（B，湖北，理18）已知等比数列满足：，.（）求数列的通项公式；（）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.考点名称 等比数列【19】（B，湖北，理18）（）设等比数列的

10、公比为q，则由已知可得 解得 或 故，或. （）若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而. 若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而 故. 综上，对任何正整数，总有.第19题图故不存在正整数，使得成立. 【23】（B，湖北，理19）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点. （）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；（）设（）中的直线l与圆的另一个交点为，且点Q满足. 记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：. 考点名称 空间向量与立体几何【23】（B，湖北，理19）（）直线平面，证明如下：连接，因为，分别是，的中点，

11、所以. 又平面，且平面，所以平面.而平面，且平面平面，所以. 第19题解答图1因为平面，平面，所以直线平面. （）（综合法）如图1，连接，由（）可知交线即为直线，且. 因为是的直径，所以，于是.已知平面，而平面，所以.而，所以平面.连接，因为平面，所以.故就是二面角的平面角，即. 由，作，且. 连接，因为是的中点，所以，从而四边形是平行四边形，.连接，因为平面，所以是在平面内的射影，故就是直线与平面所成的角，即. 又平面，有，知为锐角，故为异面直线与所成的角，即， 于是在，中，分别可得，从而，即. （）（向量法）如图2，由，作，且.连接，由（）可知交线即为直线.以点为原点，向量所在直线分别为轴

12、，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则有第19题解答图2,. 于是，所以，从而. 又取平面的一个法向量为，可得，设平面的一个法向量为， 所以由 可得 取.于是，从而. 故，即. 【40】（B，湖北，理20）假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为. （）求的值；（参考数据：若，有，.）（）某客运公司用、两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. 、两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆. 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求型车不多于型车

13、7辆. 若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备型车、型车各多少辆? 考点名称 随机变量及其分布，简单的线性规划【40】（B，湖北，理20）（）由于随机变量服从正态分布，故有，. 由正态分布的对称性，可得第20题解答图. （）设型、型车辆的数量分别为辆，则相应的营运成本为. 依题意, 还需满足：. 由（）知，故等价于. 于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数达到最小的. 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为.由图可知，当直线经过可行域的点P时，直线在y轴上截距最小，即z取得最小值. 故应配备型车5辆、型车12辆. 第21题图【16

14、】（C，湖北，理21）如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D记，和的面积分别为和.（）当直线与轴重合时，若，求的值；（）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得？并说明理由考点名称 直线与圆锥曲线【16】（C，湖北，理21）依题意可设椭圆和的方程分别为：，：. 其中，（）解法1：如图1，若直线与轴重合，即直线的方程为，则，所以. 在C1和C2的方程中分别令，可得，于是.若，则，化简得. 由，可解得.故当直线与轴重合时，若，则. 解法2：如图1，若直线与轴重合，则，；，.所以. 若，则，化

15、简得. 由，可解得.故当直线与轴重合时，若，则. 第21题解答图1第21题解答图2（）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得. 根据对称性，不妨设直线：，点，到直线的距离分别为，则因为，所以. 又，所以，即. 由对称性可知，所以，于是. 将的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得，.根据对称性可知，于是. 从而由和式可得. 令，则由，可得，于是由可解得.因为，所以. 于是式关于有解，当且仅当，等价于. 由，可解得，即，由，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得. 根据对称性，不妨设直线：，点，到直线的距离分别为，则因为，所以. 又，所以.因为，所以.由点，分别在C1，C2上，可得，两式相减可得，依题意，所以. 所以由上式解得. 因为，所以由，可解得.从而，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得. 【40】（湖北理22）设是正整数，为正有理数. （）求函数的最小值；（）证明：；（）设，记为不小于的最小整数，例如，.令，求的值. （参考数据：