【创新设计】2014高考数学一轮复习 限时集训(四十八)空间向量在立体几何中的应用 理 新人教a版

限时集训四十八空间向量在立体几何中的应用限时50分钟满分84分1满分12分如图，在ABC中，ABC60，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC901证明平面ADB平面BDC；2设E为BC的中点，求AE与DB夹角的余弦值2满分12分2013孝感模拟如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDAB2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点1求证PAEF；2求二面角DFGE的余弦值3满分12分如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上且DEAE21证明平面ADE平面ACC1A1；2求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值4满分12分2012江西高考如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABACAA1，BC4，点A1在底面ABC5的投影是线段BC的中点O1证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的长；2求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值5满分12分如图所示，在多面体ABCDA1B1C1D1中，上，下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1底面ABCD，AB2A1B12DD12A1求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；2已知F是AD的中点，求证FB1平面BCC1B1；3在2的条件下，求二面角FCC1B的余弦值6满分12分2013聊城模拟如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，Q为AD的中点1若PAPD，求证平面PQB平面PAD；2设点M在线段PC上，求证PA平面MQB；PMMC123在2的条件下，若平面PAD平面ABCD，且PAPDAD2，求二面角MBQC的大小7满分12分2012福建高考如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD中点1求证B1EAD1；2在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；3若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长答案限时集训四十八空间向量在立体几何中的应用1解1证明折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB，又DBDCD，AD平面BDC，AD平面ABD，平面ABD平面BDC2由BDC90及1知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|1，以D为坐标原点，以，的方向为X，Y，Z轴的正方向建立如图所BDCA示的空间直角坐标系，易得D0,0,0，B1,0,0，C0,3,0，A0,0，E，312，32，0，1,0,0，AE12，32，3与夹角的余弦值为COS，DBAEDB|12122422222解1证明以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系DXYZ，则D0,0,0，A0,2,0，C2,0,0，P0,0,2，E1,0，1，F0,0,1，G2,1,010,2，2，1,0,0，PEF0，EFPAEF2易知0,0,1，2,1，1G设平面DFG的法向量为MX1，Y1，Z1，则ERROR即ERROR令X11，得M1,2,0是平面DFG的一个法向量同理可得N0,1,1是平面EFG的一个法向量，COSM，N，MN|M|N|252105由图可知二面角DFGE为钝角，二面角DFGE的余弦值为1053解1证明由正三棱柱ABCA1B1C1的性质知AA1平面A1B1C1，又DE平面A1B1C1，所以DEAA1而DEAE，AA1AEA，所以DE平面ACC1A1又DE平面ADE，故平面ADE平面ACC1A12如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系不妨设AA1，则AB2，相关各点的坐标分别是2A0，1,0，B，0,0，C10,1，D3232，12，2易知，1,0，0,2，3A2D32，12，2设平面ABC1的一个法向量为NX，Y，Z，则有ERROR解得XY，ZY故可取N1，33236所以，COSN，ADN|N|23103105由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为1054解1证明连接AO，在AOA1中，作OEAA1于点E，因为AA1BB1，所以OEBB1因为A1O平面ABC，所以A1OBC因为ABAC，OBOC，得AOBC，所以BC平面AA1O，所以BCOE，所以OE平面BB1C1C，又AO1，AA1，AB2BO25得AEAO2AA1552如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为X，Y，Z轴，建立空间直角坐标系，则A1,0,0，B0,2,0，C0，2，0，A10,0,2，由得点E的坐标是，1545，0，25由1得平面BB1C1C的法向量是，OE45，0，25设平面A1B1C的法向量NX，Y，Z，由ERROR得ERROR令Y1，得X2，Z1，即N2,1，1，所以COS，N，EN|N|3010即平面BB1C1C与平面A1B1C的夹角的余弦值是30105解以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为X轴，Y轴，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A2A,0,0，B2A,2A,0，C0,2A,0，D10,0，A，FA,0,0，B1A，A，A，C10，A，A1A，A，A，0,0，A，1A1|COS，|1B|，33所以异面直线AB1与DD1所成角的余弦值为332A，A，A，2A,0,0，0，A，A，BBC1FBERRORFB1BB1，FB1BCBB1BCB，FB1平面BCC1B3由2知，为平面BCC1B1的一个法向量F设NX1，Y1，Z1为平面FCC1的法向量，0，A，A，A,2A,0，CCERROR得ERROR令Y11，则X12，Z11，N2,1,1，COS，N，1FBN|N|33即二面角FCC1B的余弦值为336解1连接BD，四边形ABCD菱形，BAD60，ABD为正三角形，又Q为AD中点，ADBQPAPD，Q为AD的中点，ADPQ，又BQPQQ，AD平面PQB，AD平面PAD平面PQB平面PAD2连接AC交BQ于点N，如图1由AQBC可得，ANQCNB，AQBCANNC12又，图1PMMC12PMMCANNC12PAMNMN平面MQB，PA平面MQB，PA平面MQB3由PAPDAD2，Q为AD的中点，则PQAD又平面PAD平面ABCD，PQ平面ABCD以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为X，Y，Z轴，建立如图2所示的坐标系，则各点坐标为A1,0,0，B0，0，Q0,0,0，P0,0，33设平面MQB的法向量NX，Y,1，可得ERROR图2PAMN，ERROR解得N，0,13取平面ABCD的法向量M0,0,1COSM，NMN|M|N|12故二面角MBQC的大小为607解1证明以A为原点，的方向分别BAD1为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系如图设ABA，则A0,0,0，D0,1,0，D10,1,1，E，B1A，0,1，故，A2，1，01A0，1，1BE，A,0,1，A2，1，1EA2，1，0011110，1ADEA2B1EAD12假设在棱AA1上存在一点P0,0，Z0，使得DP平面B1AE，此时0，1，Z0P又设平面B1AE的法向量NX，Y，ZN平面B1AE，N，N，得ERROR取X1，则Y，ZA，得平1AEA2面B1AE的一个法向量N1，A2，A要使DP平面B1AE，只要N，有AZ00，解得Z0DPA212又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP123连接A1D，B1C，由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1AD