【创新设计】2014高考数学一轮复习 第二章 函数及其表示训练 理 新人教a版

【创新设计】2014高考数学一轮复习第二章函数及其表示训练理新人教A版第一节函数及其表示备考方向要明了考什么怎么考1了解构成函数的要素，了解映射的概念2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法如图象法、列表法、解析法表示函数3了解简单的分段函数，并能简单应用1考查方式多为选择题或填空题2函数的表示方法是高考的常考内容，特别是图象法与解析式更是高考的常客，如2012年新课标全国T10等3分段函数是高考的重点也是热点，常以求解函数值，由函数值求自变量以及与不等式相关的问题为主，如2012年江西T3等归纳知识整合1函数与映射的概念函数映射两集合A，BA，B是两个非空数集A，B是两个非空集合对应关系FAB按照某种确定的对应关系F，对于集合A中的任意一个数X，在集合B中有唯一确定的数FX和它对应按某一个确定的对应关系F，对于集合A中的任意一个元素X在集合B中都有唯一确定的元素Y与之对应名称FAB为从集合A到集合B的一个函数对应FAB为从集合A到集合B的一个映射记法YFX，XA对应FAB是一个映射探究1函数和映射的区别与联系是什么提示二者的区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集，二者的联系是函数是特殊的映射2函数的有关概念1函数的定义域、值域在函数YFX，XA中，X叫做自变量，X的取值范围A叫做函数的定义域；与X的值相对应的Y值叫做函数值，函数值的集合FX|XA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集2函数的三要素定义域、值域和对应关系3相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数探究2若两个函数的定义域与值域都相同，它们是否是同一个函数提示不一定如函数YX与YX1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如YSINX与YCOSX，其定义域都为R，值域都为1,1，显然不是同一个函数因为定义域和对应关系完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对应关系完全相同的两个函数才是同一个函数4函数的表示方法表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法5分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数自测牛刀小试1教材习题改编给出下列五个命题，正确的有函数是定义域到值域的对应关系；函数FX；X41XFX5，因这个函数的值不随X的变化而变化，所以FT21也等于5；Y2XXN的图象是一条直线；FX1与GXX0表示同一个函数A1个B2个C3个D4个解析选B由函数的定义知正确；错误；由ERROR得定义域为，所以不是函数；因为函数FX5为常数函数，所以FT215，故正确；因为XN，所以函数Y2XXN的图象是一些离散的点，故错误；由于函数FX1的定义域为R，函数GXX0的定义域为X|X0，故错误综上分析，可知正确的个数是22教材习题改编以下给出的对应是从集合A到B的映射的有集合AP|P是数轴上的点，集合BR，对应关系F数轴上的点与它所代表的实数对应集合AP|P是平面直角坐标系中的点，集合BX，Y|XR，YR，对应关系F平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；集合AX|X是三角形，集合BX|X是圆，对应关系F每一个三角形都对应它的内切圆；集合AX|X是新华中学的班级，集合BX|X是新华中学的学生，对应关系F每一个班级都对应班里的学生A1个B2个C3个D4个解析选C由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即一个班级对应的学生不止一个，所以不是从集合A到集合B的映射32012江西高考若函数FXERROR则FF10ALG101B2C1D0解析选BF10LG101，故FF10F112124教材习题改编已知函数FX，则FF4_；若FA2，则X2X6A_解析FX，F43X2X64246FF4F3323619FA2，即2，A2A6解得A14答案14195教材习题改编AX|X是锐角，B0,1，从A到B的映射是“求余弦”，与A中元素60相对应的B中的元素是_；与B中元素相对应的A中的元素是32_解析COS60，与A中元素60相对应的B中的元素是1212又COS30，与B中元素相对应的A中的元素是303232答案3012函数与映射的概念例1有以下判断1FX与GXERROR表示同一个函数|X|X2函数YFX的图象与直线X1的交点最多有1个3FXX22X1与GTT22T1是同一函数4若FX|X1|X|，则F0F12其中正确判断的序号是_自主解答对于1，函数FX的定义域为X|XR且X0，而函数GX|X|XERROR的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于2，若X1不是YFX定义域内的值，则直线X1与YFX的图象没有交点，若X1是YFX定义域内的值，由函数的定义可知，直线X1与YFX的图象只有一个交点，即YFX的图象与直线X1最多有一个交点；对于3，FX与GT的定义域、值域和对应关系均相同，所以FX与GT表示同一函数；对于4，由于F0，12|121|12|所以FF01F12综上可知，正确的判断是23答案231判断两个变量之间是否存在函数关系的方法要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验1定义域和对应关系是否给出；2根据给出的对应关系，自变量X在其定义域中的每一个值，是否都能找到唯一的函数值Y与之对应2判断两个函数是否为同一个函数的方法判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断11以下给出的同组函数中，是否表示同一函数为什么F1Y；F2Y1F1YERRORXXF2XX11X2X2Y123F1Y2X；F2如图所示解不同函数F1X的定义域为XR|X0，F2X的定义域为R同一函数X与Y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式同一函数理由同2已知映射FAB其中ABR，对应关系FXYX22X，对于实数KB，在集合A中不存在元素与之对应，则K的取值范围是AK1BK1CK1时满足题意求函数的解析式例21已知FX1X24X1，求FX的解析式2已知FX是一次函数，且满足3FX1FX2X9求FX自主解答1法一换元法设X1T，则XT1，FTT124T11，即FTT22T2所求函数为FXX22X2法二配凑法FX1X24X1X122X12，所求函数为FXX22X22待定系数法由题意，设函数为FXAXBA0，3FX1FX2X9，3AX13BAXB2X9，即2AX3A2B2X9由恒等式性质，得ERROR解得A1，B3所求函数解析式为FXX3若将本例1中“FX1X24X1”改为“FLGX”，如何求解2X1解令1T，X0，2XT1且X2T1FTLG，即FXLGX12T12X1求函数解析式的常用方法1配凑法由已知条件FGXFX，可将FX改写成关于GX的表达式，然后以X替代GX，便得FX的表达式；2待定系数法若已知函数的类型如一次函数、二次函数可用待定系数法；3换元法已知复合函数FGX的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；4解方程组法已知关于FX与F或FX的表达式，可根据已知条件再构造出1X另外一个等式组成方程组，通过解方程求出FX2给出下列两个条件1F1X2；XX2FX为二次函数且F03，FX2FX4X2试分别求出FX的解析式解1令T1，XT1，XT12则FTT122T1T21，FXX21X12设FXAX2BXC，又F0C3FXAX2BX3，FX2FXAX22BX23AX2BX34AX4A2B4X2ERROR解得ERRORFXX2X3分段函数求值例3已知函数FXERROR则F2LOG23的值为AB124112CD1613解析2LOG234，F2LOG23F3LOG233LOG23LOG231218121813124答案A解决分段函数求值问题的方法1求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值2若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决3已知函数FXERROR若FF04A，则实数A等于AB1245C2D9解析选CXFA，则实数A的取值范围是A1,00,1B，11，C1,01，D，10,1解析选C当A0时，FAFA，LOG2ALOGALOG211AA，得A11A当AFA，LOGALOG2ALOG12121AA4，则X的取值范围是_解析当X4得2X4，即X4得X24，所以X2或X2综上，X的取值范围是X2答案，22，一、选择题本大题共6小题，每小题5分，共30分1下列各组函数中，表示相等函数的是AY与Y5X5X2BYLNEX与YELNXCY与YX3X1X3X1DYX0与Y1X0解析选DYX，Y|X|，故Y与Y不表示相等函数；B、C选5X5X25X5X2项中的两函数定义域不同；D选项中的两函数是同一个函数2设A0,1,2,4，B，则下列对应关系能构成A到B的映射12，0，1，2，6，8的是AFXX31BFXX12CFX2X1DFX2X解析选C对于A，由于集合A中X0时，X311B，即A中元素0在集合B中没有元素与之对应，所以选项A不符合；同理可知B、D两选项均不能构成A到B的映射，C符合3已知函数FXERROR则FF10AB1214C1D14解析选A依题意可知F10LG101，F12121242013杭州模拟设函数FXERROR若FAF12，则AA3B3C1D1解析选DFAF12，且F11，1FA1，当A0时，FA1，A1；A当A1时，FFX满足1X1X二、填空题7已知FX2，则函数F3_X1X1X2解析FX222，X1X1X2X1XFXX22F332211答案118若FABFAFB且F11，则_F2F1F3F2F2012F2011解析令B1，F11，FA1FA2011F2F1F3F2F2012F2011答案20119已知函数FXERROR则满足不等式F1X2F2X的X的取值范围是_解析画出FXERROR的图象，如图由图象可知，若F1X2F2X，则ERROR即ERROR得X1，12答案1，12三、解答题本大题共3小题，每小题12分，共36分10已知FXX21，GXERROR1求FG2和GF2的值；2求FGX和GFX的解析式解1由已知，G21，F23，因此FG2F10，GF2G322当X0时，GXX1，故FGXX121X22X；当X1或X0，故GFXFX1X22；当12X5解1设二次函数FXAX2BXCA0F01，C1把FX的表达式代入FX1FX2X，有AX12BX11AX2BX12X2AXAB2XA1，B1FXX2X12由X2X12X5，即X23X40，解得X4或X4或X0，对应关系F对P中三角形求面积与集合Q中元素对应解析对于1，集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，故1不是函数；对于3集合P不是数集，故3不是函数；2正确答案23试判断以下各组函数是否表示同一函数1Y，Y；X2X2X242YX，Y；3T33Y|X|，Y2X解Y的定义域为X|X2，X2X2Y的定义域为X|X2或X2，X24它们不是同一函数2它们的定义域相同，且YT，3T3YX与Y是同一函数3T33Y|X|的定义域为R，Y2的定义域为X|X0，X它们不是同一函数4已知FXERROR且FA3，求A的值解当A1时，FAA2，由A23，得A1，与A1相矛盾，应舍去当10时，值域为；Y|Y4ACB24A当A0且A1的值域是Y|Y05YLOGAXA0且A1的值域是R6YSINX，YCOSX的值域是1,17YTANX的值域是R探究1若函数YFX的定义域和值域相同，则称函数YFX是圆满函数，则函数Y；Y2X；Y；YX2中是圆满函数的有哪几个1XX提示Y的定义域和值域都是，00，故函数Y是圆满函数；1X1XY2X的定义域和值域都是R，故函数Y2X是圆满函数；Y的定义域和值域都是X0，故Y是圆满函数；YX2的定义域为R，值域为0，故函数XYX2不是圆满函数2分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系提示分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集自测牛刀小试1教材习题改编函数FX的定义域为4XX1A，4B4，C，4D，11,4解析选D要使函数FX有意义，只需ERROR即ERROR所以函数的定义域为4XX1，11,42下表表示Y是X的函数，则函数的值域是X00时，X24，4XX4X当且仅当X2时“”成立；当X1时，T0，Y211，T1T当且仅当T即LOG3X1，X3时，等号成立；1T当00，则对于正数B，FX的定义域为DX|AX2BX0AX2BX0，但FX的值域A0，故DA，即A0不符合条件；，BA若A0，又XA，B，A1则FX在A，B上为减函数，1X1则FA1且FB，1A11B113A2，B4，AB6答案61种意识定义域优先意识函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识4个注意求函数定义域应注意的问题1如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数X的集合2不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化3当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合4定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接4个准则函数表达式有意义的准则函数表达式有意义的准则一般有分式中的分母不为0；偶次根式的被开方数非负；YX0要求X0；对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于16种技巧妙求函数的值域1当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；2若与二次函数有关，可用配方法；3若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；4当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；5分段函数宜分段求解；6当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解易误警示与定义域有关的易错问题典例2013福州模拟函数FX的定义域为X12X11X_解析要使函数FX有意义，则ERRORERRORX12X11X函数FX的定义域为X|X1，且X1答案，11,1易误辨析1本题若将函数FX的解析式化简为FXX1后求定义域，会误认为其1X定义域为，1事实上，上述化简过程扩大了自变量X的取值范围2在求函数的值域时，要特别注意函数的定义域求函数的值域时，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用变式训练1若函数FX的值域是，则函数FXFX的值域是12，31FXAB12，556，5CD2，1033，103解析选C令TFX，则T312易知函数GTT在区间上是减函数，在1,3上是增函数1T12，1又因为G，G12，G31252103可知函数FXFX的值域为1FX2，1032已知函数F2X2，则函数FX的值域为_XX解析令2T，则XT22T2XFTT222T2T22TT2FXX22XX2FXX12121210，即FX的值域为0，答案0，一、选择题本大题共6小题，每小题5分，共30分1已知A为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是AFXX2ABFXAX21CFXAX2X1DFXX2AX1解析选C当A0时，FXAX2X1X1为一次函数，其定义域和值域都是R2已知等腰ABC周长为10，则底边长Y关于腰长X的函数关系为Y102X，则函数的定义域为ARBX|X0CX|00BX|X1CX|X1，或X0，解得X2；令XGX，即X2X20，解得1X2，故函数FXERROR当X2时，函数FXF12；当1X2时，函数FFXF1，即FX0，故函数FX的值域是12942，94，0二、填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分7函数Y的定义域是_16XX2解析由函数解析式可知6XX20，即X2X61，求A，B的值12解FXX12A，1212其对称轴为X1，即1，B为FX的单调递增区间FXMINF1A1，12FXMAXFBB2BAB12由解得ERROR11设O为坐标原点，给定一个定点A4,3，而点BX,0在X轴的正半轴上移动，LX表示的长，求函数Y的值域ABXLX解依题意有X0，LX，X4232X28X25所以YXLXXX28X25118X25X2由于1252，8X25X21X425925所以，故0Y18X25X23553即函数Y的值域是XLX0，5312已知函数FXX24AX2A61若函数FX的值域为0，求A的值；2若函数FX的函数值均为非负数，求GA2A|A3|的值域解1函数的值域为0，16A242A602A2A30A1或A322对一切XR函数值均为非负，82A2A301A32A30GA2A|A3|A23A22A32174A1，32二次函数GA在上单调递减，1，32GGAG1，即GA432194GA的值域为194，41下列函数中，与函数Y有相同定义域的是1XAFXLNXBFX1XCFX|X|DFXEX解析选A当X0时，有意义，因此函数Y的定义域为X|X01X1X对于A，函数FXLNX的定义域为X|X0；对于B，函数FX的定义域为X|X0，XR；1X对于C，函数FX|X|的定义域为R；对于D，函数FXEX的定义域为R所以与函数Y有相同定义域的是FXLNX1X2函数Y的定义域为LNX1X23X4A4，1B4,1C1,1D1,1解析选C由ERROR得1N3；当HA的定义域为N，M时，值域为N2，M2若存在，求出M，N的值；若不存在，请说明理由解1由FXX，X1,1，13知FX，令TFX13，313，3记GXYT22AT3，则GX的对称轴为TA，故有当A时，GX的最小值HA，132892A3当A3时，GX的最小值HA126A，当N3时，HA在N，M上为减函数，所以HA在N，M上的值域为HM，HN由题意，则有ERRORERROR，两式相减得6N6MN2M2，又MN，所以MN6，这与MN3矛盾，故不存在满足题中条件的M，N的值第三节函数的单调性与最值备考方向要明了考什么怎么考1理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2会利用函数的图象理解和研究函数的性质1函数的单调性，是高考考查的重中之重，主要考查求函数的单调区间、利用函数的单调性比较函数值的大小、利用函数单调性求函数值域或最值、利用函数的单调性解不等式等相关问题2函数的最值问题是每年高考的必考内容，一般情况下，不会对最值问题单独命题，主要是结合其他知识综合在一起考查，主要考查求最值的基本方法归纳知识整合1函数的单调性1单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数FX的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值X1，X2定义当X1FX2，那么就说函数FX在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的2如果函数YFX在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数YFX在区间D具有严格的单调性，这一区间叫做YFX的单调区间探究1函数Y的单调递减区间为，00，这种表示法对吗1X提示首先函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；如果一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结2函数FX在区间A，B上单调递增与函数FX的单调递增区间为A，B含义相同吗提示含义不同FX在区间A，B上单调递增并不能排除FX在其他区间上单调递增，而FX的单调递增区间为A，B意味着FX在其他区间上不可能单调递增2函数的最值前提设函数YFX的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意XI，都有FXM；存在X0I，使得FX0M对于任意XI，都有FXM；存在X0I，使得FX0M结论M为最大值M为最小值探究3函数的单调性、最大小值反映在其图象上有什么特征提示函数的单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大小值反映在图象上为其最高低点的纵坐标的值自测牛刀小试1教材习题改编函数FX，X2,6，则下列说法正确的有2X1函数FX为减函数；函数FX为增函数；函数FX的最大值为2；函数FX的最小值为25ABCD解析选B易知函数FX在X2,6上为减函数，故FXMINF6，FX2X125MAXF222函数Y2K1XB在，上是减函数，则AKBKDK1，即|X|0X211若2F1F1，求A的值；2证明当A1时，函数FX在区间0，上为单调减函数自主解答1由2F1F1，可得22AA，得A22232证明任取X1，X20，且X10，FX在0，上单调递减判断或证明函数的单调性的两种方法1利用定义的基本步骤是取值作差商变形确定符号得出结论2利用导数的基本步骤是求导函数确定符号得出结论1讨论函数FXA0的单调性AXX21解由X210，得X1，即定义域为，11,11，当X1,1时，设10，X1X210，X1X10212又A0，FX1FX20，函数FX在1,1上为减函数设10，X10，212X2X10，X1X210FX1FX20，即FX1FX2FX在1，上为减函数又函数FX是奇函数，FX在，1上是减函数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间1YX22|X|3；2YLOG2X21自主解答1依题意，可得当X0时，YX22X3X124；当X0，在1，上为增函数且0当X，1时，YLOG2X21为减函数，当X1，时，YLOG2X21为增函数1求函数单调区间应注意的问题函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须首先确定函数的定义域，求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行2求复合函数YFGX的单调区间的步骤1确定定义域；2将复合函数分解成基本初等函数YFU，UGX；3分别确定这两个函数的单调区间；4若这两个函数同增或同减，则YFGX为增函数；若一增一减，则YFGX为减函数，即“同增异减”2求函数Y的单调区间X2X6解令UX2X6，Y可以看作有Y与UX2X6的复合函数X2X6U由UX2X60，得X3或X2UX2X6在，3上是减函数，在2，上是增函数，而Y在0，上是增函数UY的单调减区间为，3，单调增区间为2，X2X6由函数的单调性求参数的值或范围例3已知函数FXA0在2，上为单调递增函数，求实数A的取值X2AX范围自主解答在区间2，上任取X1，X2，且X14A4，又A0，A的取值范围为0,4若将“FXA0”改为“FX”，如何求解X2AXX5XA2解FX1X5XA2A3XA2FX在2，上为增函数，30，解得即A0，故实数A的取值范围为，0利用函数的单调性求参数的方法及注意点利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参需注意若函数在区间A，B上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的3已知FXXA，若A0且FX在1，内单调递减，求A的取值范XXA围解任设10，X2X10，要使FX1FX20，只需X1AX2A0恒成立A1综上所述，A的取值范围是0,1函数的最值与应用例42013昆明模拟已知函数FX，X1，X22XAX1当A时，求函数FX的最小值；122若对任意X1，FX0恒成立，试求实数A的取值范围自主解答1当A时，FXX2，在1，上为增函数，FXMINF11212X722FXX2，X1，AX当A0时，FX在1，内为增函数最小值为F1A3要使FX0在X1，上恒成立，只需A30，即A3，所以30，A3所以01时，FX在1，上为减函数，在，上为增函数，所以FX在AA1，上的最小值是F22，220，显然成立综上所述，FX在AAA1，上恒大于零时，A的取值范围是3，1求函数最值的常用方法1单调性法先确定函数的单调性，再由单调性求最值；2图象法先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；3基本不等式法先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；4导数法先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；5换元法对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值2恒成立问题的解法1MFX恒成立MFXMAX；2M0X1X2FX1FX20FX在A，B上是增函数；FX1FX2X1X220CFX10，FX20，FX20解析选B函数FXLOG2X在1，上为增函数，且F20当11XX11,2时，FX1F20，即FX103若FXX22AX与GX在区间1,2上都是减函数，则A的取值范围是AX1A1,00,1B1,00,1C0,1D0,1解析选D函数FXX22AX在区间1,2上是减函数，A1又函数GX在区间1,2上也是减函数，AX1A0A的取值范围是0,142013潍坊模拟已知函数FX的图象向左平移1个单位后关于Y轴对称，当X2X11时，FX2FX1X2X1ABBCBACACBDBAC解析选D根据已知可得函数FX的图象关于直线X1对称，且在1，上是减函数AFF，所以BAC12525若函数FXLOGA2X2XA0且A1在区间内恒有FX0，则FX的单0，12调递增区间为AB，1414，C0，D，12解析选D令GX2X2X0，得X0或X0恒成立，故00，则函数FX在A，B上有A最小值FAB最大值FBC最小值FBD最大值FAB2解析选CFX是定义在R上的函数，且FXYFXFY，F00，令YX，则有FXFXF00FXFXFX是R上的奇函数设X10FX在R上是减函数FX在A，B有最小值FB二、填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分7函数FXXLOG2X2在区间1,1上的最大值为_13解析由于YX在R上递减，YLOG2X2在1,1上递增，所以FX在1,113上单调递减，故FX在1，1上的最大值为F13答案382013东城模拟函数FX的定义域为A，若X1，X2A且FX1FX2时总有X1X2，则称FX为单函数例如函数FX2X1XR是单函数给出下列命题函数FXX2XR是单函数；指数函数FX2XXR是单函数；若FX为单函数，X1，X2A且X1X2，则FX1FX2；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中真命题是_写出所有真命题的编号解析根据单函数的定义，函数是单函数等价于这个函数在其定义域内是单调的，故命题是真命题，是假命题；根据一个命题与其逆否命题等价可知，命题是真命题答案9已知函数FXERRORA是常数且A0对于下列命题函数FX的最小值是1；函数FX在R上是单调函数；若FX0在上恒成立，则A的取值范围是A1；对任意的X10在上恒成立，则12，2A10，A1，故正确；由图象可知在，0上对任意的12X10，X01A1X1求证FX在0，上是单调递增函数；2若FX在上的值域是，求A的值12，212，2解1证明设X2X10，则X2X10，X1X20，FX2FX11A1X21A1X10，1X11X2X2X1X1X2FX2FX1FX在0，上是单调递增的2FX在上的值域是，又FX在上单调递增，12，212，212，2F，F22易得A12122511已知函数FX对任意的A，BR恒有FABFAFB1，并且当X0时，FX11求证FX是R上的增函数；2若F45，解不等式F3M2M20，FX2X11FX2FX1FX2X110，即FX2FX1FX是R上的增函数2令AB2，得F4F2F212F21，F23而F3M2M20成立FAFBAB1判断FX在1,1上的单调性，并证明它；2解不等式F0，X1X20，则X2所以函数YLOGX23X2的定义域为，12，1又UX23X2的对称轴X，且开口向上32所以UX23X2在，1上是单调减函数，在2，上是单调增函数而YLOGU在0，上是单调减函数，1故YLOGX23X2的单调减区间为2，单调增区间为，12讨论函数FXM00，MX1X2X22X12即FX2FX1，故函数FX在区间，2上是增函数同理可得函数FX在区间2，上也是增函数综上，函数FX在，2，2，上为增函数3已知函数FX对于任意X，YR，总有FXFYFXY，且当X0时，FXX2，则X1X20，FX1FX2FX1FX2FX1X2，又X0时，FX0，FX1X2X2，则FX1FX2FX1X2X2FX2FX1X2FX2FX2FX1X2又X0时，FX0，FX1X20的X的取值范围是_解析当X0，时，FXLGX，当X0,1时，FX0又函数FX为奇函数，当X1,0时，FX0；当X，1时，FX0的X的取值范围是1,01，答案1,01，判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性1FX；3X2X232FX；4X2|X3|33FXX11X1X自主解答1由ERROR得X或X33函数FX的定义域为，33又对任意的X，33X，33且FXFXFX0FX既是奇函数，又是偶函数2ERROR2X2且X0函数FX的定义域关于原点对称又X30，FX4X2X334X2X又FX，4X2XFXFXFX为奇函数3由ERROR得1010时，FXX2X，则当X0，故FXX2XFX；当X0时，XF1CF1F5解析1选A因为FX为定义在R上的奇函数，所以F02020B0，解得B1所以当X0时，FX2X2X1，所以F1F12121132选A函数FX在区间0,5上是单调函数，又31，且F3F1选项B中，01，故F0F1，选项D中F30时，X2|COSX|而使问题得以简单解决2解决本题的关键有以下几点1正确识别函数FX的性质；2注意到X0是函数HX的一个零点，此处极易被忽视；3正确画出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题变式训练12013衡阳六校联考已知函数FX是，上的偶函数，若对于X0，都有FX2FX，且当X0,2时，FXLOG2X1，则F2011F2012A1LOG23B1LOG23C1D1解析选CFX是，上的偶函数，F2011F2011当X0时，FX4FX2FX，则FX是以4为周期的函数注意到201145023,20124503，F2011F3F12F1LOG2111，F2012F0LOG210F2011F2012122013朝阳模拟已知函数FX是定义在R上的偶函数，且对任意的XR，都有FX2FX当0X1时，FXX2若直线YXA与函数YFX的图象在0,2内恰有两个不同的公共点，则实数A的值是A0B0或12C或D0或141214解析选DFX2FX，T2又0X1时，FXX2，可画出函数YFX在一个周期内的图象如图显然A0时，YX与YX2在0,2内恰有两个不同的公共点另当直线YXA与YX20X1相切时也恰有两个不同公共点，由题意知YX22X1，X12A，又A点在YXA上，A，12，1414综上可知A0或14一、选择题本大题共6小题，每小题5分，共30分12012陕西高考下列函数中，既是奇函数又是增函数的为AYX1BYX3CYDYX|X|1X解析选D由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由YX|X|的图象可知当X0时此函数为增函数，又该函数为奇函数2已知FX是定义在R上的奇函数，且满足FX4FX，则F8A0B1C2D3解析选A由题意，FX是以4为周期的奇函数，则F4F40F00，F8F44F403设偶函数FX在0，上为减函数，且F20，则不等式0FXFXX的解集为A2,02，B，20,2C，22，D2,00,2解析选BFX为偶函数，0，FXFXX2FXXXFX0，ERROR或ERROR又F2F20，FX在0，上为减函数，X0,2或X，24已知函数FXERROR则该函数是A偶函数，且单调递增B偶函数，且单调递减C奇函数，且单调递增D奇函数，且单调递减解析选C当X0时，X0，FXFX12X2X10，易知F00因此，对任意XR，均有FX0，即函数FX是奇函数当X0时，函数FX是增函数，因此函数FX单FX调递增52013广州模拟已知定义在R上的奇函数FX满足FX4FX，且在区间0,2上是增函数，则AF250在1,3上的解集为A1,3B1,1C1,01,3D1,00,1解析选CFX的图象如图当X1,0时，由XFX0得X1,0；当X0,1时，由XFX0得X1,3故X1,01,3二、填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分7若函数FXAX2BX3AB是偶函数，定义域为A1,2A，则A_，B_解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以A12A，解得A13又函数FXX2BXB1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得B013答案0138若偶函数YFX为R上的周期为6的周期函数，且满足FXX1XA3X3，则F6等于_解析YFX为偶函数，且FXX1XA3X3，FXX21AXA,1A0A1FXX1X13X3F6F66F01答案192013徐州模拟设函数FX是定义在R上周期为3的奇函数，若F11又FX的周期为3，F1F21即0，解得A02A1A13AA1或A0，即X1X2X1X2A恒成立又X1X24，X1X24，X1X2X1X216A的取值范围是，1612设FX是，上的奇函数，FX2FX，当0X1时，FXX1求F的值；2当4X4时，求FX的图象与X轴所围成图形的面积；3写出，内函数FX的单调增或减区间解1由FX2FX得，FX4FX22FX2FX，所以FX是以4为周期的周期函数，所以FF4F4442由FX是奇函数与FX2FX，得FX12FX1FX1，即F1XF1X故知函数YFX的图象关于直线X1对称又0X1时，FXX，且FX的图象关于原点成中心对称，则1X0时FXX，则FX的图象如图所示当4X4时，设FX的图象与X轴围成的图形面积为S，则S4SOAB4412213函数FX的单调递增区间为4K1,4K1KZ，单调递减区间为4K1,4K3KZ1若函数FX3X3X与GX3X3X的定义域均为R，则AFX与GX均为偶函数BFX为奇函数，GX为偶函数CFX与GX均为奇函数DFX为偶函数，GX为奇函数解析选DFX3X3X，GX3X3X，FX3X3XFX，GX3X3XGXFX为偶函数，GX为奇函数2若定义在R上的偶函数FX和奇函数GX满足FXGXEX，则GX等于AEXEXBEXEX12CEXEXDEXEX1212解析选DFX为偶函数，GX为奇函数，FXFX，GXGXFXGXFXGXEX又FXGXEX，GXEXEX23已知FX是R上最小正周期为2的周期函数，且当0X0，回答下列问题1判断FX在1,1上的奇偶性，并说明理由；2判断函数FX在0,1上的单调性，并说明理由；3若F，试求FFF的值151212111119解1令XY0F00，令YX，则FXFX0FXFXFX在1,1上是奇函数2设00，X1X21X1X21X11X11X1X2故10，X1X21X1X2X1X21X1X2即当0FX2，FX在0,1上单调递减3由于FF1215FF1215FF1215112513同理，FFF，1311114FFF，1411915FFF121111192F211512第五节二次函数与幂函数备考方向要明了考什么怎么考1了解幂函数的概念2结合函数YX，YX2，YX3，Y，YX的图象，了解它们的变化情1X12况3掌握二次函数的概念、图象特征4掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值5掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的密切关系，提高解综合问题的能力1以集合为载体，考查二次方程的解集，二次函数的定义域、值域或二次不等式的解集，如2012年北京T1，浙江T1等2以二次函数的图象为载体，利用数形结合的思想解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此有关的参数范围的问题，如2012年北京T4等3一元二次方程根的分布也是高考考查的重点，如2012年江苏T13等归纳知识整合1二次函数的解析式1一般式FXAX2BXCA0；2顶点式若二次函数的顶点坐标为H，K，则其解析式为FXAXH2KA0；3两根式若相应一元二次方程的两根为X1，X2，则其解析式为FXAXX1XX2A02二次函数的图象和性质A0A0A0与AX2BXC0恒成立的充要条件是ERROR其几何意义是抛物线恒在X轴上方；2AX2BXC0时，根据幂运算，幂函数YX0恒成立，所以幂函数在第四象限没有图象；幂函数的图象最多只能出现在两个象限内3函数YX，YX2，YX3，YX，Y在区间0,1上图象的上、下位置与幂指数121X的大小有什么关系提示在区间0,1上幂指数越大其图象越靠下自测牛刀小试1如果二次函数的图象开口向上且关于直线X1对称，且过点0,0，则此二次函数的解析式为AFXX21BFXX121CFXX121DFXX121解析选D由图象开口向上且关于直线X1对称，可排除A、B选项；由图象过点0,0可排除C选项2已知函数FXAX2X5在X轴上方，则A的取值范围是AB0，120，120CD120，120，0解析选C函数FXAX2X5在X轴上方，ERROR即A1203教材习题改编已知函数YX22X3在闭区间0，M上有最大值3，最小值2，则M的取值范围为A0,1B1,2C1,2D1,2解析选B如