数学与应用数学毕业论文-关于和与积相等的矩阵对

本科毕业论文学院数学与信息科学学院专业数学与应用数学年级2010级姓名王亚辉论文题目关于和与积相等的矩阵对指导教师张艳艳职称讲师2014年5月3日学号20105031305目录摘要1关键词1ABSTRACT1KEYWORDS10前言11引理及相关定理22满足的矩阵对的一些性质6AB3主要结论及证明7参考文献12关于和与积相等的矩阵对姓名王亚辉学号20105031305数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师张艳艳职称讲师摘要满足的矩阵对之间有着密切联系本文从矩阵的秩、迹、非奇AB异性、特征值、对角化等方面，讨论了矩阵对的一些性质，并给出满足这种矩阵对条件下的一些特殊矩阵在迹与秩，行列式计算等方面的性质关键词特征值；秩；迹；矩阵对；HERMITE阵MATRIXHAVINGEQUALSUMANDPRODUCTABSTRACTIFMATRIXPAIRSATISFIESTHECONDITION,THESETWOMATRICESHAVEBA,ABSOMECONNECTIONSINTHISPAPER,WEDISCUSSESSOMEPROPERTIESOFTHEMATRIXFROMTHERANK,TRACE,INVERTIBILITY,EIGENVALUES,DIAGONALIZATION,ANDGIVETHENATUREOFSOMESPECIALMATRIXWHICHSATISFIESTHISMATRIXINTRACEANDRANK,THEDETERMINANTCALCULATIONANDSOONKEYWORDSEIGENVALUERANKTRACEMATRIXPAIRHERMITEMATRIX0前言矩阵的和与乘积是矩阵的两种基本运算，它们的特征值、秩、正定性等方面的关系问题,在理论上和实际应用中都很有意义,例如矩阵特征值与奇异值估计在矩阵计算、误差分析中有着重要的应用,因此对矩阵和与乘积的研究得到了许多学者的关注对于两个阶矩阵,的乘积,一般主要研究它们的可交换性但事实上,矩阵NABBA对,它们的和与积相等这对矩阵在矩阵的秩、特征值和特征向量、正定性、非奇异性等方面都有一些很密切的联系通过对此题目的探讨不仅可以加深对矩阵的进一步了解同时也将所学知识与实际结合，更加深刻认识特殊矩阵在实际中的重要应用文中表示阶单位矩阵，为矩阵的秩，表示矩阵的转置，为阶NERATANHHERMITE矩阵，为矩阵的迹，表示矩阵的共轭转置，和分别THUAB为矩阵和的KRONECKER积和HADAMARD积以下用表示集合ABM，即阶矩阵对符合条件,|,NC,AB如矩阵和以及和都是符231521023101380合条件的矩阵对M1引理及相关定理定义设且，若，有，则为正定矩阵7NARTANXR00TAX定义设，若，则称为规范矩阵2T引理若是正定矩阵，则71E引理2若，是非奇异矩阵，则是正定矩阵的充要条件是是正NPTPA定矩阵引理是规范矩阵，若，则是正定矩阵73ARE0A引理4相似的矩阵有相同的特征值引理5阶矩阵，符合条件的充分必要条件是和互为逆矩阵；NBMAEB且若矩阵对符合条件，则及,R证明因为AE即AEBBABA又和互为逆矩阵，所以，故RRR引理6若矩阵对符合条件，则存在阶非奇异矩阵和，使得,ABMNPQAPBQ证明由引理1显然得证引理（HOFFMANWIELAND定理）设，均为实对称阵，37BCABCN它们的特征值分别为，则，12N12N12A，的特征值之间有如下关系成立BC2211NNIII引理（NEUMANN不等式）28设，的特征值分别为，则ABNHAB（1）111NNINIIIABTRAB设，的奇异值分别为，则ABNH（2）11RENNIIIITRA引理设是交换族，那么存在一个酉阵，使得对每个，109NMMUA是上三角的AUH定理1设、，是正定对称矩阵，则ABNRA11TTABB是正定矩阵的充要条件是BE0证明若是正定矩阵，由引理2知，是正定矩阵,由引理1得12反之，若，则由引理4得RE0BRE0AB因11TTA故12222因此，是规范矩阵，由引理3知，是正定矩阵由引理2知是正定12AB1ABAB矩阵定理2若矩阵对符合条件，则,ABM（1）矩阵和的特征值均不为1；若是的特征值，则对应的特征，和AB1A有公共的特征向量系；B（2）可以对角化的充分必要条件是可以对角化，即，可以同时对角化；AB（3）若有个不同的特征值，存在一个次数不超过的多项式使得N1NFX,F证明（1）由引理1，即1既不是的特征值，也不是0EA0BA的特征值设是矩阵的特征向量，对应的特征值是,则，而,故B,，所以也是矩阵的特征向量，ABA1B对应的特征值为；若是矩阵的特征向量，同理可证它也是的特征向量,这1BA说明与有公共的特征向量系AB2只证必要性由相似于对角矩阵,因而存在非奇异矩阵,使AP,为的特征值,所以令112,NPDIAGI12,NPDIAG则,为的特征向量,由1知,也是矩12,NII12NII阵B的特征向量,设,为的特征值,则IIBIB1,于是相似于对角矩阵1112212,NNNPDIAGB3有个不同的特征值,故可对角化,由2知也可对角化令AA,取多项式,由于互不相同,根据LAGRANGE插值定理可知,存12,NCDIAGFI在一个次数不超过的多项式,使得,则,即有IIF1NDFC,从而,定理1得证111PBFAPFBA推论设,为正定的HERMITE阵，且满足条件，则存在酉阵NCM，使得和同时为对角阵NCH定理3若,都是数域上满足条件的矩阵，若,的特征值都在中，则BFMAB存在上非奇异矩阵，使得及都是上三角矩阵，即，可同时上三角P1A1PB化证明对矩阵的阶数用数学归纳法当时，结论显然，假定对阶矩阵结NN1N论成立，因为，满足条件，则，且与有公共的特征量，不妨ABAB，其中，分别为，的特征值，则存在上的阶非奇异矩阵，FN2,NQ使得，110A110BQ其中向量，都是阶矩阵显然，于是根据归纳假2,NF1N1AB设，存在上的阶非奇异矩阵，使得及同时为上三角矩阵R11R令，则10PQR为上三角阵11100PAQARAR同理也是上三角矩阵，定11100PBQBRAR理2得证推论1设矩阵对满足条件，若是HERMITE矩阵，则也是HERMITE,AMB矩阵，且存在阶酉矩阵，使得和为对角矩阵NUHUB证明因为是阶HERMITE矩阵，所以存在阶酉矩阵，使得NNU，由定理1中（2）可知，显然，12,NUADIAG12,NDIAG也是HERMITE矩阵，且可同时对角化，推论1得证B推论2设,是满足条件的正规矩阵，则，都是BMABAB正规矩阵，且存在酉矩阵，使得和为对角矩阵UHAU推论3若矩阵对满足条件，则下列条件等价,I非奇异，（II）非奇异，（III）或非奇异，（IV）非奇异ABBAB推论4设，是满足条件的正定（或半正定）矩阵，则，及都是正定（或半正定）矩阵B两个HERMITE矩阵积与其特征值之间的关系问题有著名的NEUMANN不等式，两个实对称矩阵和的特征值关系问题有HOFFMANWIELANDT定理，故由引理3，引理4及推论1和4，有推论5设，是满足条件的正定矩阵，则对任意正整数，有ABMKKKTRABTR推论6若，是满足条件的HERMITE阵，设为的特征值，则IA为的特征值，为和的全体特征值1IIIII1,2NAB2满足的矩阵对的一些性质AB性质1如果，则有（1），均为正整数；MKKLLBAKM,（2），其中是的多项式，即与的多项式可交换；FFF（3）121MABA，为整数；M（4）（矩阵二项式定理），为整数；MKKBACB0M（5），为整数；KK性质2（1）若且是可逆的，则可交换；1A,B（2）若且是可逆的，则可交换AB性质3（1）若且是正交阵，则可交换；T,（2）若且是正交阵，则可交换3主要结论及证明结论1是正定矩阵，、都是对称矩阵且满足，则是正定矩阵AABABA的充要条件是0B证明因为，由引理5得从而易得，11TTABA而为实数，由定理1即得结论B结论2矩阵，为满足条件的阶HERMITE阵，且，BN0AB则2TRABRANK上述等式成立当且仅当存在一个具有标准正交列的矩阵和某个1,RNRUUM使得RHABU证明设是的非零特征值，由CAUCHYSCHWARZ不等式得1,R，2TAB21RI21RI2TAB即R2T因为，满足所以，即ABABABAB所以，可交换又知，均为HERMITE阵，所以为HERMITE阵下面对等号成立进行证明充分性若，且为标准正交列的矩阵，HABAU1,RNRUM则2TRAB2HTRAURA2从而2TRABR必要性记，则且，为非零矩阵ABC2TRCRANKNHC为HERMITE阵，存在酉阵NMU,使得，H其中,酉阵由矩阵的特征向量正交化，单位化得到,即，且UCRUU,21，（）为的非零特征值EH120RIR,21C所以,122221RIHHRITUTUTRCR又知，所以2TR，221221RR将上式展开后重新合并可得232123121R0212RRR易得R21记，则，IR,21HHCUUR结论3矩阵，均为阵，且，ABDNABA0则CBD证明因为10NECAB10BACD所以1NB11ADBC又知，所以AB即有10NEC1故ADB结论4设分别有特征值和且，则存在指NMB,N,1N,1AB标的一个排列，使得的特征值是N,1I,1NIII,21证明因为，所以根据引理9可得，它们可以同时上三角化，ABA即存在酉矩阵，使得NU和THRUH都是上三角矩阵，且分别具有对角元及，N,1NII,1又BAH有对角元NIII,21且以它们为特征值，同时，由于相似于，所以它们必定也是的特征值BARTBA由结论4可得推论41和推论42推论41且，则的各特征值之和是的各特征值和加NMBA,上的各特征值的和B证明由结论4得，的特征值为，NIII,21故的特征值之和为NIII21又知的特征值之和为AN21的特征值之和为BN21NIII21显然推论41成立推论41的另一种表述若且，则NMBA,ABBTRATTR推论42若且，和分别为的特征值，N,N,1N,1BA,，则是非奇异矩阵JII21,证明由结论4知的特征值是BANIII,21其中，为的一个重新组合NII,1N,1又知，所以，JI20JIJI,1,即均不为零,NIII,21所以有个非零特征值，故非奇异BANBA结论5，且满足，如果对角阵的主对角线上的元素互不相NM,A等，那么也是对角阵证明设，其中（），NAA1JIAJI，（），因为，故，NIJBBJI,2,AB可得，IJIJIJBABA整理得，0IJI又因为时，故时，JIJIAJIIJ参考文献1杨兴东矩阵之和的特征值与奇异值估计J数学杂志,2004,2432632662席博彦,张晓明关于矩阵和与矩阵积的特征值的关系J数学研究论,2004,2446896963伍俊良,刘飞实对称矩阵和与差的一些特征值与F2范数不等式J高等学校计算数学学报,2004,2643653704SHAHUYUNESTIMATIONOFTHEEIGENVALUESOFABFORA0,B0JLINEARALGEBRAAPPL,1986,731471505黎罗罗可交换厄米特矩阵乘积的特征值J中山大学学报自然科学版,1999,382696黄涵,周士藩对称矩阵和的秩与惯性指数J宁夏大学学报自然科版,1991,124157詹仕林矩阵乘积的正定性J安徽大学学报自然科学版,2003,27210128史荣昌,魏丰矩阵分析M第二版北京北京理工大学出版社,20059王松桂，吴密霞，贾忠贞矩阵不等式M第二版北京科学出版社,200610杨奇矩阵分析M北京机械工业出版社,2005请您删除一下内容，O_O谢谢MANYPEOPLEHAVETHESAMEMIXEDFEELINGSWHENPLANNINGATRIPDURINGGOLDENWEEKWITHHEAPSOFTIME,THESEVENDAYCHINESENATIONALDAYHOLIDAYCOULDBETHEBESTOCCASIONTOENJOYADESTINATIONHOWEVER,ITCANALSOBETHEEASIESTWAYTORUINHOWYOUFEELABOUTAPLACEANDYOUMAYBECOMEMOREFATIGUEDAFTERTHEHOLIDAY,DUETOBATTLINGTHELARGECROWDSDURINGPEAKSEASON,ADREAMABOUTAPLACECANTURNTONIGHTMAREWITHOUTCAREFULPLANNING,ESPECIALLYIFYOUTRAVELWITHCHILDRENANDOLDERPEOPLEASMOSTCHINESEPEOPLEWILLTAKETHEHOLIDAYTOVISITDOMESTICTOURISTDESTINATIONS,CROWDSANDBUSYTRAFFICAREINEVITABLEATMOSTPLACESALSOTOBEEXPECTEDAREINCREASINGTRANSPORTANDACCOMMODATIONPRICES,WITHTHEPOSSIBILITYTHATTHEREWILLBENOROOMSAVAILABLEITISALSOCOMMONTHATYOULLWAITINTHELINEFORONEHOURTOGETATICKET,ANDANOTHERTWOHOURSATTHESITE,TOONLYSEEATINYBITOFTHEPLACEDUETOTHECROWDSLASTYEAR,428MILLIONTOURISTSTRAVELEDINCHINAOVERTHEWEEKLONGHOLIDAYINOCTOBERTRAVELINGDURINGTHISPERIODISAMATTERTHATNEEDSTHOROUGHPREPARATIONIFYOUARESHORTONTIMETOPLANTHEUPCOMING“GOLDENWEEK“ITMAYNOTBEABADIDEATOAVOIDSOMEOFTHEMOSTCROWDEDPLACESFORNOWTHEREISALWAYSAPLACESOFASCINATINGTHATEVERYONEYEARNSFORARXANISAPLACELIKETHISTHEBEAUTYOFARXANISEVERLASTINGREGARDLESSOFTHECHANGINGOFFOURSEASONSBESTOWEDBYNATURE,ITSSPECTACULARSEASONALLANDSCAPEANDMOUNTAINSAREJUSTBEYONDWORDARXANISACRUCIALDESTINATIONFORTHERECOMMENDEDTRAVELLINGROUTE,“CHINAINNERMONGOLIAARXANHAILARMANZHOULI“ITISALSOTHEJOINTOFTHEFOURPRAIRIESACROSSTHESINOMONGOLIANBORDER,WHEREPEOPLEGRAVITATETOWARDSTHEEXOTICATMOSPHEREMIXEDWITHCHINESE,RUSSIAN,ANDMONGOLIAELEMENTSASAHISTORICSITEFORTHEYITIANBATTLE,ARXANSTILLEMBODIESTHESPIRITOFGENGHISKHANWALKINGINTOARXAN,YOUWILLBEAMAZEDBYAKALEIDOSCOPEOFGORGEOUSCOLORSALLTHEYEARROUNDTHESPRINGAZALEASBLOOMINGREDINTHESNOW,THESUMMERSEAWAVERINGBLUEINTHEBREEZE,THEAUTUMNLEAVESPAINTEDINYELLOWCOVERINGVOLCANICTRACES,ANDTHEWINTERWOODSSHININGWHITEONTHEVASTALPINESNOWSCAPEHINGGANLEAGUEARXANCITYISSITUATEDINTHEFAREASTERNAREAOFINNERMONGOLIAAUTONOMOUSREGIONITSFULLNAME“HARENARXAN“MEANS“HOTHOLYWATER“INTHEMONGOLIANLANGUAGEARXANISATOURISMCITYINTHENORTHERNFRONTIERWITHABLENDOFLARGEFOREST,GRANDPRAIRIES,VASTSNOWFIELD,HEAVENLAKECLUSTER,THERMIUM,ASWELLASVOLCANICCLUSTERITISARAREANDUNIQUEECOTOURISMBASEFILLEDWITHHEALTHYSUNSHINE,CLEANAIRANDUNSPOILEDGREENNESTLEDCLOSETOTHECOUNTRYSLARGESTVIRGINFOREST,ANDKNOWNFORITSSPRINGANDECOLOGICALENVIRONMENT,ARXANISMARVELEDATBYMANYTOURISTSASTHEPURESTLANDONEARTHYOUCANNOTMISSOUTTHEAUTUMNOFARXANITISDEFINITELYTHEBESTWITHBRIGHTLYCOLOREDSCENERYFULLOFEMOTIONSAUTUMNINTHENORTHERNPARTOFTHECOUNTRYCOMESEARLIERTHANTHESOUTHASEPTEMBERRAINFOLLOWEDBYTHEFOOTPRINTSOFAUTUMNBRINGSMORECOLORSTOTHEONCEEMERALDGREENMOUNTAINANDBLOOMINGGRASSLANDSHUTTERBUGSFLOCKTOSEEFORTHEMSELVESTHEMARVELOFSPLENDIDCOLORSAROUNDTHEMOUNTAINSANDWATERS,MANYOFWHOMHAVETRAVELALONGDISTANCEANDEVENCAMPHEREONLYTOCAPTUREAMOMENTOFTHENATUREWONDERTHESILVERBIRCHTURNSGOLDEN,WHILETHELARCHISSTILLPROUDLYGREENYOUWILLFINDYOURSELFDROWNEDINTHEINTOXICATINGREDOFTHEWILDFRUITSASWELLASTHEGLAMOUROFFLOWERSINFULLBLOWNANDYOURHEARTWILLBELINGERINGONTHEWOODSASITSTIMEFORTHEWILDFRUITSTORIPETHEPICTURESQUEARXANINAUTUMNISINDEEDAFAIRYLANDONLYEXISTSINADREAMTHATSATISFIESALLYOURFANTASIESIFITRAINSHEAVILYONSATURDAYNIGHT,SOMEELDERLYCHINESEWILLSAYITISBECAUSEZHINU,ORTHEWEAVINGMAID,ISCRYINGONTHEDAYSHEMETHERHUSBANDNIULANG,ORTHECOWHERD,ONTHEMILKYWAYMOSTCHINESEREMEMBERBEINGTOLDTHISROMANTICTRAGEDYWHENTHEYWERECHILDRENONQIXI,ORTHESEVENTHNIGHTFESTIVAL,WHICHFALLSONTHESEVENTHDAYOFTHESEVENTHLUNARMONTH,WHICHISUSUALLYINEARLYAUGUSTTHISYEARITFALLSONSATURDAY,AUGUST2FOLKLORESTORYASTHESTORYGOES,ONCETHEREWASACOWHERD,NIULANG,WHOLIVEDWITHHISELDERBROTHERANDSISTERINLAWBUTSHEDISLIKEDANDABUSEDHIM,ANDTHEBOYWASFORCEDTOLEAVEHOMEWITHONLYANOLDCOWFORCOMPANYTHECOW,HOWEVER,WASAFORMERGODWHOHADVIOLATEDIMPERIALRULESANDWASSENTTOEARTHINBOVINEFORMONEDAYTHECOWLEDNIULANGTOALAKEWHEREFAIRIESTOOKABATHONEARTHAMONGTHEMWASZHINU,THEMOSTBEAUTIFULFAIRYANDASKILLEDSEAMSTRESSTHETWOFELLINLOVEATFIRSTSIGHTANDWERESOONMARRIEDTHEYHADASONANDDAUGHTERANDTHEIRHAPPYLIFEWASHELDUPASANEXAMPLEFORHUNDREDSOFYEARSINCHINAYETINTHEEYESOFTHEJADEEMPEROR,THESUPREMEDEITYINTAOISM,MARRIAGEBETWEENAMORTALANDFAIRYWASSTRICTLYFORBIDDENHEORDEREDTHEHEAVENTROOPTOCATCHZHINUBACKNIULANGGREWDESPERATEWHENHEDISCOVEREDZHINUHADBEENTAKENBACKTOHEAVENDRIVENBYNIULANGSMISERY,THECOWTOLDHIMTOTURNITSHIDEINTOAPAIROFSHOESAFTERITDIEDTHEMAGICSHOESWHISKEDNIULANG,WHOCARRIEDHISTWOCHILDRENINBASKETSSTRUNGFROMASHOULDERPOLE,OFFONACHASEAFTERTHEEMPRESSTHEPURSUITENRAGEDTHEEMPRESS,WHOTOOKHERHAIRPINANDSLASHEDITACROSSTHESKYCREATINGTHEMILKYWAYWHICHSEPARATEDHUSBANDFROMWIFEBUTALLWASNOTLOSTASMAGPIES,MOVEDBYTHEIRLOVEANDDEVOTION,FORMEDABRIDGEACROSSTHEMILKYWAYTOREUNITETHEFAMILYEVENTHEJADEEMPERORWASTOUCHED,ANDALLOWEDNIULANGANDZHINUTOMEETONCEAYEARONTHESEVENTHNIGHTOFTHESEVENTHMONTHTHISISHOWQIXICAMETOBETHEFESTIVALCANBETRACEDBACKTOTHEHANDYNASTY206BCAD220TRADITIONALLY,PEOPLEWOULDLOOKUPATTHESKYANDFINDABRIGHTSTARINTHECONSTELLATIONAQUILAASWELLASTHESTARVEGA,WHICHAREIDENTIFIEDASNIULANGANDZHINUTHETWOSTARSSHINEONOPPOSITESIDESOFTHEMILKYWAYCUSTOMSINBYGONEDAYS,QIXIWASNOTONLYASPECIALDAYFORLOVERS,BUTALSOFORGIRLSITISALSOKNOWNASTHE“BEGGINGFORSKILLSFESTIVAL“OR“DAUGHTERSFESTIVAL“INTHISDAY,GIRLSWILLTHROWASEWINGNEEDLEINTOABOWLFULLOF