［精品］高中数学选修2-1单元测试同步试卷［全套］［人教a版］

高中数学选修21单元测试同步试卷全套第一章常用逻辑用语测试题1、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（）A、真命题与假命题的个数相同B、真命题的个数一定是奇数C、真命题的个数一定是偶数D、真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数2、下列命题中是真命题的是（）“若X2Y20，则X，Y不全为零”的否命题“正多边形都相似”的逆命题“若M0，则X2XM0有实根”的逆否命题“若X123是有理数，则X是无理数”的逆否命题A、B、C、D、3、“A1或B2”是“AB3”的（）A、充分不必要条B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要4、设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要非充分条件，则甲是丁的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要5、函数F（X）X|XA|B是奇函数的充要条件是（）A、AB0B、AB0C、ABD、A2B206、“12M”是“直线2X3MY10与直线2XM2Y30相互垂直”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要7、若“BCD“和“EF“都是真命题,其逆命题都是假命题，则“CD“是“EF“的（）A必要非充分条件B充分非必要条件C充要条件D既非充分也非必要条件8、在下列结论中，正确的是（）“QP为真是“QP为真的充分不必要条件；“QP为假是“QP为真的充分不必要条件；为真是为假的必要不充分条件；为真是为假的必要不充分条件ABCD9、下列命题中、若M0，则方程X2XM0有实根；、若X1,Y1,则XY2的逆命题；、对任意的XX|20是一元二次方程AX2BXC0有一正根和一负根的充要条件；其中是真命题的有10、设集合,0,NYXBYARYXU，那么点P（2，3）BCAU的充要条件是11、若把命题“AB”看成一个复合命题，那么这个复合命题的形式是_，其中构成它的两个简单命题分别是_。12、写出下列命题的否定（1）所有自然数的平方是正数（2）任何实数X都是方程5X120的根（3）对于任意实数X，存在实数Y，使XY0（4）有些质数是奇数13、已知命题P“若,0AC则二次方程02CBXA没有实根”1写出命题P的否命题；2判断命题P的否命题的真假,并证明你的结论14、已知P231X,Q0122MX,若P是Q的必要不充分条件，求实数M的取值范围。15已知0AB,求证1B的充要条件是023BABA16、（12）已知C0，设P函数XYC在R上单调递减；Q不等式2XC1的解集为R，如果“P或Q”为真，且“P且Q”为假，求C的取值范围。新人教A版高二数学同步测试（1）（21第一章）说明本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）1函数F（X）X|XA|B是奇函数的充要条件是（）AAB0BAB0CABDA2B202“至多有三个”的否定为（）A至少有三个B至少有四个C有三个D有四个3有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像金盒上写有命题P肖像在这个盒子里；银盒上写有命题Q肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题R肖像不在金盒里P、Q、R中有且只有一个是真命题，则肖像在（）A金盒里B银盒里C铅盒里D在哪个盒子里不能确定4不等式042XA对于RX恒成立，那么A的取值范围是（）A,2B,C2,D2,5“A和B都不是偶数”的否定形式是（）AA和B至少有一个是偶数BA和B至多有一个是偶数CA是偶数，B不是偶数DA和B都是偶数6某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是（）A不拥有的人们不一定幸福B不拥有的人们可能幸福C拥有的人们不一定幸福D不拥有的人们不幸福7若命题“P或Q”为真，“非P”为真，则（）AP真Q真BP假Q真CP真Q假DP假Q假8条件P1X，Y，条件Q2YX，1，则条件P是条件Q的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件92X25X30的一个必要不充分条件是（）A1X3B21X0C3X21D1X610设原命题若AB2，则A,B中至少有一个不小于1则原命题与其逆命题的真假情况是（）A原命题真，逆命题假B原命题假，逆命题真C原命题与逆命题均为真命题D原命题与逆命题均为假命题二、填空题请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）11下列命题中_为真命题“ABA”成立的必要条件是“AB”；“若X2Y20，则X，Y全为0”的否命题；“全等三角形是相似三角形”的逆命题；“圆内接四边形对角互补”的逆否命题12若P“平行四边形一定是菱形”，则“非P”为_13已知P，Q都是R的必要条件，S是R的充分条件,Q是S的充分条件，则S是Q的条件，R是Q的条件，P是S的条件14设P、Q是两个命题，若P是Q的充分不必要条件，那么非P是非Q的条件三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤共76分15（12分）分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假（1）矩形的对角线相等且互相平分；（2）正偶数不是质数16（12分）写出由下述各命题构成的“P或Q”，“P且Q”，“非P”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假（1）P连续的三个整数的乘积能被2整除，Q连续的三个整数的乘积能被3整除；（2）P对角线互相垂直的四边形是菱形，Q对角线互相平分的四边形是菱形；17（12分）给定两个命题,P对任意实数X都有012AX恒成立；Q关于X的方程02AX有实数根；如果与Q中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围18（12分）已知P，Q都是R的必要条件，S是R的充分条件，Q是S的充分条件，那么（1）S是Q的什么条件（2）R是Q的什么条件（3）P是Q的什么条件19（14分）设00C1D1二用“充分、必要、充要”填空（每题6分）6已知、是不同的两个平面，直线BA直线,，命题BAP与无公共点；命题/Q，则QP是的条件7P是Q的充分不必要条件，R是Q的必要不充分条件，那么P是R的_条件8“0AB”是“A”的_条件9为真命题是为真命题的_条件；三解答题（131414）10写出下列命题的“P”命题（1）正方形的四边相等（2）平方和为0的两个实数都为0（3）若ABC是锐角三角形，则ABC的任何一个内角是锐角（4）若ABC，则,BC中至少有一个为11已知PB0,Q函数12XAXF是偶函数命题“若P，则Q”是真命题吗它的逆命题是真命题吗P是Q的什么条件12设P,32QX8，则P是Q什么条件B组题（共100分）一选择题（每题7分）1有下列四个命题“若0XY,则XY互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若1Q,则20Q有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（）ABCD2设集合|2,|3MXPX,那么“XM,或P”是“XMP”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件3“1M”是“直线M2X3MY10与直线M2XM2Y30相互垂直”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要4下列命题中正确的是（）“若X2Y20，则X，Y不全为零”的否命题“等腰三角形都相似”的逆命题“若M0，则方程X2XM0有实根”的逆否命题“若X123是有理数，则X是无理数”的逆否命题ABCD5在集合X|MX02的元素中，有且仅有一个元素是负数的充要条件（）AM1BM0的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是P、Q，则1等于（）A2ABA21C4ADA4二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11抛物线Y24X的弦AB垂直于X轴，若AB的长为43，则焦点到AB的距离为12抛物线Y2X2的一组斜率为K的平行弦的中点的轨迹方程是13P是抛物线Y24X上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是14抛物线的焦点为椭圆1492Y的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为三、解答题（本大题共6小题，共76分）15已知动圆M与直线Y2相切，且与定圆C1322YX外切，求动圆圆心M的轨迹方程12分16已知抛物线的顶点在原点，对称轴是X轴，抛物线上的点M（3，M）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和M的值（12分）17动直线YA，与抛物线XY21相交于A点，动点B的坐标是3,0A，求线段AB中点M的轨迹的方程12分18河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高075米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航12分19如图，直线L1和L2相交于点M，L1L2，点NL1以A、B为端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角形，|AM|，|AN|3，且|BN|6建立适当的坐标系，求曲线段C的方程14分20已知抛物线02PXY过动点M（A，0）且斜率为1的直线L与该抛物线交于不同的两点A、B，P2|（）求A的取值范围；（）若线段AB的垂直平分线交X轴于点N，求ABRT面积的最大值14分参考答案一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案ADABCBACCC二填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11212KX13（1，0）14XY42三、解答题（本大题共6题，共76分）15（12分）解析设动圆圆心为M（X，Y），半径为R，则由题意可得M到C（0，3）的距离与到直线Y3的距离相等，由抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹是以C（0，3）为焦点，以Y3为准线的一条抛物线，其方程为YX121612分解析设抛物线方程为2PYX，则焦点F（0,2P），由题意可得52362PM，解之得46M或，故所求的抛物线方程为YX82，2的值为17（12分）解析设M的坐标为（X，Y），A（A，），又B3,0A得YX2消去A，得轨迹方程为42，即X18（12分）解析如图建立直角坐标系，设桥拱抛物线方程为02PYX，由题意可知，B（4，5）在抛物线上，所以61，得YX23，当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA，则A（Y,2），由AY23得45AY，又知船面露出水面上部分高为075米，所以750H2米1914分解析如图建立坐标系，以L1为X轴，MN的垂直平分线为Y轴，点O为坐标原点由题意可知曲线C是以点N为焦点，以L2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点设曲线段C的方程为,PY，其中BAX,分别为A、B的横坐标，MN所以，0,2,NPM由17，3A得172AAXXOXAB92AAPXX联立解得4将其代入式并由P0解得14AXP，或2A因为AMN为锐角三角形，所以AXP2，故舍去2AP4，1X由点B在曲线段C上，得4BN综上得曲线段C的方程为0,482YY2014分解析（）直线L的方程为AXY，将PXAXY代入，得022AXPX设直线L与抛物线两个不同交点的坐标为,1YA、,2B，则,421AX又AXY21,，212|YAB421218AP08,|0P，AP8解得42P（）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为,3YX，则由中点坐标公式，得AX213，PY2211320|PPQM又MNQ为等腰直角三角形，N|，|21ABSN|AB22P即AB面积最大值为2P新课标高二数学同步测试（21第三章31）说明本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）1在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若BA1A，1DAB，1C则下列向量中与1相等的向量是（）AA2BCBA2CD2在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（）AOO2BOCBAOM21351C0D03已知平行六面体BCDA中，AB4，AD3，9D，06A，则等于（）A85B85C52D504与向量1,32A平行的一个向量的坐标是（）A（，1，1）B（1，3，2）C（2，1）D（，3，2）5已知A（1，2，6），B（1，2，6）O为坐标原点，则向量,OAB与的夹角是（）A0BCD326已知空间四边形ABCD中，CBAA，点M在OA上，且OM2MA，N为BC中点，则MN（）ACBA213BCA213CDB7设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足000ADB，AC，则BCD是（）图A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D不确定8空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC600，则COSBC，OA（）A21B2C21D09已知A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则ABC的面积为（）A3BC6D2610已知,2,1,TBTA，则|BA的最小值为（）A5B5C53D51二、填空题请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）11若1,32A，3,2B，则BA,为邻边的平行四边形的面积为12已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且GNM，现用基组OCBA,表示向量G，有OXOCZBYA，则X、Y、Z的值分别为13已知点A1，2，11、B4，2，3，C6，1，4，则ABC的形状是14已知向量0,3A，3,KB，若BA,成1200的角，则K三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤共76分15（12分）如图，已知正方体ABCD的棱长为A，M为BD的中点，点N在上，且|3|ANC，试求MN的长16（12分）如图在空间直角坐标系中BC2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（21,3，0），点D在平面YOZ上，且BDC90，DCB30（1）求向量O的坐标；（2）设向量A和BC的夹角为，求COS的值17（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直ONMDCBACBADZYX图18（12分）四棱锥PABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，AB2，1，4，AD4，2，0，A1，2，1（1）求证PA底面ABCD；（2）求四棱锥PABCD的体积；（3）对于向量AX1，Y1，Z1，BX2，Y2，Z2，CX3，Y3，Z3，定义一种运算（B）CX1Y2Z3X2Y3Z1X3Y1Z2X1Y3Z2X2Y1Z3X3Y2Z1，试计算（ABD）P的绝对值的值；说明其与四棱锥PABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（）A的绝对值的几何意义19（14分）如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，M、N分别是A1B1、A1A的中点（1）求N的长；（2）求COS的值；（3）求证A1BC1M20（14分）如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形且C1CBC1CDBCD60（1）证明C1CBD；（2）假定CD2，CC123，记面C1BD为，面CBD为，求二面角BD的平面角的余弦值；（3）当1CD的值为多少时，能使A1C平面C1BD请给出证明参考答案一、1A；解析2111BCABMC21（BA）2ABC评述用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法考查学生的空间想象能力2A；解析空间的四点P、A、B、C共面只需满足,OCZBYAXOP且1ZYX既可只有选项A3B；解析只需将D，运用向量的内即运算即可，2|A4C；解析向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式即BAB/,05C；解析|COS，计算结果为16B；解析显然OACBOMN3227B；解析过点A的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形8D；解析建立一组基向量,，再来处理的值9D；解析应用向量的运算，显然ACBACBA,SIN|,COS，从而得CABS,SIN|2110C；二、1156；解析72|,COSBA，得753,SINBA，可得结果12OCBA311；解析OCBAAOMNMG3161223213113直角三角形；解析利用两点间距离公式得222|ACBA1439；解析1913|,COS2KBA，得39K三、15解以D为原点，建立如图空间直角坐标系因为正方体棱长为A，所以B（A，A，0），A（A，0，A），C（0，A，A），D（0，0，A）由于M为B的中点，取A中点O，所以M（2，），O（2，A）因为|3|AN，所以N为的四等分，从而N为O的中点，故N（4A，3，A）根据空间两点距离公式，可得2226|4MA16解（1）过D作DEBC，垂足为E，在RTBDC中,由BDC90,DCB30，BC2，得BD1，CD3，DECDSIN3023OEOBBEOBBDCOS6011D点坐标为（0，23,1），即向量ODTX的坐标为0，23,1（2）依题意0,01,0OCBOA，所以,2,23,B设向量AD和BC的夹角为，则COS222203130|BCAD1517证如图设321,RSCRS，则SNMHGSFE,分别为12R，32R，21R，3，3，由条件EHGHMN得231231232RRR展开得3121RR0231R，1，230，1（23R）即SABC同理可证SBAC，SCAB18（1）证明ABP2240，APAB又DA4400，APADAB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，AP底面ABCD（2）解设与的夹角为，则COS1053461428|ABV31|D|SIN|P|16493（3）解|（）|43248|48它是四棱锥PABCD体积的3倍猜测|（AB）|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积）评述本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力19如图，建立空间直角坐标系OXYZ（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）|N|3222（2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）1，1，2，10，1，2，1BAC3，|6，|C|5COS301|1B（3）证明依题意，得C1（0，0，2）、M（2,，2），BA11，1，2，MC12,，0BA1M00，A1，A1BC1M评述本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识考查空间两向量垂直的充要条件20（1）证明设CA，DB，1C，则|A|B|，CBDBA，BD1（B）C|COS60|A|C|COS600，C1CBD（2）解连AC、BD，设ACBDO，连OC1，则C1OC为二面角BD的平面角2O（AB），2（AB）CC1（）（）C41（A22B2）AC21B（4222COS604）23COS6023COS602则|CO|3，|1|，COSC1OC|1O（3）解设1DX，CD2，则CC1X2BD平面AA1C1C，BDA1C图只须求满足DCA10即可设1A，B，C，C，1A，DCA1（B）（C）2ABC2X46，令624X0，得X1或X3（舍去）评述本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题AA1DCBB1C1图新课标高二数学同步测试（21第三章32）说明本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）1在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A60B90C105D752如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1D1F14A，则BE1与DF1所成角的余弦值是（）A75B2C18D33如图，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BCCACC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A0B2C153D1054正四棱锥SAB的高2SO，底边长2AB，则异面直线BD和SC之间的距离（）AB5C5D055已知1BC是各条棱长均等于A的正三棱柱，是侧棱1的中点点1到平面1AD的距离（）AA42BA82C3D6在棱长为1的正方体1ABC中，则平面1ABC与平面1D间的距离（）图图A63B3C32D237在三棱锥PABC中，ABBC，ABBC1PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值（）A621B38C602D30218在直三棱柱1CA中，底面是等腰直角三角形，9AB，侧棱1A，D，E分别是1C与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G则与平面ABD所成角的余弦值（）A3B7C23D79正三棱柱1的底面边长为3，侧棱1，D是CB延长线上一点，且BC，则二面角1的大小（）AB6C65D3210正四棱柱AD中，底面边长为，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，GEF则三棱锥11EF的体积V（）A6B3C3D16二、填空题请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）11在正方体1C中，为1AB的中点，则异面直线1和1BC间的距离12在棱长为的正方体1BD中，E、F分别是1A、的中点，求点到截面1AEF的距离13已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离14已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）15（12分）已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小16（12分）已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证平面A1EF平面B1MC17（12分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90，ADBC，ABBCA，AD2A，且PA底面ABCD，PD与底面成30角（1）若AEPD，E为垂足，求证BEPD；（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值18（12分）已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D的中点（1）求证E、F、D、B共面；（2）求点A1到平面的BDEF的距离；（3）求直线A1D与平面BDEF所成的角19（14分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求（）D1E与平面BC1D所成角的大小；（）二面角DBC1C的大小；（）异面直线B1D1与BC1之间的距离20（14分）如图5正方体ABCDA1B1C1D1，过线段BD1上一点P（P平面ACB1）作垂直于D1B的平面分别交过D1的三条棱于E、F、G1求证平面EFG平面ACB1，并判断三角形类型；2若正方体棱长为A，求EFG的最大面积，并求此时EF与B1C的距离YXZCBAA1DB1D1GEC1O1FHP5ABCDOSXYZ图参考答案一、1B；2A；3A；4C；分析建立如图所示的直角坐标系，则,0，2,B，,0C，2,D，,02S,B，,C令向量,1NXY，且,NDBS，则0NBCS，,2,01XY，02XY，2Y，2,1N异面直线BD和SC之间的距离为OND2,02,1,221055A；分析1B为正方形，11AB，又平面1ABD平面1A，1B面1AD，1B是平面D的一个法向量，设点C到平面的距离为D，则1ACD12A1B00COS624A6B；分析建立如图所示的直角坐标系，设平面1ACD的一个法向量,1NXY，则10NDAC，即,1,0XYXABCDA1B1C1D1ZE图1XY，,N，平面1ABC与平面1D间的距离ADND22_1,0,137D；222,0,0,0212,0,4OPOAPZOXYZBABACAOPHDCAHPAA平面，以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，设，则设，则为的中点，又,0HPAODPAB，平面2,714,0,1,720COS,31SINC,020ARCSIN3AHODAPBCNODNPBC可求得平面的法向量设与平面所成的角为，则与平面所成的角为8B；解以C为坐标原点，CA所在直线为X轴，CB所在直线为Y轴，1C所在直线为Z轴，建立直角坐标系，设AA，则）（0,，）（,，）（2,01，）（1,D）（12E，）（3G，）（326AE，）（1,0ABD，点E在平面ABD上的射影是的重心G，平面ABD，B，解得）（3,，）（,1A，平面ABD，为平面ABD的一个法向量由3264|COS1EBA1与平面ABD所成的角的余弦值为7评析因规定直线与平面所成角20，两向量所成角0，所以用此法向量求出的线面角应满足|2|ZYXPODCBAAA1B1CBC1DZYXEG9A；取BC的中点O，连AO由题意平面ABC平面1B，CAO，平面1，以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，则）（32,0，）（0,，）（,29D，）（0,321，）（D，）（03B，）（，由题意1平面ABD，）（1为平面ABD的法向量设平面的法向量为,2ZYXN，则N2，YZ，即XZY3不妨设,，由23|,COS2121，得60B故所求二面角BA1的大小为60评析（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲“找证求”直接简化成了一步曲“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取23,1N时，会算得21,COS1NB，从而所求二面角为120，但依题意只为60因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”10C；解以D为坐标原点，建立如图10所示的直角坐标系，则4,21B，,01，,E，F，4,2，,，图1013264|,COS11FDEFD，135,SIN1，所以5,SIN|21SE，设平面EFD的方程为0DCZBYX，将点,1代入得024C，234，平面EF1的方程为034ZYX，其法向量为3,N，点1到平面的距离516|1NBD，651DSVEFDEFDB即为所求评析（1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式2200|CAZYXD计算得到（2）法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等二、1163分析设正方体棱长为2，以1D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则12,0DE，12,0CB，设1DE和1BC公垂线段上的向量为1,N，则10NDECB，即2，,2N，又10,2，14263CN，所以异面直线1E和1BC间的距离为263BADCD1A1B1C1ZYXEFGAEA1DCBB1C1D1FXYZ图1236分析以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系则11,0,0,12AFE,E，,A；设面1C的法向量为1,N，则有0,NF，12210，1,2N，又,0AB，所以点B到截面1ECF的距离为AN2631131；解如图建立空间直角坐标系，D（1，1，0），DF（0，21，1），1DA（1，0，1）设平面DBEF的法向量为N（X，Y，Z），则有N0即XY0F21YZ0令X1,Y1,Z,取N（1，1，），则A1到平面DBEF的距离DAH14510解如图建立空间直角坐标系，AB（0，1，0），1A（1，0，1），E（0，2，1）设平面ABC1D1的法向量为N（X，Y，Z）,由0ABN可解得（1，0，1）1ZXBA1YFEB1C1D1DCAEZXD1YAC1B1A1BDAC设直线AE与平面ABC1D1所成的角为，则510SINAE，三、15解如图建立空间直角坐标系，1A（1，1，0），B1（0，1，1）设1N、2分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量，由01可解得N（1，1，1）易知2N（0，0，1），所以，2121,COSN3所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角大小为ARCCOS3或ARCCOS3注用法向量的夹角求二面角时应注意平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小16证明如图建立空间直角坐标系，则1CA（1，1，0），CB1（1，0，1）D（1，0，1），A（0，1，1）设E，DF1，ABM1（、R，且均不为0）设1N、2分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，由1可得0CN即01CN0F1DDA解得1N（1，1，1）由2MB可得012ABN即012BN01CCC解得2N（1，1，1），所以12，12，ZYXD1A1DB1C1CBAFYEMXZD1C1B1A1CDBA所以平面A1EF平面B1MC注如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用1N2021N来证明17（1）证明PA平面ABCD，PAAB，又ABADAB平面PAD又AEPD，PD平面ABE，故BEPD（2）解以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为（A，A，0），（0，2A，0）PA平面ABCD，PDA是PD与底面ABCD所成的角，PDA30于是，在RTAED中，由AD2A，得AEA过E作EFAD，垂足为F，在RTAFE中，由AEA，EAF60，得AF2，EF3A，E（0，23,1AA）于是，CDAAE,3,10A，A，0设与C的夹角为，则由COS|DAE420231022AAAE与CD所成角的余弦值为4评述第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段18解（1）略（2）如图，建立空间直角坐标系DXYZ,则知B（1，1，0），120,1FE设,的法向量是平面BZYXN,D由得021ZYFN则21YX令,得设点A1在平面BDFE上的射影为H，连结A1D，知A1D是平面BDFE的斜线段2301,0ND12,COS|3|,S,231|,21|11221HADANO又即点A1到平面BDFE的距离为1（3）由（2）知，A1H1，又A1D，则A1HD为等腰直角三角形，451,11DHABDFE所成的角与平面就是直线上的射影在平面是平面19解建立坐标系如图，则2,0A、,20，,C，12,0，1,2B，1,，,1E，1,2A，,DE，0,，10,2B（）不难证明1AC为平面BC1D的法向量，113COS,9ED1E与平面BC1D所成的角的大小为3ARCOS29（即3ARCSIN9）（）AC、B分别为平面BC1D、BC1C的法向量，113COS,A，二面角DBC1C的大小为3ARCOS（）B1D1平面BC1D，B1D1与BC1之间的距离为123ABD20证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EFAC，EGB1C，FGAB1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了1分析要证平面EFG平面ACB1，由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可证明以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为A，则A（A，0，0），B（A，A，0），C（0，A，0），D1（0，0，A），B1（A，A，A），E（XE，0，A），F（0，YF，A），G（0，0，ZG）1（A，A，A），1A（0，A，A），F（XE，YF，0），C（A，A，0），A1B1C1D1ABCDEXYZCB1（A，0，A），1DAA，A，A0，A，A0，同理1BC，而A与不共线且相交于点A，1D平面ACB1，又已知1BD平面EFG，平面EFG平面ACB1；又因为1平面EFG，所以1BDEF，则EF0，即A，A，AXE，YF，00，化简得XEYF0；同理XEZG0,YFZG0，易得，EFG为正三角形2解因为EFG是正三角形，显然当EFG与A1C1D重合时，EFG的边最长，其面积也最大，此时，EFA1C12A，GSD12SIN600A22323A2此时EF与B1C的距离即为A1C1与B1C的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B1到平面A1C1D的距离，记A1C1与B1D1交于点O1，作O1HD1B并交BB1于点H，则O1H平面A1C1D，垂足为O1，则O12A，A，HA，A，2，而作为平面A1C1D的法向量，所以异面直线EF与B1C的距离设为D是YXZABCDA1OB1D1JC1EGFO1KP5DHOB1432AA证明（2）时一般要找到求这两平面距离的两点，如图5，而这两点为K与J，在立体图形中较难确定，且较难想到通过作辅助线DO1，OB1来得到，加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱，但只要借助平面法向量求线段的射影长度的思想，结合题设，使思路清晰明了，最终使问题的解决明朗化；把握这种思想，不管是空间线线距离，线面距离，面面距离问题，一般我们都能转化成点线或点面距离，再借助平面法向量很好地解决了单元测试题圆锥曲线数学（理）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至2页，第卷3至8页共120分考试时间105分钟第卷（选择题，共50分）一、选择题本题共有10个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在试卷指定的位置上。1椭圆21XMY的焦点在Y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则M的值为（）A4B2C2D42若椭圆210XYAB的离心率是3，则双曲线21XYAB的离心率是（）A54B52C2D543若双曲线192MYX的渐近线L方程为XY35，则双曲线焦点F到渐近线L的距离为A2B4CD254、直线YXB与抛物线2XY交于A、B两点，O为坐标原点，且OAB，则B（）21D5、若直线L过点3,0与双曲线24936XY只有一个公共点，则这样的直线有（）A1条B2条C3条D4条6、已知双曲线中心在原点且一个焦点为0,7F，直线1XY与其交于NM、两点，MN中点的横坐标为32，则此双曲线的方程是（）A1432YXB14YXC125YXD152YX7、设离心率为E的双曲线2CAB（0A，B）的右焦点为F，直线L过点F且斜率为K，则直线L与双曲线的左、右两支都相交的充要条件是（）A21B21KEC21EKD21EK（实验班）已知定点M（1，,45N、给出下列曲线方程4X2Y1032YX12YX12YX在曲线上存在点P满足MPN的所有曲线方程是（）（A）（B）（C）（D）8、双曲线两条渐近线的夹角为60，该双曲线的离心率为（）A32或2B3或2C3或2D或29、若不论K为何值，直线YKXB与曲线1XY总有公共点，则B的取值范围是（）A3,B3,C2,D2,10、椭圆2159XY上一点M到焦点1F的距离为2，N是1MF的中点，则ON等于（）A2B4C6D3（实验班做）如图，双曲线1的左焦点为F1，顶点为X2A2Y2B2A1，A2，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为A相交B相切C相离D以上情况都有可能OA2A1F1XPY南海中学高二单元测试题圆锥曲线数学（理）第卷（非选择题共70分）注意事项第卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中答卷前将密封线内的项目填写清楚三总分题号二15161718分数二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11抛物线20XAY的焦点坐标是；12椭圆16和双曲线213XY的公共点为PF,21是两曲线的一个交点,那么21COSPF的值是_。13椭圆的焦点为F1、F2，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN长为53，NM2的周长为20，则椭圆的离心率为_（实验班做）双曲线2,0XYAB和直线2YX有交点，则它的离心率的取值范围是_14若焦点在X轴上的椭圆2145B上有一点，使它与两焦点的连线互相垂直，则正数B的取值范围是_三、解答题本大题4小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1512分已知椭圆的中心在原点，焦点为F1，F2（0，），且离心率。（I）求椭圆的方程；（II）直线L（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为，求直线L倾斜角的取值范围。16（12分）已知动点P与平面上两定点2,0,AB连线的斜率的积为定值12（）试求动点P的轨迹方程C（）设直线1KXYL与曲线C交于M、N两点，当|MN|324时，求直线L的方程（实验班做）已知向量M1（0，X），N1（1，1），M2（X，0），N2（Y2，1）（其中X，Y是实数），又设向量MM12N2，NM2N1，且M/N，点P（X，Y）的轨迹为曲线C（）求曲线C的方程；（）设直线KXYL与曲线C交于M、N两点，当|MN|324时，求直线L的方程17（13分）已知椭圆2BYAX（AB0）的离心率36E，过点A（0，B）和B（A，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（1，0），若直线YKX2（K0）与椭圆交于C、D两点问是否存在K的值，使以CD为直径的圆过E点请说明理由18（13分）设双曲线C12BYAX（A0，B0）的离心率为E，若准线L与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，FPQ为等边三角形（1）求双曲线C的离心率E的值；（2）若双曲线C被直线YAXB截得的弦长为AEB2，求双曲线C的方程南海中学高二单元测试题圆锥曲线数学（理）参考答案及评分标准一选择题本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678910答案ABCACBDABB二、填空题本大题共4