【(锁定考试目标+导学必备知识+探究重难方法)第14讲 三角形与全等三角形(含解析)

第14讲三角形与全等三角形知识梳理一、三角形的概念及性质1概念1由三条线段_顺次相接组成的图形，叫做三角形2三角形按边可分为非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形2性质1三角形的内角和是_；三角形的一个外角等于与它不相邻的_；三角形的一个外角大于与它_的任何一个内角2三角形的任意两边之和_第三边；三角形任意两边之差_第三边二、三角形中的重要线段1三角形的角平分线三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线特性三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的_2三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作_，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高特性三角形的三条高线相交于一点，这个点叫做三角形的_3三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边_的线段叫做三角形的中线特性三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的_4三角形的中位线连接三角形两边_的线段叫做三角形的中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于它的_三、全等三角形的性质与判定1概念能够_的两个三角形叫做全等三角形2性质全等三角形的_、_分别相等3判定1有三边对应相等的两个三角形全等，简记为SSS；2有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为SAS；3有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为ASA；4有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为AAS；5有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为HL四、定义、命题、定理、公理1定义对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义2命题判断一件事情的语句1命题由_和_两部分组成命题通常写成“如果，那么”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论2命题的真假正确的命题称为_；错误的命题称为_3互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的_，而第一个命题的结论是第二个命题的_，那么这两个命题称为互逆命题每一个命题都有逆命题3定理经过证明的真命题叫做定理因为定理的逆命题不一定都是真命题所以不是所有的定理都有逆定理4公理有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫做公理五、证明1证明从一个命题的条件出发，根据定义、公理及定理，经过_，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫做证明2证明的一般步骤1审题，找出命题的题设和结论；2由题意画出图形，具有一般性；3用数学语言写出已知、求证；4分析证明的思路；5写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密3反证法先假设命题中结论的反面成立，推出与已知条件或是定义、定理等相矛盾，从而结论的反面不可能成立，借此证明原命题结论是成立的这种证明的方法叫做反证法自主测试12012浙江嘉兴已知ABC中，B是A的2倍，C比A大20，则A等于A40B60C80D902下列长度的三条线段，不能组成三角形的是A3,8,4B4,9,6C15,20,8D9,15,832012贵阳如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，ABDE，BCEF，要使ABCDEF，还需要添加一个条件是ABCAFBBECBCEFDAEDF4下面的命题中，真命题是A有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等B有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等C有一条边对应相等的两个等腰三角形全等D有一条高对应相等的两个等边三角形全等52012四川雅安在ADB和ADC中，下列条件BDDC，ABAC；BC，BADCAD；BC，BDDC；ADBADC，BDDC能得出ADBADC的序号是_62012广东广州如图，点D在AB上，点E在AC上，ABAC，BC，求证BECD考点一、三角形的边角关系【例1】若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是A1B5C7D9解析设第三边为X，根据三角形三边的关系可得43X34，即1X7答案B方法总结1在具体判断时，可用较小的两条线段的和与最长的线段进行比较若这两条线段的和大于最长的那条线段，则这三条线段能组成三角形否则就不能组成三角形2三角形边的关系的应用1判定三条线段是否构成三角形；2已知两边的长，确定第三边的取值范围；3可证明线段之间的不等关系触类旁通1已知三角形三边长分别为2，X,13，若X为正整数，则这样的三角形个数为A2B3C5D13考点二、全等三角形的性质与判定【例2】2012云南如图，在ABC中，C90，点D是AB边上一点，DMAB，且DMAC，过点M作MEBC交AB于点E求证ABCMED证明在ABC和MED中，BCEM，MEDBDMAB，MDE90，CMDEACMD，ABCMED方法总结1判定两个三角形全等时，常用下面的思路有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等在具体的证明中，要根据已知条件灵活选择证明方法2全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、周长、面积等之间的等量关系触类旁通2如图，在ABC中，ACB90，ACBC，BECE于点E，ADCE于点D求证BECCDA考点三、真假命题的判断【例3】2012湖南益阳下列命题是假命题的是A中心投影下，物高与影长成正比B平移不改变图形的形状和大小C三角形的中位线平行于第三边D圆的切线垂直于过切点的半径解析同一时刻，平行投影下物高与影长成正比，故A项错误；平移是全等变换，不改变图形的形状和大小，故B项正确；三角形的中位线平行于第三边，故C项正确；圆的切线垂直于经过切点的半径是切线的性质，故D项正确答案A方法总结对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举反例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题触类旁通3已知三条不同的直线A，B，C在同一平面内，下列四个命题如果AB，AC，那么BC；如果BA，CA，那么BC；如果BA，CA，那么BC；如果BA，CA，那么BC其中为真命题的是_填写所有真命题的序号考点四、证明的方法【例4】如图，已知在梯形ABCD中，ADBC，BCDC，CF平分BCD，DFAB，BF的延长线交DC于点E求证1BFCDFC；2ADDE证明1CF平分BCD，BCFDCF在BFC和DFC中，ERRORBFCDFC2如图，连接BDBFCDFC，BFDFFBDFDBDFAB，ABDFDBABDFBDADBC，BDADBCBCDC，DBCBDCBDABDC又BD是公共边，BADBEDADDE方法总结1证明问题时，首先要理清证明的思路，做到证明过程的每一步都有理有据，推理严密要证明线段、角相等时，证全等是常用的方法2证明的基本方法1综合法，从已知条件入手，探索解题途径的方法；2分析法，从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法；3两头“凑”的方法，综合应用以上两种方法找证明思路的方法触类旁通4如图，在ABC中，AD是中线，分别过点B，C作AD及其延长线的垂线BE，CF，垂足分别为点E，F求证BECF12012湖南长沙现有3CM,4CM,7CM,9CM长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是A1B2C3D422012湖南娄底下列命题中，假命题是A平行四边形是中心对称图形B三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等C对于简单的随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差D若X2Y2，则XY3以下列各组线段为边，能组成三角形的是A1CM,2CM,4CMB4CM,6CM,8CMC5CM,6CM,12CMD2CM,3CM,5CM42012湖南长沙如图，在ABC中，A45，B60，则外角ACD_52012湖南郴州已知，点P是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，经过点P的直线EF交AB于点E，交DC于点F求证AECF62012湖南衡阳如图所示，AFDC，BCEF，请你只补充一个条件，使ABCDEF，并说明理由1如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA16M，PB12M，那么AB间的距离不可能是A5MB15MC20MD28M2如图，已知ABC中，ABC45，F是高AD和BE的交点，CD4，则线段DF的长度为A2B4C3D42223如图，在ABC中，A80，点D是BC延长线上一点，ACD150，则B_4如图，在ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，A越来越小，B，C越来越大，若A减少度，B增加度，C增加度，则，三者之间的等量关系是_5如图所示，三角形纸片ABC中，A65，B75，将纸片的一角折叠，使点C落在ABC内，若120，则2的度数为_6如图，点B，C，F，E在同一直线上，12，BCFE，1_填“是”或“不是”2的对顶角，要使ABCDEF，还需添加一个条件，这个条件可以是_只需写出一个7如图，已知在ABC中，ACB90，CDAB于点D，点E在AC上，CEBC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F求证ABFC8如图，点A，B，D，E在同一直线上，ADEB，BCDF，CF求证ACEF参考答案【知识梳理】一、11首尾21180两个内角的和不相邻2大于小于二、1内心2垂线垂心3中点重心4中点一半三、1完全重合2对应边对应角四、21题设结论2真命题假命题3结论题设五、1逻辑推理导学必备知识自主测试1A设AX，则B2X，CX20，则X2XX20180，解得X40，即A402A3B由已知可得两个三角形已有两组边对应相等，还需要另一组边对应相等或夹角对应相等，只有B能满足条件4D5由题意知ADAD，条件可组成三边对应相等，条件可组成两角和其中一角的对边对应相等，条件可组成两边及其夹角对应相等，这三个条件都可得出ADBADC，条件组成的是两边及其一边的对角对应相等，不能得出ADBADC6证明在ABE和ACD中，BC，ABAC，AA，ABEACDASABECD探究考点方法触类旁通1B由三角形三边的关系可得132X132，即11X15，X为正整数，X为12,13,14，故选B触类旁通2证明BECF于点E，ADCE于点D，BECCDA90在RTBEC中，BCECBE90，在RTBCA中，BCEACD90，CBEACD在BEC和CDA中，ERRORBECCDA触类旁通3触类旁通4证明在ABC中，AD是中线，BDCDCFAD，BEAE，CFDBED90在BED与CFD中，BEDCFD，BDECDF，BDCD，BEDCFD，BECF品鉴经典考题1B根据三角形三边关系，能组成三角形的是3,7,9；4,7,92D若X2Y2，则XY或XY，所以D是假命题3B4105ACDAB45601055证明在平行四边形ABCD中，ABCD，ACDBAC在APE和CPF中，ERRORAPECPFAECF6解答案不唯一，如BCEF等理由AFDC，ACDFBCEF，BCAEFD又BCEF，ABCDEF研习预测试题1D由三角形三边关系知1612AB1612，故选D2B