大学数学竞赛-旋转曲面的参数方程(利用正交变换作旋转)

旋转曲面的参数方程利用正交变换作旋转众所周知，坐标面上的曲线绕轴旋转而成的旋转曲面的方程为YOZ,0FYZ（1）2,X（见同济大学高等数学（5版上册），313页）。如果以上曲线的方程能写成显函数（），则该旋转曲面的方程为YFZAB或（2）2X22XYFZ这个方程的几何意义是对曲线上的每一点，这个方程给出圆心在，半径为0,P0,Z的一个垂直于轴的圆。当取遍中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。FZZZ如果曲线的方程是显函数（），我们也可以用参数方程来表示这个旋转YFZAB面（，）（3）COSINXFZ02AZB这个方程的几何意义是对每一个，参数方程给出一个半径为的垂直于轴的,ABFZZ圆。当取遍中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。Z,AB如果曲线的方程能写成参数方程（），则旋转曲面的参数方程为YFTZGATB（，）（4）COSINXFTYZGT02T这个方程的几何意义是对每一个，参数方程给出一个半径为的垂直于轴的,ABFTZ圆。当取遍中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。T,AB推而广之，如果该曲线是空间曲线，其参数方程为（），则此曲线绕XHTYFZGTATB轴旋转而成的旋转曲面的参数方程为Z（，）（5）22COSINXHTFTYZGT02ATB这个方程的几何意义是对每一个，参数方程给出一个半径为的,TAB22HTFT垂直于轴的圆。当取遍中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。（见同济大学T,高等数学（5版上册），322页）。例1坐标面上的圆（）绕轴旋转而成的旋转曲面为一YOZ22YZ0ABZ圆环面。为了得到圆环面的参数方程，先将圆用参数方程表示为（），再用方程（4）得到圆环面的参数方程COSINBATZ0（，）COSINIXBATYZT020T如图1（取）。,3A图1圆环面绘制图1的MATHEMATICA程序A1B3XXT_0YYT_BACOSTZZT_ASINTRT_ABSYYTXT_,THETA_RTCOSTHETAYT_,THETA_RTSINTHETAZT_,THETA_ZZTQUXIANPARAMETRICPLOT3DXXT,YYT,ZZT,T,0,2PI,PLOTSTYLERED,THICKNESS002QUMIANPARAMETRICPLOT3DXT,THETA,YT,THETA,ZT,THETA,T,0,2PI,THETA,0,2PI,PLOTPOINTS40XPARAMETRICPLOT3DX,0,0,X,5,5,PLOTSTYLEABSOLUTETHICKNESS3YPARAMETRICPLOT3D0,Y,0,Y,5,5,PLOTSTYLEABSOLUTETHICKNESS3ZPARAMETRICPLOT3D0,0,Z,Z,2,2,PLOTSTYLEABSOLUTETHICKNESS3XYZSHOWX,Y,ZSHOWQUMIAN,QUXIAN,XYZ,PLOTRANGE5,5,5,5,3,3,BOXEDFALSE,AXESFALSE,VIEWPOINT5,4,3例2空间直线（）绕轴旋转而成的旋转曲面为一单叶双曲面。用方程12XYTZATBZ（5）得到单叶双曲面的参数方程（，）21COSINXTYZT02ATB（见同济大学高等数学（5版上册），322页）。如图2图2单叶双曲面绘制图2的MATHEMATICA程序XXT_1YYT_TZZT_2TRT_SQRTXXT2YYT2XT_,THETA_RTCOSTHETAYT_,THETA_RTSINTHETAZT_,THETA_ZZTQUXIANPARAMETRICPLOT3DXXT,YYT,ZZT,T,12,12,PLOTSTYLERED,THICKNESS002QUMIANPARAMETRICPLOT3DXT,THETA,YT,THETA,ZT,THETA,T,1,1,THETA,0,2PI,PLOTPOINTS40XPARAMETRICPLOT3DX,0,0,X,2,2,PLOTSTYLEABSOLUTETHICKNESS3YPARAMETRICPLOT3D0,Y,0,Y,2,2,PLOTSTYLEABSOLUTETHICKNESS3ZPARAMETRICPLOT3D0,0,Z,Z,2,2,PLOTSTYLEABSOLUTETHICKNESS3XYZSHOWX,Y,ZSHOWQUMIAN,QUXIAN,XYZ,PLOTRANGE2,2,2,2,3,3,BOXEDFALSE,AXESFALSE,VIEWPOINT5,4,3从图2看出，用参数方程（5）绘制的曲面上的母线并不是原来那条直线（图中红色的直线）绕轴旋转时留下的直线族。Z为了绘出以圆曲线在旋转时的曲线族为母线的曲面，我们必须利用旋转曲面的另一种参数方程。这要用到直角坐标系中的旋转变换。平面直角坐标系中一个点绕原点逆时针旋转角度后的点的坐标为XOY,PXY,QXY或（6）COSINIXYCOSINIXXYY如图3。（见同济大学线性代数（5版），32页）,PXY,QXY图3平面直角坐标面上点的旋转同理，空间直角坐标系中一个点绕轴旋转角度（从轴正向看去为逆OXYZ,PXYZZ时针方向）后的点的坐标为,QXYZ或（7）COSINIXZZCOSIN0I01XYZ因此利用正交变换（7），空间曲线（）绕轴旋转而成的旋转曲面XHTYFZGTATBZ的参数方程又可以写成（，）（8）COSIN0I01XHTYFZGT02ATB例1中的圆环面的参数方程可以改写成（，）COSIN0ICOS01INXYBATZ020T例2中的单叶双曲面的参数方程可以改写成（，）COSIN01I02XYTZ2ATB我们用这个参数方程来作图（图4）图4单叶双曲面图4清楚地显示了那条红色的直线在绕轴旋转时留下的直线族。Z绘制图4的MATHEMATICA程序RT_1,T,2TATHETA_COSTHETA,SINTHETA,0,SINTHETA,COSTHETA,0,0,0,1QUXIANPARAMETRICPLOT3DRT,T,12,12,PLOTSTYLERED,ABSOLUTETHICKNESS3QUMIANPARAMETRICPLOT3DATHETART,T,1,1,THETA,0,2PI,MESH10,20,PLOTPOINTS40,ASPECTRATIOAUTOMATICXPARAMETRICPLOT3DX,0,0,X,2,2,PLOTSTYLEABSOLUTETHICKNESS3YPARAMETRICPLOT3D0,Y,0,Y,2,2,PLOTSTYLEABSOLUTETHICKNESS3ZPARAMETRICPLOT3D0,0,Z,Z,3,3,PLOTSTYLEABSOLUTETHICKNESS3XYZSHOWX,Y,ZSHOWQUMIAN,QUXIAN,XYZ,PLOTRANGE2,2,2,2,3,3,BOXEDFALSE,AXESFALSE,VIEWPOINT6,3,3同理，我们可以很方便地得到空间曲线绕轴或轴旋转而成的旋转曲面的参数方程。YX结论设有空间曲线（），则利用绕坐标轴旋转的变换，该曲线分别XHTYFZGTATB绕三个坐标轴旋转而成的旋转曲面的参数方程分别是（1）绕轴旋转Z（，）（8）COSIN0I01XHTYFZGT02ATB（2）绕轴旋转Y（，）（9）COSIN01ISXHTFZGT02ATB（3）绕轴旋转X（，）（10）10COSINIHTYFZGT02ATB例3求空间曲线绕轴旋转而成的旋转曲面的参数方程，32,1TXTYZTY并作图。解根据方程（9），旋转曲面的参数方程是（，）23COS0IN1ISXTYZT021T如图5。图5绕轴旋转的曲面Y绘制图5的MATHEMATICA程序RT_T,T2,T3/3ATHETA_COSTHETA,0,SINTHETA,0,1,0,SINTHETA,0,COSTHETAQUXIANPARAMETRICPLOT3DRT,T,11,11,PLOTSTYLERED,ABSOLUTETHICKNESS3QUMIANPARAMETRICPLOT3DATHETART,T,1,1,THETA,0,2PI,MESH10,20,PLOTPOINTS40,ASPECTRATIOAUTOMATICXPARAMETRICPLOT3DX,0,0,X,1,1,PLOTSTYLEABSOLUTETHICKNESS3YPARAMETRICPLOT3D0,Y,0,Y,05,15,PLOTSTYLEABSOLUTETHICKNESS3ZPARAMETRICPLOT3D0,0,Z,Z,2,2,PLOTSTYLEABSOLUTETHICKNESS3XYZSHOWX,Y,ZSHOWQUMIAN,QUXIAN,XYZ,PLOTRANGE2,2,05,15,1,1,BOXEDFALSE,AXESFALSE,VIEWPOINT6,3,3例4求空间曲线绕轴旋转而成的旋转曲面的参数方321,1TXTYZTX程，并作图。解根据方程（10），旋转曲面的参数方程是（，）2310COSINI1XTYZT021T如图6图6绕轴旋转的曲面X绘制图6的MATHEMATICA程序RT_T,T2,1T3/3ATHETA_1,0,0,0,COSTHETA,SINTHETA,0,SINTHETA,COSTHETAQUXIANPARAMETRICPLOT3DRT,T,12,12,PLOTSTYLERED,ABSOLUTETHICKNESS3QUMIANPARAMETRICPLOT3DATHETART,T,1,1,THETA,0,2PI,MESH10,20,PLOTPOINTS40,ASPECTRATIOAUTOMATICXPARAMETRICPLOT3DX,0,0,X,2,2,PLOTSTYLEABSOLUTETHICKNESS3YPARAMETRICPLOT3D0,Y