2014年【高等数学基础】形成性考核册答案(附题目)

第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题下列各函数对中，（C）中的两个函数相等A，B2XFXG，2XC，D3LNFLN，1F12XG分析判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同A、，定义域；2FX|0X，定义域为RG定义域不同，所以函数不相等；B、，对应法则不2FG同，所以函数不相等；C、，定义域为3LNLFXX，定义域为|0|0X所以两个函数相等D、，定义域为R；1F，定义域为2XG|,1X定义域不同，所以两函数不等。故选C设函数的定义域为，则函数XF,的图形关于（C）对称FA坐标原点B轴XC轴DYX分析奇函数，关于原点FXF对称偶函数，关于Y轴对称与它的反函数关YFX1FX于对称，奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设，则GXFFXGXFFXG所以为偶函数，F即图形关于Y轴对称故选C下列函数中为奇函数是（B）AB1LN2XXYCOSCDA1LN分析A、，为偶22LLN1YXXXY函数B、，为奇COSCOS函数或者X为奇函数，COSX为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数C、，所以为偶2XAYY函数D、，非奇非偶函数LN1故选B下列函数中为基本初等函数是（C）ABXYXYCD20,1分析六种基本初等函数（1）（常值）常值函数YC（2）为常数幂函数,X（3）指数函01A数（4）对LOG,AY数函数（5）SIN,CS,TAN,COTXYX三角函数（6）反,1,OSTAN,CTYRCXYRX三角函数分段函数不是基本初等函数，故D选项不对对照比较选C下列极限存计算不正确的是（D）AB12LIMX0N0XCDSIL1IXX分析A、已知LIM0NX22221LILILI0XXXB、0LIMN1LX初等函数在期定义域内是连续的C、SILLSIN0XX时，是无穷小量，是1SIX有界函数，无穷小量有界函数仍是无穷小量D、，令SIN1LIMSLXX，则原式10,T0SIL1T故选D当时，变量（C）是无穷小量XABSINXCDX1I2L分析；，则称为时的LIM0XAFFXA无穷小量A、，重要极限0SINL1XB、，无穷大量IC、，无穷小量有界01LIMSNXX函数仍为无穷小量SD、0LI2L0LN2X故选C若函数在点满足（A），则在F0XF点连续。0ABLIM0XFFX在点的某个邻域内有定义F0CDLI0FFX00X分析连续的定义极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即00LIMXFFX连续的充分必要条件00000LIMLILIXXXFFFFF故选A（二）填空题函数的定义域是1LN392XXF|X分析求定义域一般遵循的原则（1）偶次根号下的量0（2）分母的值不等于0（3）对数符号下量（真值）为正（4）反三角中反正弦、反余弦符号内的量，绝对值小于等于1（5）正切符号内的量不能取0,2K然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域要求1LN392XXF得求交集2013或3定义域为|3X已知函数，则X2XXXF21F分析法一，令得T1T则则22FT2FX法二，所以11FXTTXX2LIM分析重要极限，等价式1LIXXE10LIXXE推广则LIXAFLIM1FXXAE则LI0XAF1LIFXXA21M2E若函数，在处0,1XKXF连续，则EK分析分段函数在分段点处连续000LIMLIXXFFF所以100LILIXXXKKFEKE函数的间断点是,SINY0X分析间断点即定义域不存在的点或不连续的点初等函数在其定义域范围内都是连续的分段函数主要考虑分段点的连续性（利用连续的充分必要条件）不等，00LIMLI1SNXXF所以为其间断点若，则当时，AXFLIM00X称为时的无穷小量F0分析000LILILIMXXXFA所以为时的无穷小量F（三）计算题设函数0,EXXF求1,02F解，F1FE求函数的定义域LGXY解有意义，要求解21LXY20X得102X或则定义域为1|2X或在半径为的半圆内内接一梯形，梯形的一R个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数解DAROHEBC设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为H，即OEH，下底CD2R直角三角形AOE中，利用勾股定理得22AEORH则上底故22HSRHRHA求XXSIN3LM0解000ISIN3ILLLMS22SXXX132求1SINLM21XX解21111LILILIM2SNSSXXX求X3TANLIM0解000TSI1SIN31LILLM3COCOSXXXXA求XSIN1L20解222200011LIMLILIMSISIN1SINXXXXX02LI0SIN11XX求XX3LIM解1433111LILILIMLI3XXXXXE求4586LIM24XX解24442682LIMLILIM5113XXX设函数1,1,2XXF讨论的连续性，并写出其连续区间F解分别对分段点处讨论连续性,（1）11LIMLI10XXF所以，即11LILIXXFF在处不连续FX（2）2211LIMLI1XXFF所以即11LILIXXFFF在处连续F由（1）（2）得在除点外F均连续故的连续区间为F,电大天堂【高等数学基础】形考作业2答案第3章导数与微分（一）单项选择题设且极限存在，则0FXFLIM0（C）XLIM0ABF0FCDCVX设在可导，则0X（D）HXFXFH2LIM00AB0XFCD0FX设，则XFE（A）FX1LIM0ABE2CDE241设，则921XXF（D）0FAB9CD下列结论中正确的是（C）A若在点有极限，则在点可XF00X导B若在点连续，则在点可导FC若在点可导，则在点有极00限D若在点有极限，则在点连XFX续（二）填空题设函数，则0,01SIN2XXF0F设，则XXFE5E2FDLLN2曲线在处的切线斜率1XF,是21K曲线在处的切线方程是FSIN,412XY设，则YLN12XX设，则XYLNYX1（三）计算题求下列函数的导数XYE3X2123XLNCOTYS2LXY2L3COSXY4COSLN2IXXYSINL2X22ICOSL1XXYLNSI4CO3XY3SIN2XXX223LNSICOXYXLNTAE1COS2求下列函数的导数Y21EXY23COSLNXY322TANIXXY87817Y3XY211321XXYECOS2INX2ECOSXY22INXYCSISINON1XN2SI5XY2SIN5COLNXXY2SIEX2SINI22EXXY22LNXXEXXYEEXEXXEXLN在下列方程中，是由方程确定的YX函数，求YX2ECOSY2INYYSXYLNCOY1SSILNI1XXYX2SI2INCO2YXYXYSIS2COIYXLN1Y1Y2ELNXY21YEXXSINXYYCOEXS2I3YXY2EYXX52LNLYL1YX求下列函数的微分YDXCSOTDYIN22XSILDXDY2INCOSL1ARSDXXDXXDY222211131XY两边对数得1LNL3LNXY3XY131XXYESIN2DEDD2SIN3TAXYXE2CSC33求下列函数的二阶导数XYLN1XYSINCOS2ART21XY23XY3LN2223LN24XXY（四）证明题设是可导的奇函数，试证是偶函FF数证因为FX是奇函数所以X两边导数得FXFFF所以是偶函数。第4章导数的应用（一）单项选择题若函数满足条件（D），则存在F，使得,BAABFA在内连续B在内可导,C在内连续且可导D在,内连续，在内可导,BA,BA函数的单调增加区间是142XF（D）AB,1,CD,2函数在区间内满足542XY6,（A）A先单调下降再单调上升B单调下降C先单调上升再单调下降D单调上升函数满足XF的点，一定是的（C）0FXFA间断点B极值点C驻点D拐点设在内有连续的二阶导数，XF,BA，若满足（C），则在,0FXF取到极小值AB0,0XFF,XCD0FF,0设在内有连续的二阶导数，F,BA且，则在此区间内是XXF（A）A单调减少且是凸的B单调减少且是凹的C单调增加且是凸的D单调增加且是凹的（二）填空题设在内可导，且XF,BA,0BAX当时，当时，0F则是的极小值点F若函数在点可导，且是X00X的极值点，则0XFF函数的单调减少区间是1LN2Y0,函数的单调增加区间是2EXF,若函数在内恒有，则,BA0XF在上的最大值是XF,BAAF函数的拐点是X0352XF（三）计算题求函数的单调区间和极21Y值令522XX5,2X驻点列表极大值27F极小值05F求函数在区间内的极23YX,0值点，并求最大值和最小值令。X驻点163F最大值21最小值试确定函数中的DCXBAY23，使函数图形过点和点DCBA,4,，且是驻点，是拐点10X1解BACD260482413DC求曲线上的点，使其到点XY2的距离最短0,A解，D为P到A上的点是设P,2点的距离，则X2,22,55,Y极大极小Y上升27下降0上升20FFXYXD22101XX令。AXY的距离最短到点上点0,2,12圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，问当底半径与高分别为多少时，圆柱L体的体积最大设园柱体半径为R，高为H，则体积HV22LHLHL。33032令。LR时其体积最大当,33一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小设园柱体半径为R，高为H，则体积222RVSH表面积3322204V。令34H答当时表面积最大。2R34H欲做一个底为正方形，容积为625立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省解设底连长为X，高为H。则225656H侧面积为XS042令5120523XS答当底连长为5米，高为25米时用料最省。（四）证明题当时，证明不等式01LNX证由中值定理得01LLNLX。X时当LNL当时，证明不等式0X1EX1EF设000FXF单调上升且时当时当证毕即,0XXF第5章不定积分第6章定积分及其应用（一）单项选择题若的一个原函数是，则XFX1（D）FABCLN2X1DX下列等式成立的是（D）ABCDXFFDXFFDXF若，则（B）FCOSABCSINCXOSDX（B）XFD32ABCD32F1XF31XF若，则CXFD（B）FXABC2DCXF2CXF1由区间上的两条光滑曲线,BA和以及两条直线FYGY和所围成的平面区域的面积是X（C）ABBAXFDBAXGCDBAGFBAXFD（二）填空题函数的不定积分是FDXF若函数与是同一函数的原函数，XFG则与之间有关系式。CX常数DE22XTANT若，则CF3OSXF3COS9X35D21INX若无穷积分收敛，则1P0P（三）计算题CXDXX1SINCOSDCOS2EE2ECXDXXLNLN1LCXD2SIN41O2OS2CS2SIE11E1LN3LN3LDLN3EXXX4141221DE2020102EEDXEXEXXLNL12E1EEEXDXX112E122LDLN（四）证明题证明若在上可积并为奇函F,A数，则0DAX证AAAADTFDTFDTFFTX令0AAAXFXFDXF证毕证明若在上可积并为偶函F,数，则AAXFX0D2D证AAAFF0AAAXFTFTFXFTX00DD,是偶函数则令证毕AAAAAXFFXFFFF00000D2证明AAFXXF0DD证AAAAAXFXFFFF0000DAAAXFXFF000DD证毕“IFWEDONTDOTHATITWILLGOONANDGOONWEHAVETOSTOPITWENEEDTHECOURAGETODOIT“HISCOMMENTSCAMEHOURSAFTERFIFAVICEPRESIDENTJEFFREYWEBBALSOINLONDONFORTHEFASCELEBRATIONSSAIDHEWANTEDTOMEETIVORYCOASTINTERNATIONALTOURETODISCUSSHISCOMPLAINTCSKAGENERALDIRECTORROMANBABAEVSAYSTHEMATTERHASBEEN“EXAGGERATED“BYTHEIVORIANANDTHEBRITISHMEDIABLATTER,77,SAID“ITHASBEENDECIDEDBYTHEFIFACONGRESSTHATITISANONSENSEFORRACISMTOBEDEALTWITHWITHFINESYOUCANALWAYSFINDMONEYFROMSOMEBODYTOPAYTHEM“ITISANONSENSETOHAVEMATCHESPLAYEDWITHOUTSPECTATORSBECAUSEITISAGAINSTTHESPIRITOFFOOTBALLANDAGAINSTTHEVISITINGTEAMITISALLNONSENSE“WECANDOSOMETHINGBETTERTOFIGHTRACISMANDDISCRIMINATION“THISISONEOFTHEVILLAINSWEHAVETODAYINOURGAMEBUTITISONLYWITHHARSHSANCTIONSTHATRACISMANDDISCRIMINATIONCANBEWASHEDOUTOFFOOTBALL“THELACKOFAIRUPTHEREWATCHMCAYMANISLANDSBASEDWEBB,THEHEADOFFIFASANTIRACISMTASKFORCE,ISINLONDONFORTHEFOOTBALLASSOCIATIONS150THANNIVERSARYCELEBRATIONSANDWILLATTENDCITYSPREMIERLEAGUEMATCHATCHELSEAONSUNDAY“IAMGOINGTOBEATTHEMATCHTOMORROWANDIHAVEASKEDTOMEETYAYATOURE,“HETOLDBBCSPORT“FORMEITSABOUTHOWHEFELTANDIWOULDLIKETOSPEAKTOHIMFIRSTTOFINDOUTWHATHISEXPERIENCEWAS“UEFAHASOPENEDDISCIPLINARYPROCEEDINGSAGAINSTCSKAFORTHE“RACISTBEHAVIOUROFTHEIRFANS“DURINGCITYS21WINMICHELPLATINI,PRESIDENTOFEUROPEANFOOTBALLSGOVERNINGBODY,HASALSOORDEREDANIMMEDIATEINVESTIGATIONINTOTHEREFEREESACTIONSCSKASAIDTHEYWERE“SURPRISEDANDDISAPPOINTED“BYTOURESCOMPLAINTINASTATEMENTTHERUSSIANSIDEADDED“WEFOUNDNORACISTINSULTSFROMFANSOFCSKA“BAUMGARTNERTHEDISAPPOINTINGNEWSMISSIONABORTEDTHESUPERSONICDESCENTCOULDHAPPENASEARLYASSUNDATHEWEATHERPLAYSANIMPORTANTROLEINTHISMISSIONSTARTINGATTHEGROUND,CONDITIONSHAVETOBEVERYCALMWINDSLESSTHAN2MPH,WITHNOPRECIPITATIONORHUMIDITYANDLIMITEDCLOUDCOVERTHEBALLOON,WITHCAPSULEATTACHED,WILLMOVETHROUGHTHELOWERLEVELOFTHEATMOSPHERETHETROPOSPHEREWHEREOURDAYTODAYWEATHERLIVESITWILLCLIMBHIGHERTHANTHETIPOFMOUNTEVEREST55MILES/885KILOMETERS,DRIFTINGEVENHIGHERTHANTHECRUISINGALTITUDEOFCOMMERCIALAIRLINERS56MILES/917KILOMETERSANDINTOTHESTRATOSPHEREASHECROSSESTHEBOUNDARYLAYERCALLEDTHETROPOPAUSE,ECANEXPECTALOTOFTURBULENCETHEBALLOONWILLSLOWLYDRIFTTOTHEEDGEOFSPACEAT120,000FEETTHEN,IWOULDASSUME,HEWILLSLOWLYSTEPOUTONTOSOMETHINGRESEMBLINGANOLYMPICDIVINGPLATFORMBELOW,THEEARTHBECOMESTHECONCRETEBOTTOMOFASWIMMINGPOOLTHATHEWANTSTOLANDON,BUTNOTTOOHARDSTILL,HELLBETRAVELINGFAST,SODESPITETHEDISTANCE,ITWILLNOTBELIKEDIVINGINTOTHEDEEPENDOFAPOOLITWILLBELIKEHEISDIVINGINTOTHESHALLO