2016年苏科版八年级上3.2勾股定理的逆定理同步练习含答案

第 1 页（共 14 页） 股定理的逆定理 一选择题（共 7 小题） 1下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（ ） A 3， 4， 4 B 3， 4， 5 C 3， 4， 6 D 3， 4， 7 2 ， A， B， C 的对边分别记为 a， b， c，由下列条件不能判定 直角三角形的是（ ） A A+ B= C B A： B： C=1： 2： 3 C a2= D a： b： c=3： 4： 6 3在 ， A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且（ a+b）（ a b） =（ ） A A 为直角 B C 为直角 C B 为直角 D不是直角三角形 4三角形的三边长 a， b， c 满足 2 a+b） 2 此三角形是（ ） A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D等边三角形 5用 a、 b、 c 作三角形的三边，其中不能构成的直角三角形的是（ ） A a+c）（ a c） B a： b： c=1： 2： C a=32， b=42， c=52 D a=6， b=8， c=10 6在 ， A， B， C 的对边分别记为 a， b， c，下列结论中不正确的是（ ） A 如果 A B= C，那么 直角三角形 B如果 a2=b 2么 直角三角形且 C=90 C如果 A： B： C=1： 3： 2，那么 直角三角形 D如果 ： 16： 25，那么 直角三角形 7由下列条件不能判定 直角三角形的是（ ） A A+ C= B B a= ， b= ， c= C（ b+a）（ b a） = D A： B： C=5： 3： 2 二填空题（共 7 小题） 8若三角形的边长分别为 6、 8、 10，则它的最长边上的高为 _ 9一个三角形的三边长之比为 5： 12： 13，它的周长为 120，则它的面积是 _ 10如图，三个正方形的面积分别为 ， ， ，则分别以它们的一边为边围成的三角形中， 1+ 2=_度 11观察下列勾股数 第一组： 3=2 1+1， 4=2 1 （ 1+1）， 5=2 1 （ 1+1） +1 第二组： 5=2 2+1， 12=2 2 （ 2+1）， 13=2 2 （ 2+1） +1 第 2 页（共 14 页） 第三组： 7=2 3+1， 24=2 3 （ 3+1）， 25=2 3 （ 3+1） +1 第四组： 9=2 4+1， 40=2 4 （ 4+1）， 41=2 4 （ 4+1） +1 观察以上各组勾股数组成特点，第 7 组勾股数是 _（只填数，不填等式） 12如图所示，在 ， ： 4： 5，且周长为 36 P 从点 A 开始沿 向 B 点以每秒 1速度移动；点 Q 从点 B 沿 向点 C 以每秒 2速度移动，如果同时出发，则过 3 秒时， 面积为 _ 13三角形的三边分别为 a， b， c，且（ a b） 2+（ a2+2=0，则三角形的形状为 _ 14所谓的勾股数就是指使等式 a2+b2=立的任何 三个正整数我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数 m、 n（ m n），取 a=b=2c=m2+ a、 b、 c 就是一组勾股数请你结合这种方法，写出 85（三个数中最大）、 84 和 _组成一组勾股数 三解答题（共 8 小题） 15一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得 ， ， ， 2， 3，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？ 16如图，在四边形 ， D=4， A=60， ， （ 1）求 度数； （ 2）求四边形 面积 17已知，如图，在 ， D 是 中点， 足为 D，交 点 E，且 求证： A=90 若 ， ，求 长 第 3 页（共 14 页） 18能够成为直角三角形边长的三个正整数，我 们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数 a， b， c， a b c （ 1）试找出它们的共同点，并证明你的结论； （ 2）写出当 a=17 时， b， c 的值 3， 4， 5 32+42=52 5， 12， 13， 52+122=132 7， 24， 25 72+242=252 9， 40， 41 92+402=412 17， b， c 172+b2=9在 ， c 为最长边当 a2+b2=， 直角三角形；当 a2+， 钝角三角形；当 a2+， 锐角三角 形若 a=2， b=4，试判断 角分），并求出对应的 c 的取值范围 20在 ， BC=a， AC=b， AB=c，设 c 为最长边，当 a2+b2=， 直角三角形；当 a2+，利用代数式 a2+ 大小关系，探究 形状（按角分类） （ 1）当 边分别为 6、 8、 9 时， _三角形；当 边分别为 6、8、 11 时， _三角形 （ 2）猜想，当 a2+， 锐角三角形；当 a2+， 钝角三角形 （ 3）判断当 a=2， b=4 时， 形状，并求出对应的 c 的取值范围 21在寻找马航 班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标 A、B接到消息后，一艘舰艇以 16 海里 /时的速度离开港口 O（如图所示）向北偏东 40方向航行，另一艘舰艇在同时以 12 海里 /时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距 30 海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？ 22张老师在一次 “探究性学 习 ”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 a 22 1 32 1 42 1 52 1 b 4 6 8 10 c 22+1 32+1 42+1 52+1 （ 1）请你分别观察 a， b， c 与 n 之间的关系，并用含自然数 n（ n 1）的代数式表示： a=_， b=_， c=_； （ 2）猜想：以 a， b， c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想 第 4 页（共 14 页） 参考答案 一选择题（共 7 小题） 1下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（ ） A 3， 4， 4 B 3， 4， 5 C 3， 4， 6 D 3， 4， 7 【分析】 在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可 【解答】 解： A、因为 32+42 42，所以三条线段能组锐角三角形，不符合题意； B、因为 32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，不符合题意； C、因为 3+4 6，且 32+42 62，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意； D、因为 3+4=7，所以三条线段不能 组成三角形，不符合题意 故选： C 【点评】 本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a， b， c 满足 a2+b2=么这个三角形就是直角三角形掌握组成钝角三角形的条件是解题的关键 2 ， A， B， C 的对边分别记为 a， b， c，由下列条件不能判定 直角三角形的是（ ） A A+ B= C B A： B： C=1： 2： 3 C a2= a： b： c=3： 4： 6 【分析】 由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可 【解答】 解： A、 A+ B= C，又 A+ B+ C=180，则 C=90，是直角三角形； B、 A： B： C=1： 2： 3，又 A+ B+ C=180，则 C=90，是直角三角形； C、由 a2= a2+b2=合勾股定理的逆定理，是直角三角形； D、 32+42 62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形 故选 D 【点评】 本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断 3在 ， A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且（ a+b）（ a b） =（ ） A A 为直角 B C 为直角 C B 为直角 D不是直角三角形 【分析】 先把等式化为 b2=形式，再根据勾股定理的逆定理判断出此三角形的形状，进而可得出结论 【解答】 解： （ a+b）（ a b） = b2= c2+b2=此三角形是直角三角形， a 为直角三角形的斜边， A 为直角 故选 A 【点评】 本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长 a， b， c 满足 a2+b2=么这个三角 形就是直角三角形 4三角形的三边长 a， b， c 满足 2 a+b） 2 此三角形是（ ） A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D等边三角形 第 5 页（共 14 页） 【分析】 对原式进行化简，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状 【解答】 解： 原式可化为 a2+b2= 此三角形是直角三角形 故选： C 【点评】 解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形 三边满足 a2+b2=三角形 直角三角形 5用 a、 b、 c 作三角形的三边，其中不能构成的直角三角形的是（ ） A a+c）（ a c） B a： b： c=1： 2： C a=32， b=42， c=52 D a=6， b=8， c=10 【分析】 根据选项中的数据，由勾股定理的逆定理可以判断 a、 b、 c 三边组成的三角形是否为直角三角形勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a， b， c 满足 a2+b2=么这个三角形就是直角三角形 【解答】 解： A、 a+c）（ a c）， b2= b2+c2= 能构成直角三角形，故选项 A 错误； B、 a： b： c=1： 2： ， 设 a=x，则 b=2x， c= x， x） 2=（ 2x） 2， 能构成直角三角形，故选项 B 错误； C、 a=32， b=42， c=52， a2+ 32） 2+（ 42） 2=81+256=337 （ 52） 2， 不能构成直角三角形，故选项 C 正确； D、 a=6， b=8， c=10， 62+82=36+64=100=102， 能构成直角三角形，故选项 D 错误； 故选 C 【点评】 本题考查勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理时，可用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是 6在 ， A， B， C 的对边分别记为 a， b， c，下列结论中不正确的是（ ） A 如果 A B= C，那么 直角三角形 B如果 a2=b 2么 直角三角形且 C=90 C如果 A： B： C=1： 3： 2，那么 直角三角形 D如果 ： 16： 25，那么 直角三角形 【分析】 根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可 【解答】 解： 如果 A B= C，那么 直角三角形， A 正确； 如果 a2=b 2么 直角三角形且 B=90， B 错误； 如果 A： B： C=1： 3： 2， 第 6 页（共 14 页） 设 A=x，则 B=2x， C=3x， 则 x+3x+2x=180， 解得， x=30， 则 3x=90， 那么 直角三角形， C 正确； 如果 ： 16： 25， 则如果 a2+b2= 那么 直角三角形， D 正确； 故选： B 【点评】 本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长 a， b， c 满足 a2+b2=么这个三角形就是直角三角形 7由下列条件不能判定 直角三角形的是（ ） A A+ C= B B a= ， b= ， c= C（ b+a）（ b a） = A： B： C=5： 3： 2 【分析 】 由三角形内角和定理得出条件 A 和 B 是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可得出条件 C 是直角三角形， B 不是；即可得出结果 【解答】 A、 A+ C= B， B=90， 故是直角三角形，正确； B、设 a=20k，则 b=15k， c=12k， （ 12k） 2+（ 15k） 2 （ 20k） 2， 故不能判定是直角三角形； C、 （ b+a）（ b a） = a2= 即 a2+c2= 故是直角三角形，正确； D、 A： B： C=5： 3： 2， A= 180=90， 故是直角三角形，正确 故选： B 【点评】 本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和勾股定理的逆定理是证明直角三角形的关键，注意计算方法 二填空题（共 7 小题） 8若三角形的边长分别为 6、 8、 10，则它的最长边上的高为 【分析】 先根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再根据三角形的面积公式解答即可 【解答】 解： 三角形三边的长分别为 6、 8 和 10， 62+82=100=102， 此三角形是 直角三角形，边长为 10 的边是最大边，设它的最大边上的高是 h， 6 8=10h，解得， h= 【点评】 本题考查的是直角三角形的判定定理及三角形的面积公式，比较简单 第 7 页（共 14 页） 9一个三角形的三边长之比为 5： 12： 13，它的周长为 120，则它的面积是 480 【分析】 设三边的长是 5x， 12x， 13x，根据周长即可求得 x 的长，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解 【解答】 解：设三边的长是 5x， 12x， 13x， 则 5x+12x+13x=120， 解得： x=4， 则三边长是 20， 48， 52 202+482=522， 三角形是直角三角形， 三角形的面积是 20 48=480 故答案是： 480 【点评】 本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形的面积公式，正确判断三角形是直角三角形是关键 10如图，三个正方形的面积分别为 ， ， ，则分别以它们的一边为边围成的三角形中， 1+ 2= 90 度 【分析】 根据面积 得出 据勾股定理的逆定理得出 0，根据三角形内角和定理求出即可 【解答】 解： ， ， ， 0， 1+ 2=180 90=90， 故答案为： 90 【点评】 本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理的应用，能根据勾股定理的逆定理得出 0是解此题的关键 第 8 页（共 14 页） 11观察下列勾股数 第一组： 3=2 1+1， 4=2 1 （ 1+1）， 5=2 1 （ 1+1） +1 第二组： 5=2 2+1， 12=2 2 （ 2+1）， 13=2 2 （ 2+1） +1 第三组： 7=2 3+1， 24=2 3 （ 3+1）， 25=2 3 （ 3+1） +1 第四组： 9=2 4+1， 40=2 4 （ 4+1）， 41=2 4 （ 4+1） +1 观察以上各组勾股数组成特点，第 7 组勾股数是 15， 112， 113 （只填数，不填等式） 【分析】 通过观察，得出规律：这类勾股数分别为 2n+1， 2n（ n+1）， 2n（ n+1） +1，由此可写出第 7 组勾股数 【解答】 解： 第 1 组： 3=2 1+1， 4=2 1 （ 1+1）， 5=2 1 （ 1+1） +1， 第 2 组： 5=2 2+1， 12=2 2 （ 2+1）， 13=2 2 （ 2+1） +1， 第 3 组： 7=2 3+1， 24=2 3 （ 3+1）， 25=2 3 （ 3+1） +1， 第 4 组： 9=2 4+1， 40=2 4 （ 4+1） 41=2 4 （ 4+1） +1， 第 7 组勾股数是 2 7+1=15， 2 7 （ 7+1） =112， 2 7 （ 7+1） +1=113，即 15， 112，113 故答案为： 15， 112， 113 【点评】 此题考查的知识点是勾股数，属于规律性题目，关键 是通过观察找出规律求解 12如图所示，在 ， ： 4： 5，且周长为 36 P 从点 A 开始沿 向 B 点以每秒 1速度移动；点 Q 从点 B 沿 向点 C 以每秒 2速度移动，如果同时出发，则过 3 秒时， 面积为 18 【分析】 首先设 3 4 5用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形再求出 3 秒后的， 长，利用三角形的面积公式计算 求解 【解答】 解：设 3 4 5 周长为 36 C+6 3x+4x+5x=36， 解得 x=3， 25 直角三角形， 过 3 秒时， 3 1=6（ 3=6（ S Q= （ 9 3） 6=18（ 故 答案为： 18 【点评】 此题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的面积由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键 第 9 页（共 14 页） 13三角形的三边分别为 a， b， c，且（ a b） 2+（ a2+2=0，则三角形的形状为 等腰直角三角形 【分析】 由于（ a b） 2+（ a2+2=0，利用非负数的性质可得 a=b，且 a2+b2=据等腰三角形的定义以及勾股定理的逆定理可得以 a， b， c 为边的三角形是等腰直角三角形 【解答】 解： （ a b） 2+（ a2+2=0， a b=0，且 a2+， a=b，且 a2+b2= 以 a， b， c 为边的三角形是等腰直角三角形 故答案为等腰直角三角形 【点评】 本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a， b， c 满足 a2+b2=么这个三角形就是直角三角形也考查了等腰三角形的定义以及非负数的性质 14所谓的勾股数就是指使等式 a2+b2=立的任何三个正整数我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数 m、 n（ m n），取 a=b=2c=m2+ a、 b、 c 就是一组勾股数 请你结合这种方法，写出 85（三个数中最大）、 84 和 13 组成一组勾股数 【分析】 根据勾股数的定义可得要求的数是 852 842，再进行计算即可 【解答】 解： 852 842=132， 85（三个数中最大）、 84 和 13 组成一组勾股数 故答案为： 13 【点评】 此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知 三边满足 a2+b2= 直角三角形 三解答题（共 8 小题） 15一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得 ， ， ， 2， 3，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？ 【分析】 由勾股定理逆定理可得 为直角三角形，进而可求解其面积 【解答】 解： 42+32=52， 52+122=132， 即 B=90， 同理， 0 S 四边形 3 4+ 5 12 =6+30 =36 【点评】 熟练掌握勾股定理逆定理的运用，会求解三角形的面积问题 第 10 页（共 14 页） 16如图，在四边形 ， D=4， A=60， ， （ 1）求 度数； （ 2）求四边形 面积 【分析】 （ 1）连接 先证明 等边三角形，可得 0， ，再利用勾股定理逆定理证明 直角三角形，进而可得答案； （ 2）过 B 作 用三角形函数计算出 ，再利用 面积加上 面积 【解答】 解：（ 1）连接 D， A=60， 等边三角形， 0， ， 42+82=（ 4） 2， 0， 0+90=150； （ 2）过 B 作 A=60， ， B4 =2 ， 四边形 面积为： B+ D= 4 + 4 8=4 +16 【点评】 此题主要考查了勾股定理逆定理，以及等边三角形的判定和性质，关键是掌握有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形，如果三角形的三边长 a， b， c 满足 a2+b2=么这个三角形就是直角三角形 17已知，如图，在 ， D 是 中点， 足为 D，交 点 E，且 求证： A=90 若 ， ，求 长 第 11 页（共 14 页） 【分析】 （ 1）连接 线段垂直平分线的性质可求得 E，再结合条 件可求得证得结论； （ 2）在 可求得 可求得 ，利用勾股定理结合已知条件可得到关于 方程，可求得 【解答】 （ 1）证明： 连接 图， D 是 中点， E（ 2 分） 直角三角形，即 A=90； （ 2）解： ， ， =5= 5 ， 在 由勾股定理可得： 4（ 5+2= 64（ 5+2=25 得 【点评】 本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用 18能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个 数 a， b， c， a b c （ 1）试找出它们的共同点，并证明你的结论； （ 2）写出当 a=17 时， b， c 的值 3， 4， 5 32+42=52 5， 12， 13， 52+122=132 7， 24， 25 72+242=252 9， 40， 41 92+402=412 17， b， c 172+b2=分析】 （ 1）根据表格找出规律再证明其成立； （ 2）把已知数据代入经过证明成立的规律即可 【解答】 解：（ 1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析： 以上各组数均满足 a2+b2= 最小的数（ a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数； 第 12 页（共 14 页） 最小奇数的平方等于另两个连续整数的和， 如 32=9=4+5， 52=25=12+13， 72=49=24+25， 92=81=40+41 由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论： 设 m 为大于 1 的奇数，将 分为两个连续的整数之和，即 m2=n+（ n+1）， 则 m， n， n+1 就构成一组简单的勾股数， 证明： m2=n+（ n+1）（ m 为大于 1 的奇数）， m2+n+1+ n+1） 2， m， n，（ n+1）是一组勾股数； （ 2）运用以上结论 ，当 a=17 时， 172=289=144+145， b=144， c=145 【点评】 本题考查了勾股数、勾股定理的逆定理；解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形 三边满足 a2+b2=三角形 直角三角形 19在 ， c 为最长边当 a2+b2=， 直角三角形；当 a2+， 钝角三角形；当 a2+， 锐角三角形若 a=2， b=4，试判断 角分），并求出对应的 c 的取值范围 【分析】 分三种情况： 直 角三角形； 钝角三角形； 锐角三角形 【解答】 解： a=2， b=4， a2+2+42=20 分三种情况： 直角三角形时， a2+b2= 0， c=2 ； 钝角三角形时， a2+ a+b c， 即 20 6 c， 解得 2 c 6； 锐角三角形时， a2+ b a c， 即 20 得 2 c 2 ， c 为最长边， c 4 故 4 c 2 【点评】 本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a， b， c 满足 a2+b2=么这个三角形就是直角三角形也考查了三角形形状的判断及学生的阅读理解能力 20在 ， BC=a， AC=b， AB=c，设 c 为最长边，当 a2+b2=， 直角三角形；当 a2+，利用代数式 a2+ 大小关系，探究 形状（按角分类） （ 1）当 边分别为 6、 8、 9 时， 锐角 三角形；当 边分别为6、 8、 11 时， 钝角 三角形 第 13 页（共 14 页） （ 2）猜想，当 a2+ ， 锐角三角形；当 a2+ ， 钝角三角形 （ 3）判断当 a=2， b=4 时， 形状，并求出对应的 c 的取值范围 【分析】 （ 1）利用勾股定理列式求出两直角边为 6、 8 时的斜边的值，然后作出判断即可； （ 2）根据（ 1）中的计算作出判断即可； （ 3）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边 c 点的最大值，然后得到 c 的取值范围，然后分情况讨论即可得解 【解答】 解：（ 1）两直角边分别为 6、 8 时，斜边 = =10， 边分别为 6、 8、 9 时， 锐角三角形； 当 边分别为 6