法向量解立体几何大题类型大题

法向量解立体几何专题训练一、运用法向量求空间角1、向量法求空间两条异面直线a, b所成角，只要在两条异面直线a, b上各任取一个向量，则角=或-，因为是锐角，所以cos=, 不需要用法向量。2、设平面的法向量为=（x, y, 1)，则直线AB和平面所成的角的正弦值为sin= cos(-) = |cos| = 3、 设二面角的两个面的法向量为，则或-是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定是所求，还是-是所求角。二、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离设异面直线a、b的公共法向量为，在a、b上任取一点 A、B，则异面直线a、b的距离d =ABcosBAA=2、求点到面的距离求A点到平面的距离，设平面的法向量法为，在内任取一点B，则A点到平面的距离为d =，的坐标由与平面内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设三、证明线面、面面的平行、垂直关系设平面外的直线a和平面、，两个面、的法向量为，则 四、应用举例：例1：如右下图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.(1) 求二面角CDEC1的正切值;(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值. 解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，设法向量与平面C1DE垂直，则有（II）设EC1与FD1所成角为，则例2：（高考辽宁卷17）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，DAB=600，PD平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点。（1）证明平面PED平面PAB； （2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值证明：（1）面ABCD是菱形，DAB=600，ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结BD EDB=300，BDC=600，EDC=900，如图建立坐标系D-ECP，设AD=AB=1，则PF=FD=，ED=，P（0，0，1），E（，0，0），B（，0） =（，-1），= （，0，-1），平面PED的一个法向量为=（0，1，0） ，设平面PAB的法向量为=（x, y, 1)由 =（, 0, 1)=0 即 平面PED平面PAB（2）解：由（1）知：平面PAB的法向量为=（, 0, 1), 设平面FAB的法向量为1=（x, y, -1)，由（1）知：F（0，0，），=（，-）， = （，0，-），由 1=（-, 0, -1)二面角P-AB-F的平面角的余弦值cos= |cos| =例3：在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.()求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；()设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；()求点P到平面ABD1的距离.解: ()如图建立坐标系D-ACD1, 棱长为4 A（4，0，0），B（4，4，0），P（0，4，1） = (-4, 4, 1) , 显然=（0，4，0）为平面BCC1B1的一个法向量，直线AP与平面BCC1B1所成的角的正弦值sin= |cos|=为锐角，直线AP与平面BCC1B1所成的角为arcsin() 设平面ABD1的法向量为=（x, y, 1)，=（0，4，0），=（-4，0，4）由， 得 =（1, 0, 1)， 点P到平面ABD1的距离 d = 例4：在长、宽、高分别为2，2，3的长方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求A1O与B1C的距离。解：如图，建立坐标系D-ACD1，则O（1，1，0），A1（2，2，3），C（0，2，0） 设A1O与B1C的公共法向量为，则 A1O与B1C的距离为 d =例5：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，求A1到面BDFE的距离。解：如图，建立坐标系D-ACD1，则B（1，1，0），A1（1，0，1），E（，1，1） 设面BDFE的法向量为，则 A1到面BDFE的距离为d =新课标高二数学空间向量与立体几何测试题1一、选择题1在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（ ）图A60B90C105D752如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1D1F1，则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）A B图CD3如图，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA=90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）ABCD4正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离（ ）A BC DAA1DCBB1C1图5已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点点到平面的距离（ ）A B C D6在棱长为的正方体中，则平面与平面间的距离（ ）A BC D7在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值（ ）A B C D8在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G则与平面ABD所成角的余弦值（ ）A B CD9正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且，则二面角的大小（ ）A B C D10正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，则三棱锥的体积V（ ）A B C D二、填空题11在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离 12 在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截面的距离 13已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离 14已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值 三、解答题15已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小16已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF平面B1MC17在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角（1）若AEPD，E为垂足，求证：BEPD；（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值18已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D的中点（1）求证：E、F、D、B共面；（2）求点A1到平面的BDEF的距离；（3）求直线A1D与平面BDEF所成的角19已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：（）D1E与平面BC1D所成角的大小；（）二面角DBC1C的大小；（）异面直线B1D1与BC1之间的距离高二数学空间向量与立体几何专题训练2一、选择题1向量a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，若a与b共线，则()Ax1，y1Bx，yCx，y Dx，y2已知a(3,2,5)，b(1，x，1)，且ab2，则x的值是()A6 B5 C4 D33设l1的方向向量为a(1,2，2)，l2的方向向量为b(2,3，m)，若l1l2，则实数m的值为()A3 B2 C1 D.4若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5在ABC中，c，b.若点D满足2，则()A.bc B.cb C.bc D.bc6已知a，b，c是空间的一个基底，设pab，qab，则下列向量中可以与p，q一起构成空间的另一个基底的是()Aa Bb Cc D以上都不对7已知ABC的三个顶点A(3,3,2)，B(4，3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为()A2 B3 C. D.8与向量a(2,3,6)共线的单位向量是()A(，) B(，)C(，)和(，) D(，)和(，)9已知向量a(2,4，x)，b(2，y,2)，若|a|6且ab，则xy为()A3或1 B3或1 C3 D110已知a(x,2,0)，b(3,2x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是()Ax4 Bx4 C0x4 D4x0.11已知空间四个点A(1,1,1)，B(4,0,2)，C(3，1，0)，D(1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为()A30 B45 C60 D9012已知二面角l的大小为50，P为空间中任意一点，则过点P且与平面和平面所成的角都是25的直线的条数为()A2 B3 C4 D5二、填空题13已知i，j，k为单位正交基底，且aij3k，b2i3j2k，则向量ab与向量a2b的坐标分别是_；_.14在ABC中，已知(2,4,0)，(1,3,0)，则ABC_.15正方体ABCDA1B1C1D1中，面ABD1与面B1BD1所夹角的大小为_16在下列命题中：若a，b共线，则a，b所在的直线平行；若a，b所在的直线是异面直线，则a，b一定不共面；若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面；已知三向量a，b，c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为pxaybzc，其中不正确的命题为_三、解答题17如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB2，PC与平面ABCD所成角是45，F是AD的中点，M是PC的中点求证：DM平面PFB.18如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，点E在C1C上，且C1E3EC.(1)证明A1C平面BED；(2)求二面角A1DEB的余弦值19正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点(1)证明：平面AED平面A1FD1；(2)在AE上求一点M，使得A1M平面DAE.高考真题能力提升1如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点，（I）设是的中点，证明：平面；（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离2如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且 （）求证：平面；（）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.3如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.（）求证：平面； （）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.4在四棱锥中，底面是矩形，平面，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的大小；（3）求点到平面的距离.5. 如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点（）证明：直线；（）求异面直线AB与MD所成角的大小； （）求点B到平面OCD的距离。6. 如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（）求证：AB1面A1BD；（）求二面角AA1DB的大小；（）求点C到平面A1BD的距离；7.如图所示，AF、DE分别是O、O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD8,BC是O的直径，ABAC6，OE/AD.()求二面角BADF的大小；()求直线BD与EF所成的角.8.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D1EA1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为.9. 如图，边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC，MPDCBAM为BC的中点()证明：AMPM ；()求二面角PAMD的大小；()求点D到平面AMP的距离。10.如图，已知平面，平面，为等边三角形，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求证：平面平面；ABCDEF(3) 求直线和平面所成角的正弦值.11. 如图，已知等腰直角三角形，其中=90，点A、D分别是、的中点，现将沿着边折起到位置，使，连结、（1）求证：；（2）求二面角的平面角的余弦值12. 如图，正三棱柱ABC的底面边长是2，D是侧棱C的中点，直线AD与侧面所成的角为45.( 1 )求二面角A-BD-C的大小；（2）求点C到平面ABD的距离.13. 如图，、分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，. （）求证：平面；（）当时，求直线与平面所成角的大小； DA1D1C1B1E1BACPO() 当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心? 14. 如图，在正四棱锥中，,点在棱上 ()问点在何处时，并加以证明；()当时,求点到平面的距离；()求二面角的大小.15.如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（）证明：平面ABM平面A1B1M116.已知三棱锥PABC中，PAABC，AB