东华大学数值分析课后习题答案1

第一章习题解答 1. 解: 1= 1.1021, 2= 0.031, 3= 56.430, 误差限不超过最后一位的半个单位, 则 |1| = |* 1 1| 0.00005 = 1,|2| = |* 2 2| 0.0005 = 2,|3| = |* 3 3| 0.0005 = 3. 注意: 求的是误差限, 而不是误差! 误差是求不出来的。 (1) 1= 21 2+ 3= 2 1.1021 0.031 + 56.430 = 58.6032 = 0.586032 102, 1是关于1, 2, 3的线性函数, 则 |1| = |* 1 1| = |21 2+ 3| 2|1| + |2| + |3| 21+ 2+ 3 = 0.0011 = 0.11 102 0.5 102, 所以, 此式的误差限为 0.11 102, 有效数字位数= 2 + 2 = 4. (2) 2= 123= 1.10210.03156.430 = 1.927936593 = 0.1927936593101, 2是关于1, 2, 3的非线性函数, 则 |2| 3 =1 ( ) = |231+ 132+ 123| |2|3|1| + |1|3|2| + |1|2|3| |2|3|1+ |1|3|2+ |1|2|3 = 0.03120030055 = 0.3120030055 101 0.5 101 所以, 此式的误差限为 0.3120030055 101, 有效数字位数= 1 + 1 = 2. (3) 3= 2/3= 0.031/56.430 0.549353181 103, 3是关于2, 3的非线性函数, 则 |2| 3 =1 ( ) = (1/3)2 (2/2 3)3 |(1/3)|2| + (2/2 3) |3| |(1/3)|2+ (2/2 3) 3 0.88654027395 105 0.5 104 所以, 此式的误差限为 0.88654027395 105, 有效数字位数= 3 + 4 = 1. 2. 解: = 4 3 3, 绝对误差 ( ) = 42 , 相对误差 = 42 4 3 3 = 3 = 3 的相对误差限为1%, 即 | | |3| 1%, 则 | 1%/3 0.3333%, 所以, 度量半径 允许的相对误差限是0.3333%. 1 4. 设精确值* = 10* 1 1, 由 = 101 1, 得 误差= * = 10(* 1 1) = 101 = . = 100, 从而， 10= 10100= (2 1.41) 1010 0.421 108. 误差相当大！因此， 这个计算过程数值不稳定。 5. 解: 用计算器得(0.01)的真值约为0.50167084167949. 使用6位有效数字计算, 意味着每一步计算结果保留6位有效数字. 第一种公式计算: 1.01005, 1 0.00005 1 2 0.500000 1= * 1 0.167084 102, 第二种公式计算: /60.166667 102, 2/240.416667 105 1 2 + 6 + 2 24 0.501671 2= * 2 0.158321 106, 从而, 第二种公式计算更精确. 因为第一种公式中出现了相近数相减, 会使相对误差增大. 6. 解： 当| 2 4时， 分成两种情况讨论: 1) 当 0时，计算求根公式中1= +24 2 会出现相近的数相减，等价公式中2= 2 24会出现相近的数相减和分母接近于0， 此时会使舍入误差增大。 当 0时， 改进的方法： (1) 分子有理化： 求根公式中1的分子分母同时乘以分子的有理化因式， 再化简， 就可以避免 相近的数相减的现象。此时，求根公式中1恰好化为等价公式中的1= 2 +24, 从而应该用等 价公式中的1来计算； (2)分母有理化： 2的分子分母同时乘以分母的有理化因式， 再化简， 就可以避免相近的数相 减和分母接近于0两种现象。此时，等价公式中2恰好化为求根公式中的2= 24 2 , 从而应 该用求根公式中的2来计算。 2) 当 0时， 计算等价公式中1会出现相近的数相减和分母接近于0， 求根公式中2会出现 相近的数相减， 此时会使舍入误差增大。 当 0时的方法相反：应该选取求根公式中的1和等价公式中 的2来计算. 2 7. 解: 用三位尾数的浮点数计算(每一步计算结果保留三位尾数), (1) 按 的递增顺序, 5 =1 1 4 =1 + 0.0625 + 0.01234567901235 + 0.00390625 + 0.0016 (0.1 + 0.006) 101+ 0.01234567901235 + 0.00390625 + 0.0016( 对阶) (0.106 + 0.001) 101+ 0.00390625 + 0.0016( 对阶) (0.107 + 0.000) 101+ 0.0016( 对阶) (0.107 + 0.000) 101( 对阶) =1.07, 按 的递减顺序, 5 =1 1 4 =0.0016 + 0.00390625 + 0.01234567901235 + 0.0625 + 1 (0.16 + 0.39) 102+ 0.01234567