2016年四川省达州市高考数学二诊试卷(理)含答案解析

四川省达州市 2016 年高考数学二诊试卷（理科） （解析版） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1已知集合 A=x|2x 1 1， B=（ 2， 2，则 AB=（ ） A（ 2， 0） B（ 2， 2 C（ 1， 2 D（ 2， 1） 2 i 是虚数单位，复数 z= +2 3i，则 |z|=（ ） A 5 B 4 C 3 D 1 3已知 a 1 b 0 c 1，则下列不等式成立的是（ ） A c c C D bc+一个几何体的正视图和俯视图都是边长为 6正方形，侧视图是等腰直角三角形（如图所示），这个几何体的体积是（ ） A 216 54 36 108已知 等比数列 前 n 项和，若 = （ m N*），则 =（ ） A B 4 C D 5 6已知四边形 直角梯形， 列结论中成立的是（ ） A 0 B 0 C 0 D 0 7当行驶的 6 辆军车行驶至 A 处时 ，接上级紧急通知，这 6 辆军车需立即沿 B、 C 两路分开纵队行驶，要求 B、 C 每路至少 2 辆但不多于 4 辆则这 6 辆军车不同的分开行驶方案总数是（ ） A 50 B 1440 C 720 D 2160 8已知角 x 始边与 x 轴的非负半轴重合，与圆 x2+ 相交于点 A，终边与圆 x2+ 相交于点 B，点 B 在 x 轴上的射影为 C， 面积为 S（ x），函数 y=S（ x）的图象大致是（ ） A B CD 9 A、 B、 O 是抛物线 E： p 0）上不同三点，其中 O 是坐标原点， =0，直线 x 轴于 C 点， D 是线段 中点，以 E 上一点 M 为圆心、以 |半径的圆被 y 轴截得的弦长为 d，下列结论正确的是（ ） A d | 2p B d | 2p C d=|2p D d |2p 10定义在 R 上的函数 f（ x）满足： f（ x+4） =f（ x）， f（ x） = ，当 x 0， +）时，方程 f（ x） 4（ a 0）有且只有 3 个不等实根，则实数 a 的值为（ e 是自然对数底数）（ ） A B C D 二、填空题：本题共 5 小题，每题 5 分。 11（ x+2）（ x ） 6 的展开式中，常数项是 （用数字作答） 12运行如图所示的程序框图，输出的 S= 13为了了解某火车站候车旅客用手机使用火车站 况，在某日 15： 00 时，把该候车厅 10 至 50 岁年龄段的旅客按年龄分区间 10， 20）， 20， 30）， 30， 40）， 40， 50得到如图所示的人数频 率分布直方图，现用分层抽样的方法从中得到一样本若样本在区间20， 30）上有 6 人，则该样本在区间 40， 50上有 人 14已知 a、 b 是两条不同直线， 、 、 是三个不同平面，给出以下命题： 若 ， ，则 ； 若 ， ，则 ； 若 a ， a ，则 ； 若 a ， b ， ，则 a b 以上命题中真命题的个数是 15已知实数 x、 y 满足 =3，则 x |y|的最小值是 三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16（ 12 分）（ 2016 达州模拟）已知数列 等差数列， 数列 前 n 项和， 0，a7+2 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 + （ n N*），求数列 前 n 项和 17（ 12 分）（ 2016 达州模拟）已知 锐角三角形， （ ）求角 A； （ ）若 ， B=x，求 周长 f（ x）的单调区间 18（ 12 分）（ 2016 达州模拟）某企业拟对员工进行一次伤寒疫情防治，共有甲、乙、丙三套方案在员工中随机抽取 6 人，并对这 6 人依次检查如果这 6 人都没有感染伤寒，就不采取措施；如果 6 人中只有 1 人或 2 人感染伤寒，就用甲方案；如果这 6 人中只有 3 人感染伤寒，就用乙方案，其余用丙方案 （ ）若这 6 人中只有 2 人感染伤寒，求检查时恰好前 2 人感染伤寒的概率 ； （ ）若每个员工感染伤寒的概率为 ，求采用乙方案的概率； （ ）这次伤寒疫情防治的费用为 元当员工无人感染伤寒时， 为 0，采用甲、乙、丙三套方案的 分别为 512、 512 和 1024求 的分布列和数学期望 19（ 12 分）（ 2016 达州模拟）如图，点 E、 F 分别是正方体 棱 中点， G 是棱 一点 （ ）求证：平面 平面 （ ）若 ， ， M 是棱 中点，点 N 在线段 ， 二面角 M 的大小 20（ 13 分）（ 2016 达州模拟）过椭圆 C： + =1（ a 0， b 0）右焦点 F（ c， 0）的直线 l 与 C 相交于 A、 B 两点， l 交 y 轴于 E 点， C 的离心率 e= 当直线 l 斜率为 1时，点（ 0， b）到 l 的距离为 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）若 M（ t， 0）满足： = ，求实数 t 的取值范围 21（ 14 分）（ 2016 达州模拟）设 f（ x） =， g（ x） =e=自然对数的底数）， f（ x）是 f（ x）的导数 （ ）当 a 0 时，求函数 f（ x）的单调区间； （ ）当 a 0 时，若函数 f（ x）与 g（ x）的图象都与直线 l 相切于点 P（ 求实数 值； （ ）求证：当 a 1 时，函数 f（ x）与 g（ x）的图象在（ 2， 0）上有公共点 2016 年四川省达州市高考数学二诊试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1已知集合 A=x|2x 1 1， B=（ 2， 2，则 AB=（ ） A（ 2， 0） B（ 2， 2 C（ 1， 2 D（ 2， 1） 【分析】 先对集合 A 进行化简，再利用交集运算的法则求出集合 A、 B 的交集，得本题结论 【解答】 解： 2x 1 1=20， x 1， A=（ ， 1）， B=（ 2， 2， 则 AB=（ 2， 1） 故选 D 【点评】 本题考查了集合的交集运算，属于基础题 2 i 是虚数单位，复数 z= +2 3i，则 |z|=（ ） A 5 B 4 C 3 D 1 【分析】 利用复数代数形式的乘除 运算化简，然后代入复数模的公式得答案 【解答】 解： z= +2 3i= ， 故选： A 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题 3已知 a 1 b 0 c 1，则下列不等式成立的是（ ） A c c C D bc+分析】 可通过举反例的方法说明选项 A， B 错误，而由不等式的性质及条件便可判断出选项 C 正确，通过作差，分解因式及条件便可判断出 bc+关系不确定，即选项D 错误 【解答】 解： A 错误，比如 b= ， 时 ，不满足 c； B 错误，比如 时，不满足 ； C 正确， a b 0， ； 又 ； ； D 错误， bc+=（ +（ =（ b a）（ b+c）； a b； b a 0； 又 1 b 0 c 1； b+c 的符号不确定； 不能判断 bc+关系 故选： C 【点评】 考查通过举反例的方法说明选项错误，以及不等式的性质，作差法比较两个式子的大小 4一个几何体的正视图和俯视图都是边长为 6正方形，侧视图是等腰直角三角形（如图所示），这个几何体的体积是（ ） A 216 54 36 108分析】 由三视图可知：该几何体为横放的三棱柱，为正方体的一半 【解答】 解：由三视图可知：该几何体 为横放的三棱柱，为正方体的一半 其体积 = =108 故选： D 【点评】 本题考查了三视图的有关知识、正方体的体积计算公式，考查了推理能力与计算公式，属于基础题 5已知 等比数列 前 n 项和，若 = （ m N*），则 =（ ） A B 4 C D 5 【分析】 等比数列 前 n 项和，若 = （ m N*），不妨取 m=1，则 = ，化简即可得出 【解答】 解： 等比数列 前 n 项和，若 = （ m N*）， 不妨取 m=1，则 = ，可得 则 = = ， 故选： A 【点评】 本题考查了等比数的通项公式、取特殊值方法，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题 6已知四边形 直角梯形， 列结论中成立的是（ ） A 0 B 0 C 0 D 0 【分析】 可根据条件画出图形，由图形及向量数量积的计算公式便可判断每个选项数量积的符号是否恒成立，从而找出正确选项 【解答】 解：根据条件可以画出以下两种图形： （ 1）； （ 2）； A由图（ 1）看出 的夹角为锐角， ， 该选项错误； B由图（ 1），图（ 2）看出 的夹角为锐角， ， 该选项正确； C由图（ 1）看出 的夹角为锐角， ， 该选项错误； D由图（ 2）看出 的夹角为钝角， ， 该选项错误 故选 B 【点评】 考查向量数量积的计算公式，向量夹角的概念，清楚锐角和钝角的余弦值的符号，举反例排除选项的方法 7当行驶的 6 辆军车行驶至 A 处时，接上级紧急通知，这 6 辆军车需立即沿 B、 C 两路分开纵队行驶，要求 B、 C 每路至少 2 辆但不多于 4 辆则这 6 辆军车不同的分开行驶方案总数是（ ） A 50 B 1440 C 720 D 2160 【分析】 确定 B、 C 两路军车的量数类型，然后求解这 6 辆军车不同的分开行驶方案总数 【解答】 解：由题意可知 B、 C 两路军车的量数类型有 2、 4； 3、 3； 4、 2；三种类型由于军车互不相同，排列是有顺序的， 2、 4； 4、 2；类型的结果都是： 3、 3 类型的结果为： 则这 6 辆军车不同的分开行驶方案总数是： 263160 故选： D 【点评】 本题考查排列组合的实际应用，考查分析问题解决问题的能力 8已知角 x 始边与 x 轴的非负半轴重合，与圆 x2+ 相交于点 A，终边与圆 x2+ 相交于点 B，点 B 在 x 轴上的射影为 C， 面积为 S（ x），函数 y=S（ x）的图象大致是（ ） A B CD 【分析】 由题意画出图象，由三角形的面积公式表示出 S（ x），利用排除法和特值法选出正确答案 【解答】 解：如图： A（ 2， 0），在 ， |2| |2| 面积为 S（ x） = | 0， 所以 排除 C、 D； 选项 A、 B 的区别是 面积为 S（ x）何时取到最大值？ 下面结合选项 A、 B 中的图象利用特值验证： 当 x= 时， 面积为 S（ x） = =2， 当 x= 时， |2|= ， |2|= ， 则 |2+ ， 面积为 S（ x） = = ， 综上可知，答案 B 的图象正确， 故选： B 【点评】 本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积公式，以及选择题的解题方法：排除法和 特值法，考查了数形结合思想，属于中档题 9 A、 B、 O 是抛物线 E： p 0）上不同三点，其中 O 是坐标原点， =0，直线 x 轴于 C 点， D 是线段 中点，以 E 上一点 M 为圆心、以 |半径的圆被 y 轴截得的弦长为 d，下列结论正确的是（ ） A d | 2p B d | 2p C d=|2p D d |2p 【分析】 设直线 方程为 y=k 1， 0），可得直线 方程为： y= x，直线方程分别与抛物线方程联立可得 A， B 的坐标由直线 方程可得 C（ 2p， 0）， D（ p，0）设 M（ 可得 d=2 ，即可得出结论 【解答】 解：设直线 方程为 y=k 1， 0），则直线 方程为： y= x， 联立 ，解得 A ，同理可得 B（ 2 2 直线 方程为： y+2（ x 2化为： y+2（ x 2令 y=0，解得 x=2p， C（ 2p， 0）， |2p D（ p， 0） 设 M（ 则 d=2 =2 =2p 综上可得： d=|2p 故选： C 【点评】 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、直线与圆相交弦长问题、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题 10定义在 R 上的函数 f（ x）满足： f（ x+4） =f（ x）， f（ x） = ，当 x 0， +）时，方程 f（ x） 4（ a 0）有且只有 3 个不等实根，则实数 a 的值为（ e 是自然对数底数）（ ） A B C D 【分析】 作出函数 f（ x）的图象，利用程 f（ x） 4（ a 0）有且只有 3 个不等实根，等价为函数 g（ x） =4直线 f（ x） =2（ x 4）相切，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出 a 的值即可 【解答】 解：由 f（ x） 4 得 f（ x） =4 f（ x+4） =f（ x）， 函数 f（ x）是周期为 4 的周 期函数， 作出函数在 0， +）上的图象如图： 若方程 f（ x） 4（ a 0）有且只有 3 个不等实根， 则等价为当 3 x 5 时， 1 x 4 1，此时 f（ x） =f（ x 4） =2（ x 4）， 函数 g（ x） =4直线 f（ x） =2（ x 4）相切， 设切点为（ m， n）， n=4 则 g（ x） =4 g（ m） =4 则对应的切线方程为 y 4x m）， 即 y=4x m） +41 f（ x） =2（ x 4） =2x 8， 4 且 41 = 8， 两式相除得 = ， 得 = ，即 m= =4+ =4+ 则 4m= = =28e， 则 a= = = ， 故选： A 【点评】 本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合转化为两个函数相切问题，利用到是的几何意义是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的难度 二、填空题：本题共 5 小题，每题 5 分。 11（ x+2）（ x ） 6 的展开式中，常数项是 40 （用数字作答） 【分析】 首先写出（ x ） 6 的展开式的通项，由 x 的指数为 0 求得常数项，与 2 相乘得答案 【解答】 解：（ x ） 6 的展开式的通项 ， 当 r=3 时该通项为常数项， （ x+2）（ x ） 6 的展开式中，常数项是 2 = 40 故答案为： 40 【点评】 本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题 12运行如图所示的程序框图，输出的 S= 1 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S， i 的值，当 i=10 时，不满足条件i 9，退出循环，输出 S 的值为 1 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 S=0， i=1 满足条件 i 9，执行循环体， S= i=2 满足条件 i 9，执行循环体， S= i=3 满足条件 i 9，执行循环体， S= i=4 满足条件 i 9，执行循环体， S= i=9 满足条件 i 9，执行循环体， S= 1， i=10 不满足条件 i 9，退出循环，输出 S 的值为 1， 故答案为： 1 【点评】 本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的 S， k 的值是解题的关键，属于基本知识的考查 13 为了了解某火车站候车旅客用手机使用火车站 况，在某日 15： 00 时，把该候车厅 10 至 50 岁年龄段的旅客按年龄分区间 10， 20）， 20， 30）， 30， 40）， 40， 50得到如图所示的人数频率分布直方图，现用分层抽样的方法从中得到一样本若样本在区间20， 30）上有 6 人，则该样本在区间 40， 50上有 4 人 【分析】 根据频率分布直方图，利用频率 = ，即可求出对应的数值 【解答 】 解：根据频率分布直方图，得； 在区间 20， 30）上的频率为 10= 所以样本容量为 =20， 又该样本在区间 40， 50上的频率为 1 所以该区间上的频数为 20 故答案为： 4 【点评】 本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目 14已知 a、 b 是两条不同直线， 、 、 是三个不同平面，给出以下命题： 若 ， ，则 ； 若 ， ，则 ； 若 a ， a ，则 ； 若 a ， b ， ，则 a b 以上命题中真命题的个数是 3 【分析】 根据面面平行的性质定理进行判断 根据面面垂直的性质进行判断 根据线面垂直的性质进行判断 根据线面垂直和面面垂直的性质进行判断 【解答】 解： 若 ， ，则 正确，同时和一个平面都平行的两个平面是平行的；故 正确， 若 ， ，则 错误，同时和一个平面都垂直的两个平面可能是平行的也可能是相交的；故 错误 若 a ， a ，则 正确，同时和一条直线垂直的两个平面是平行 的；故 正确； 若 a ， ，则 a 或 a平面 ， b ，则 a b 成立，故 正确， 故正确的是 故答案为： 3 【点评】 本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判断，根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键 15已知实数 x、 y 满足 =3，则 x |y|的最小值是 2 【分析】 由题意可得 x+3y 0， x 3y 0，即有 9（ x 0），令 x |y|=t，即有 |y|=x t，代入双曲线的方程，运用判别式非负，解不等式即可得到最小值 【解答】 解：由 =3，可得 x+3y 0， x 3y 0，即有 9（ x 0）， 令 x |y|=t，即有 |y|=x t， 可得 x t） 2，代入 9（ x 0）， 即有 818=0， 由 x 0 可得 t 0， 由 =32432（ 9） 0， 解得 8，解得 t 2 即有 x= ， y= ， x |y|取得最小值 2 故答案为： 2 【点评】 本题考查最值的求法，注意运用转化思想和二次方程的判别式法，考查化简整理的运算能力，属于中 档题 三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16（ 12 分）（ 2016 达州模拟）已知数列 等差数列， 数列 前 n 项和， 0，a7+2 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 + （ n N*），求数列 前 n 项和 【分析】 （ ）利用等差数列，等差中项求的 6， ，即可求得 d， 可写出通项公式； （ ）先求得 通项公式，采用裂项法即可求得数列 前 n 项和 【解答】 解：数列 等差数列， a7+2，即 22， 6， 0， =30， a1+2， 22， ， d=10， d=2， ， 数列 通项公式 n； （ 2） + （ n N*）， = + ， = + （ ）， 数列 前 n 项和 + （ 1 ） +（ ） +（ ） +（ ） ， =1 + （ 1 ）， = 【点评】 本题考查求等差数列通项公式，采用裂项法 求数列的前 n 项和，数列是高中数学的重要内容，在高考中占有重要的地位高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏，属于中档题 17（ 12 分）（ 2016 达州模拟）已知 锐角三角形， （ ）求角 A； （ ）若 ， B=x，求 周长 f（ x）的单调区间 【分析】 （ 1）由同角三角函数恒等式及二倍角公式，可得 A= （ 2）由正弦定理得到 f（ x），借助辅助角公式化简后得到单调区间 【解 答】 解：（ ） ， 21 ， 锐角三角形， ， A= （ ） ， B=x， AB= 周长 f（ x） =1+ x+ ）， 当 +2x+ +2 k Z）时， x +2 +2 x （ 0， ） f（ x）的单调增区间是（ 0， ， 单调减区间是 ， ） 【点评】 本题考查三角函数化简及确定单调区间和正弦定理 18（ 12 分）（ 2016 达州模拟）某企业拟对员工进行一次伤寒疫情防治，共有甲、乙、丙三套方案在员工中随机抽取 6 人，并对这 6 人依次检查如 果这 6 人都没有感染伤寒，就不采取措施；如果 6 人中只有 1 人或 2 人感染伤寒，就用甲方案；如果这 6 人中只有 3 人感染伤寒，就用乙方案，其余用丙方案 （ ）若这 6 人中只有 2 人感染伤寒，求检查时恰好前 2 人感染伤寒的概率； （ ）若每个员工感染伤寒的概率为 ，求采用乙方案的概率； （ ）这次伤寒疫情防治的费用为 元当员工无人感染伤寒时， 为 0，采用甲、乙、丙三套方案的 分别为 512、 512 和 1024求 的分布列和数学期望 【分析】 （ ）由这 6 人中只有 2 人感 染伤寒，利用相互独立事件概率乘法公式能求出检查时恰好前 2 人感染伤寒的概率 （ ）由这 6 人中只有 3 人感染伤寒，就用乙方案，利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式能求出采用乙方案的概率 （ ）由已知得 的可能取值为 0， 512， 1024，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 【解答】 解：（ ） 这 6 人中只有 2 人感染伤寒， 检查时恰好前 2 人感染伤寒的概率： = （ ） 这 6 人中只有 3 人感染伤寒，就用乙方案， 采用乙方案的概率 = ， （ ）由已知得 的可能取值为 0， 512， 1024， P（ =0） = = ， P（ =512） = + = ， P（ =1024） = + + = ， 的分布列为： 0 512 1024 P =680 【点评】 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式的合理运用 19（ 12 分）（ 2016 达州模拟）如图，点 E、 F 分别是正方体 棱 中点， G 是棱 一点 （ ）求证：平面 平面 （ ）若 ， ， M 是棱 中点，点 N 在线段 ， 二面角 M 的大小 【分析】 （ ）建立空间坐标系，求出点的坐标，利用面面垂直的判定定理证明即可 （ ）求出平面的法向量，利用向量法求出向量夹角，即可求出二面角的大小 【解答】 证明：（ ）在正方体中，建立以 A 为坐标原点， 别为 x， y， 点 E、 F 分别是正方体 棱 中点， 设正 方体的棱长为 2， 则 A（ 0， 0， 0）， 0， 0， 2）， 2， 0， 2）， E（ 0， 1， 0）， F（ 0， 0， 1）， 0， 2， 2）， M（ 0， 2， 1） 则 =（ 0， 2， 1）， =（ 2， 0， 0）， =（ 0， 1， 2）， 则 =0， =2 2=0， 则 1E=A， 平面 面 平面 平面 （ ） 若 ， ， ， M 是棱 中点，点 N 在线段 ， ， 即 ，则 = ， 则 N（ ， 2， 1）， =（ ， 2， 0）， =（ 0， 2， 1）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 = x+2y=0， =2y+z=0， 令 x= ，则 y= 1， z=2， 则 =（ ， 1， 2）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， =（ 0， 2， 0）， 则 = x+2y=0， =2y=0， 则 y=0， x=0，设 z=1， 则 =（ 0， 0， 1）， 则 = ， 则 = ， 即二面角 M 的大小为 【点评】 本题考查了空间中的面面垂直的判定以及二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键综合性较强，运算量较大 20（ 13 分）（ 2016 达州模拟）过椭圆 C： + =1（ a 0， b 0）右焦点 F（ c， 0）的直线 l 与 C 相交于 A、 B 两点， l 交 y 轴于 E 点， C 的离心率 e= 当直线 l 斜率为 1时，点（ 0， b）到 l 的距离为 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）若 M（ t， 0）满足： = ，求实数 t 的取值范围 【分析】 （ I）直线 l 的方程为： y=x c，点（ 0， b）到 l 的距离为 ，可得 = ，即 b+c=2，又 e= = ， a2=b2+立解出即可得出 （ F（ 1， 0），可设直线 l 的方程为： y=k（ x 1）， E（ 0， k）， A（ B（ x2，与椭圆方程联立化为：（ 1+242=0， 利用根与系数的关系、数量积运算性质及其 = ，可得： t= ，令 21=m （ 1， 0） （ 0， +），则 t= =f（ m），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出 【解答】 解：（ I）直线 l 的方程为： y=x c，点（ 0， b）到 l 的距离为 ， = ，化为 b+c=2， 又 e= = ， a2=b2+立解得 ： b=c=1， 椭圆 C 的标准方程为 =1 （ F（ 1， 0），可设直线 l 的方程为： y=k（ x 1）， E（ 0， k）， A（ B（ x2， 联立 ，化为：（ 1+242=0， x1+， ， = ， （ t， t， =（ 1 t， 0）（ t， k）， 化为： t（ x1+t2+t， t（ x1+x1+ t， 即（ 1+ t+ x1+t=0， （ 1+（ t+ +t=0， 化为：