四川省宜宾市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2015年四川省宜宾市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1设 U=R，集合 A=x|x 0，集合 B=x|0，则 A（ =（ ） A x|0x 1 B x|0 x1 C x|x 0 D x|x 1 2已知函数 y= ，其定义域为（ ） A（ ， 2） B（ ， 2 C（ ， 3） （ 3， 2 D 2， 3） （ 3， +） 3下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是（ ） A y=|x| B y= y=x D y=x 3 4将函数 y=图象上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），再将所得到的图象上所有点向左平移 个单位，所得函数图象的解析式为（ ） A y=2x ） B y=2x+ ） C y=x+ ） D y=x+ ） 5设 3x+2=0 的两个根，则 +）的值为（ ） A 3 B 1 C 1 D 3 6已知函数 y=x+） +B 的一部分图象如图所示，如果 A 0， 0， | ，则（ ） 第 2 页（共 21 页） A A=4 B =1 C B=4 D = 7设 f（ x） = ，则 f（ f（ e）的值为（ ） A 0 B C 2 D 3 8已知 ， ，则 ） A B C D 9把截面半径为 5 的圆形木头锯成面积为 y 的矩形木料，如图，点 O 为圆心， ，把面积 y 表示为 的表达式，则有（ ） A y=50 y=25 y=25 y=500函数 y=x（ ， ）的大致图象是（ ） A B CD 11已知 f（ x）在 R 上是以 3 为周期的偶函数， f（ 2） =3，若 ，则 f（ 10值是（ ） 第 3 页（共 21 页） A 1 B 1 C 3 D 8 12设函数 f（ x）是 R 上的偶函数，在 0， +）上为增函数，又 f（ 1） =0，则函数 F（ x） =f（ x）图象在 x 轴上方时 x 的取值范围是（ ） A（ 1， 0） （ 1， +） B（ ， 1） （ 0， 1） C（ 1， 0） （ 0， 1） D（， 1） （ 1， +） 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5分，共 20分，请把答案直接填在题中横线上 . 13 值为 14若指数函数 f（ x）的图象过点（ 2， 4），则 f（ 3） = 15函数 f（ ） =120， 2）在 =0 处取得最小值，则点 M（ 于坐标原点对称的点坐标是 16关于函数 有如下四个结论： 函数 f（ x）为定义域内的单调函数； 当 0 时， 是函数 f（ x）的一个单调区间； 当 0， x1， 2时，若 f（ x） ，则 ； 当 0， x1， 2时，若 f（ x） ，则 其中正确的结论有 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 第 4 页（共 21 页） 17（ ）计算： ； （ ）若 ，求值： 18已知函数 f（ x） =2+x） +2 x） （ ）求证：函数 f（ x） 为偶函数； （ ）求 的值 19已知 A、 B 是单位圆 O 上的点，且点 B 在第二象限，点 C 是圆 O 与 x 轴正半轴的交点，点 若 正三角形 （ ）若设 ，求 （ ）求 值 20已知函数 （ ）证明： y=f（ x）在 R 上是增函数 ； （ ）当 a=2 时，方程 f（ x） = 2x+1 的根在区间（ k， k+1）（ kZ）内，求 k 的值 21已知函数 的图象经过三点，在区间 内有唯一的最小值 （ ）求出函数 f（ x） =x+）的解析式； （ ）求函数 f（ x）在 R 上的单调递增区间和对称中心坐标 第 5 页（共 21 页） 22已知点 A（ a， 2a）关于 y 轴对称的点为 B，点 B 关于点 M（ 1， m）对称的点为 C，且 m 2，a（ 0， 1 （ ）设 面积 S，把 S 表示为关于 a 的解析式 S=f（ a）； （ ）若 f（ a） k 1 恒成立，求实数 k 的取值范围 第 6 页（共 21 页） 2015年四川省宜宾市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1设 U=R，集合 A=x|x 0，集合 B=x|0，则 A（ =（ ） A x|0x 1 B x|0 x1 C x|x 0 D x|x 1 【考点】 交、并、补集的混合运算 【专题】 计算题；定义法；集合 【分析】 求出 B 中不等式的解集确定出 B，进而求出 B 的补集，找出 A 与 B 补集的交集即可 【解答】 解：由 B 中不等式变形得： 0= 解得： x 1，即 B=x|x 1， 全集 U=R， x|x1， A=x|x 0， A（ =x|0 x1， 故选： B 【点评】 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 2已知函数 y= ，其定义域为（ ） A（ ， 2） B（ ， 2 C（ ， 3） （ 3， 2 D 2， 3） （ 3， +） 【考点】 函数的定义域及其求法 【专题】 转化思想；转化法；函数的性质及应用 【分析】 根据函数 y 的解析式，列出使解析式有意义的不等式组 ，求出解集即可 【解答】 解： 函数 y= ， 第 7 页（共 21 页） ， 解得 ， 即 x2 且 x 3； 函数 y 的定义域为（ ， 3） （ 3， 2 故选： C 【点评】 本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目 3下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是（ ） A y=|x| B y= y=x D y=x 3 【考点】 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【专题】 函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 根据奇函数、偶函数的定义，奇函数图象的特点，以及增函数的定义便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项 【解答】 解： A y=|x|为偶函数，不是奇函数， 该选项错误； B根据 y=图象知该函数非奇非偶， 该选项错误； C. ， ， 该函数为奇函数； x 增大时， y 增大， 该函数为在定义域 R 上的增函数， 该选项正确； D y=x 3， x 0， x 增大时， 减小； 该函数在（ 0， +）上为减函数，在定义域上没有单调性； 该选项错误 故选： C 【点评】 考查偶函数、奇函数的定义，奇函数图象的对称性，增函数的定义，以及反比例函数的单调性，知道函数 在定义域上没有单调性 4将函数 y=图象上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），再将所得到的图象上所有点向左平移 个单位， 所得函数图象的解析式为（ ） 第 8 页（共 21 页） A y=2x ） B y=2x+ ） C y=x+ ） D y=x+ ） 【考点】 函数 y=x+）的图象变 换 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 由条件利用函数 y=x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】 解：将函数 y=图象上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），可得 y= 再将所得到的图象上所有点向左平移 个单位， 所得函数图象的解析式为 y=x+ ） =2x+ ）， 故选： B 【点评】 本题主要考查函数 y=x+）的图象变换规律，属于基础题 5设 3x+2=0 的两个根，则 +）的值为（ ） A 3 B 1 C 1 D 3 【考点】 两角和与差的正切函数；根与系数的关系 【专题】 计算题 【分析】 由 3x+2=0 的两个根，利用根与系数的关系分别求出 后将 +）利用两角和与差的 正切函数公式化简后，将 【解答】 解： 3x+2=0 的两个根， ， ， 则 +） = = = 3 故选 A 【点评】 此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键 6已知函数 y=x+） +B 的 一部分图象如图所示，如果 A 0， 0， | ，则（ ） 第 9 页（共 21 页） A A=4 B =1 C B=4 D = 【考点】 余弦函数的图象 【专题】 数形结合；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 由函数的图象的顶点坐标求出 A 和 B，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式 【解答】 解：根据函数 y=x+） +B 的一部分 图象，可得 B=2， A=4 2=2， = ，求得 =2 再根据五点法作图可得 2 +=0，求得 = ， y=22x ） +2， 故选： D 【点评】 本题主要考查由函数 y=x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，属于基础题 7设 f（ x） = ，则 f（ f（ e）的值为（ ） A 0 B C 2 D 3 【考点】 函数的值 【专题】 计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析 】 利用分段函数的性质求解 【解答】 解： f（ x） = ， f（ e） = = ， f（ f（ e） =f（ ） = =2 故选： C 第 10 页（共 21 页） 【点评】 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题， 注意分段函数性质的合理运用 8已知 ， ，则 ） A B C D 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系可得 而求得 【解答】 解： ， ， ， ， ， 则 ， 故选： A 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题 9把截面半径为 5 的圆形木头锯成面积为 y 的矩形木料，如图，点 O 为圆心， ，把面积 y 表示为 的表达式，则有（ ） A y=50 y=25 y=25 y=50考点】 函数解析式的求解及常用方法；三角函数的化简求值 【专题】 函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；三角函数的求值 【分析】 由三角函数可表示矩形的长和宽，由三角函数公式化简可得 【解答】 解：由题意可得矩形的长为 250 矩形的宽为 250 矩形的面积 y=1000选： D 【点评】 本题考查函数解析式的求解，涉及三角函数化简，属基础题 第 11 页（共 21 页） 10函数 y=x（ ， ）的大致图象是（ ） A B CD 【考点】 函数的图象 【专题】 计算题；数形结合；函数的性质及应用 【分析】 令 f（ x） =而可判断函数 f（ x）是奇函数 且当 x（ 0， ）时， f（ x） 0，从而解得 【解答】 解：令 f（ x） = 故 f（ x） =（ x） 3 x） = f（ x）， 故函数 f（ x）是奇函数， 又 当 x（ 0， ）时， f（ x） 0， 故选： A 【点评】 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了数形结合的思想应用 11已知 f（ x）在 R 上是以 3 为周期的偶函数， f（ 2） =3，若 ，则 f（ 10值是（ ） A 1 B 1 C 3 D 8 【考点】 函数的周期性 【专题】 函数思想；转化法；函数的性质及应用 【分析】 根据三角函数的倍角公式求出三角函数值，利用函数奇偶性和周期性的关系将条件进行转化即可 【解答】 解： ， = = = ， 第 12 页（共 21 页） 则 100 =8， f（ x）在 R 上是以 3 为周期的偶函数， f（ 10=f（ 8） =f（ 8 6） =f（ 2）， f（ 2） =3， f（ 2） =3， 即 f（ 10=f（ 2） =3， 故选： C 【点评】 本题主要考查函数值的计算，根据三角函数的倍角公式以及函数的奇偶性和周期性的关系将条件进行转化求解即可 12设函数 f（ x）是 R 上的偶函数，在 0， +）上为增函数，又 f（ 1） =0，则函数 F（ x） =f（ x）图象在 x 轴上方时 x 的取值范围是（ ） A（ 1， 0） （ 1， +） B（ ， 1） （ 0， 1） C（ 1， 0） （ 0， 1） D（， 1） （ 1， +） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【专题】 数形结合；分类讨论；转化思想；函数的性质及应用 【分析】 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集 【解答】 解： 偶函数 f（ x）在 0， +）上为增函数， f（ 1） =0， 对应的图象如图： 0， 由 F（ x） =f（ x） 0， 得 f（ x） x 0， 即 或 ， 即 0 x 1 或 x 1， 即不等式的解集为（ ， 1） （ 0， 1）， 故选： B 第 13 页（共 21 页） 【点评】 本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的 关键，综合考查函数性质的应用 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5分，共 20分，请把答案直接填在题中横线上 . 13 值为 【考点】 两角和与差的正弦函数 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用两角和的正弦公式，求得 值 【解答】 解： 43+2） = ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题 14若指数函数 f（ x）的图象过点（ 2， 4），则 f（ 3） = 8 【考点】 指数函数的图象与性质 【专题】 对应思想；待定系数法；函数的性质及应用 【分析】 设出指数函数 y=f（ x）的解析式，利用待定系数法求出 f（ x）的解析式，再计算 f（ 3）的值 【解答】 解：设指数函数 y=f（ x） =a 0 且 a1）， 其图象 过点（ 2， 4）， a 2=4， 解得 a= ； f（ x） = ， 第 14 页（共 21 页） f（ 3） = =8 故答案为： 8 【点评】 本题考查了用待定系数法求指数函数解析式的应用问题，是基础题目 15函数 f（ ） =120， 2）在 =0 处取得最小值，则点 M（ 于坐标原点对称的点坐标是 （ ， ） 【考点】 两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象 【专题】 函数思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 由辅助角公式可得 f（ ） =13+），其中 ， ，由三角函数的最值和诱导公式以及对称性可得 【解答】 解： f（ ） =123（ =13+），其中 ， ， 当 += 时，函数 f（ ）取最小值 13， 此时 =0= ，故 ） = ， ） = ，即 M（ ， ）， 由对称性可得所求点的坐标为（ ， ）， 故答案为：（ ， ） 【点评】 本题考查两角和与差的正弦函数，涉及辅助角公式和诱导公式，属中档题 16关于函数 有如下四个结论： 函数 f（ x）为定义域内的单调函数； 当 0 时， 是函数 f（ x）的一个单调区间； 第 15 页（共 21 页） 当 0， x1， 2时 ，若 f（ x） ，则 ； 当 0， x1， 2时，若 f（ x） ，则 其中正确的结论有 【考点】 对勾函数 【专题】 综合题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用 【分析】 先求导，再分类讨论，根据函数的单调性和最值得关系即可判断 【解答】 解： f（ x） =， f（ x） =a = = ， （ 1）当 0 时， 当 a 0， b 0 时， f（ x）在（ ， 0），（ 0， +）上单调递增， f（ x）在 1， 2单调递增， f（ x） =f（ 1） =a+b，即 b=2 a， 当 a 0， b 0 时， f（ x）在（ ， 0），（ 0， +）上单调递减， f（ x）在 1， 2单调递减， f（ x） =f（ 2） =2a+ ，即 b=4 4a， （ 2）当 0 时， 令 f（ x） =0，解得 x= ， 当 a 0， b 0 时， f（ x）在（ ， ），（ ， +）上单调递增，在（ ， 0），（ 0， ）单调递减， 当 1 时，即 1 时， f（ x）在 1， 2单调递增， f（ x） =f（ 1） =a+b，即 b=2 a， 第 16 页（共 21 页） 当 2 时，即 4 时， f（ x）在 1， 2单调递减， f（ x） =f（ 2） =2a+ ，即 b=4 4a， 当 1 2 时，即 1 4 时， f（ x）在 1， 单调递减，在（ ， 2上单调递增， f（ x） =f（ ） =a + =2，即 b= ， 当 a 0， b 0 时， f（ x）在（ ， ），（ ， +）上单调递减，在（ ， 0），（ 0， ）单调递增， 当 1 时，即 1 时， f（ x）在 1， 2单调递减， f（ x） =f（ 2） =2a+ ，即 b=4 4a， 当 2 时，即 4 时， f（ x）在 1， 2单调递增， f（ x） =f（ 1） =a+b，即 b=2 a， 当 1 2 时，即 1 4 时， f（ x）在 1， 单调递增，在（ ， 2上单调递减， f（ 1） =a+b， f（ 2） =2a+ ， 当 1 2 时， f（ 1） f（ 2）， f（ x） =f（ 2） =2a+ ，即 b=4 4a， 当 2 4， f（ 1） f（ 2）， f（ x） =f（ 1） =a+b，即 b=2 a， 综上所述： 正确， 其余不正确 故答案为： 【点评】 本题考查了函数的单调性质和函数的最值得关系，关键是分类，属于中档题 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 第 17 页（共 21 页） 17（ ）计算： ； （ ）若 ，求值： 【考点】 同角三角函数基本关系的运用；根式与分数指数幂的互化及其化简 运算 【专题】 转化思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的求值 【分析】 （ ）由条件利用分数指数幂的运算法则求得要求式子的值 （ ）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值 【解答】 （ ）解： =1 + =1 （ ）解： ， = 【点评】 本题主要考查分数指数幂的运算法则，同角三角函数的基本关系，属于基础题 18已知函数 f（ x） =2+x） +2 x） （ ）求证：函数 f（ x）为偶函数； （ ）求 的值 【考点】 对数函数的图象与性质；函数的值 【专题】 计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 （ ）先求出函数的定义域，再根据偶函数的定义即可证明， （ ）代入求值即可 【解答】 证明：（ ） 解得 2 x 2 f（ x）的定义域为（ 2， 2） 又当 x（ 2， 2）时，有 x（ 2， 2）， f（ x） =2 x） +2+x） =f（ x） f（ x）为偶函数 （ ） f（ x） =2+x） +2 x） =4 f（ ） =4 3） =0 【点评】 本题考查了偶函数的定义以及对数函数的运算性质，属于基础题 第 18 页（共 21 页） 19已知 A、 B 是单位圆 O 上的点，且 点 B 在第二象限，点 C 是圆 O 与 x 轴正半轴的交点，点 若 正三角形 （ ）若设 ，求 （ ）求 值 【考点】 任意角的三角函数的定义；两角和与差的余弦函数 【专题】 综合题；方程思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 （ ）根据 A 的坐标，利用三角函数的定义可知 ， ，利用二倍角公式求 （ ）利用角的变换，化简 0）展开，即可求 【解答】 解：（ 1）因为 A 点的坐标为 ，根据三角函数定义可知 ， ， （ 3）分 （ 6）分 （ 2）因为三角形 正三角形，所以 0， ， ， 所以 0） = （ 12）分 【点评】 本题是基础题，考查三角函数的定义，解答变换的技巧，两角和的余弦函数的应用，考查计算能 力 20已知函数 （ ）证明： y=f（ x）在 R 上是增函数； （ ）当 a=2 时，方程 f（ x） = 2x+1 的根在区间（ k， k+1）（ kZ）内，求 k 的值 第 19 页（共 21 页） 【考点】 二分法求方程的近似解；函数单调性的判断与证明 【专题】 计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 （ ）根据单调性的定义即可证明； （ ）令 g（ x） =f（ x） +2x 1，判断出函数 g（ x）是 R 上的增函数，求出函数的零点区间，即可求出 k 的值 【解答】 （ ）证明： xR，设 则 f（ f（ =a a+ = ， a 1， 又 ， f（ f（ 0， 即 f（ f（ f（ x）为增函数 （ ）解：令 g（ x） =f（ x） +2x 1， 当 a=2 时， 由（ ）知，函数 f（ x）是 R 上的增函数， 函数 g（ x）是 R 上的增函数且连续， 又 g（ 0） =f（ 0） 1= 1 0， g（ 1） = 0， 所以，函数 g（ x）的零点在区间（ 0， 1）内， 即方程 f（ x） = 2x+1 的根在区间（ 0， 1）内， k=