第四章---统计指标.doc

第四章 统计指标第一节 总量指标一、总量指标的概念及作用总量指标就是反映客观现象总体在一定时间、地点、条件下的总规模、总水平的统计指标。总量指标从数值形式上来看，表现为绝对数，因此总量指标又称为统计绝对数。总量指标起着非常重要的作用：1、总量指标是认识现象总体数量特征的起点。2、总量指标是实现国家宏观调控和企业经营管理的基本指标。3、总量指标是计算相对指标和平均指标的基础，相对指标和平均指标都是在总量指标的基础上派生出来的。二、总量指标的种类（一）按反映现象总体内容的不同，总量指标分为总体单位总量和总体标志总量，简称为单位总量和标志总量。（二）按反映时间状况的不同，总量指标分为时期指标和时点指标。时期指标与时点指标的区别：1、是否具有可加性所谓可加性是指同一指标在不同时间上的数值相加是否有意义，相加有意义，则该指标具有可加性，反之，就不具有可加性。时期指标也都具有可加性。时点指标的各项数值一般不能直接相加，相加后无意义（会出现同一单位或标志值在不同时点的重复计算）。时点指标不具有可加性。2、指标数值的大小与时间间隔有无直接关系时期指标的大小与时期的长短有直接的关系，作为时期指标，一般来说，时期越长，指标数值越大。时点指标的大小与时点间隔的长短无直接关系。3、资料的调查方法。时期指标采用经常性登记获取资料，即时期数值是连续登记累计的结果；时点指标数值只需间断计数，通常隔一段时间登记一次。（三）按所采用计量单位的不同，总量指标分为实物指标、价值指标和劳动量指标。1、实物指标实物指标是以实物单位计量的统计指标。实物单位包括自然单位、度量衡单位、双重单位、复合单位及标准实物计量单位等。（1）自然单位：它是根据事物的自然属性来计量的单位。如，人口以“人”为单位，汽车以“辆”为单位，鞋以“双”为单位。（2）度量衡单位：它是按统一的度量衡制度而计量的单位。如，钢产量以“吨”为单位，布以“米”为单位，距离以“公里”为单位。（3）双重单位：它是采用两种或多种计量单位来表明事物的数量。如，电动机以台/千瓦计量，船舶以马力/吨位/艘计量。（4）复合单位：是两种计量单位结合在一起的计量单位。如，发电量以千瓦时计量，货物周转量以吨公里计量。（5）标准实物单位：即对同类实物产品按统一标准折合的单位。如，将含热量不同的煤产量统一折算为7000大卡的标准煤。 实物指标的最大特点：它直接反映产品的使用价值或现象的具体内容，因而能够具体地表明事物的规模和水平。实物指标的局限性：指标的综合性比较差，不同的实物，内容性质不同，计量单位不同，无法进行汇总。2、价值指标价值指标是以货币单位为尺度对社会财富或劳动成果进行计量的统计指标。如国内生产总值以“元”为单位计量。价值指标的最大特点：它具有高度的综合性。它可以综合反映不同国家或地区、部门、企业生产不同产品的总成果。其局限性在于它脱离了物质内容，比较抽象。只有和实物指标结合使用，才能充分发挥其作用。基于以上分析，实物指标与价值指标应结合应用，以便优势互补。3、劳动量指标劳动量指标是以劳动单位即工日、工时等劳动时间计量的统计指标。劳动单位是反映劳动力资源及其利用状况所采用的一种复合计量单位。如，工时（工日）等。三、总量指标的计算（一）总量指标的计算方法总量指标的计算方法有两种：一种是根据统计调查登记的资料进行汇总；另一种是根据现象之间的各种关系进行推算。由于不同的总量指标其内涵不同，所以相关的总量指标的计算在不同的实务课中讲解。（二）总量指标的计算原则1、 必须科学地确定总量指标的含义、计算范围，才能保证总量指标计算的准确性。2、计算总量指标要注意计算口径、计算方法和计量单位的统一，这样才能汇总计算。3、应注意区分是时期数还是时点数。对时期数必须指明计算的时间范围；对时点数需要科学地规定和标明统计时点。第二节 相对指标一、相对指标的意义和表现形式相对指标又称统计相对数。它是由两个有联系的指标对比计算的，用以反映客观现象之间数量联系程度的综合指标，其数值表现为相对数。相对指标的数值有有名数和无名数两种表现形式。相对指标的特点是：1、相对指标是个抽象化的数值，反映现象间的相对程度。2、相对指标数值的大小与研究总体范围的大小无直接联系，也就是说相对指标从指标的性质来看属于质量指标即内涵指标。二、相对指标的作用（一）相对指标赋予人们判断和鉴别事物的能力，一目了然地看出差别的程度，因而为人们深入认识事物发展的质量与状况提供客观的依据。（二）计算相对指标可以使不能直接对比的现象找到可以对比的基础，进行更为有效的分析。（三）相对指标可以反映总体现象的质量（包括工作质量和产品质量），是进行宏观经济管理和评价企业经济活动的重要指标。三、相对指标的种类和计算方法（一）结构相对指标1、结构相对指标的概念和计算方法结构相对指标就是通常所说的“比重”，它是在对总体分组的基础上，以总体总量作为比较标准，求出各组总量占总体总量的比重，来反映总体内部组成情况的综合指标。其计算结果一般是百分数（%）。表4-1 某企业职工人数及工资额职工按性别分 组人数比重（）工资额（元）比重（）平均工资（元/人）男职工女职工30206040450002400065.234.815001200合 计5010069000100结构相对指标通常根据总量指标来计算，包括单位数结构和标志值结构。计算结果用百分数或成数表示，同一总体的各部分所占比重之和必须为100%或1。结构相对指标在经济研究中具有重要作用。结构相对指标能够反映总体内部结构和现象的类型特征、总体内部各组成部分的分配比重及其变化情况，从而深刻认识事物各个部分的特殊性质及其在总体中所占有的地位和地位的变化。如2003年末我国人口构成状况见下表。 表4-2 2003年末我国人口构成状况表人口分组按性别分按城乡分按年龄分男性女性城镇乡村14岁以下15-64岁65岁以上比重（）51.6548.537.762.322.570.47.1合计（）1001001002、计算结构相对指标应注意的问题第一，结构相对指标的计算条件是统计分组；第二，结构相对指标的分子与分母均为总量指标对比；第三，结构相对指标的分子与分母不能互换。（二）比例相对指标1、比例相对指标概念和计算方法 比例相对指标是总体中不同部分数量对比的相对指标，用以分析总体范围内各个局部、各个分组之间的比例关系和协调平衡状况。比例相对指标计算结果通常以百分比来表示，还有以比较基数单位为、100、1000时被比较单位数是多少的形式来表示。2、计算比例相对指标应注意的问题第一，比例相对指标的计算条件是统计分组；第二，比例相对指标的分子与分母一般是总量指标对比，但有时也可以用总体各部分的相对数或平均数对比；第三，其分子与分母可以互换。（三）比较相对指标1、比较相对指标的概念和计算方法比较相对指标是不同单位的同类现象数量对比而确定的相对指标，用以说明某一同类现象在同一时间内各单位发展的不平衡程度，以表明同类实物在不同条件下的数量对比关系。比较相对数计算结果通常用百分数或倍数表示。2、计算比较相对指标应注意的问题第一，其分子与分母更多的是采用相对数或平均数对比，因为总量指标的数值易受总体范围不同，生产条件不同等影响，它一般不具有可比性。例如用人均粮食产量进行对比。第二，其分子与分母可以互换。（四）强度相对指标1、强度相对指标的概念和计算方法强度相对指标是两个性质不同但有一定联系的总量指标之间的对比，用来表明某一现象在另一现象中发展的强度、密度和普遍程度。它和其他相对指标根本不同的特点，就在于它不是同类现象指标的对比。这里所指不同类现象可能分别属于不同的总体，也可能是同一总体中的不同标志或指标。例如，以人口数与土地面积对比得到的人口密度指标，以主要产品产量与人口数对比得到的每人平均产量，以铁路（公路）长度与土地面积对比得到的铁路（公路）密度。工农业生产中生产条件相互对比，计算各种装备程度指标，把生产成果与生产条件对比，计算各种效率指标等等，均为强度相对指标。相对指标中只有强度相对指标可以是有名数，通常以双重计量单位表示，是一种复名数。计算公式如下：2、计算强度相对指标应注意的问题第一，其分子与分母为两个性质不同而有联系的总量指标对比；注意：钢产量/猪的存栏头数这两个性质不同的总量指标在经济上没有联系，对比没有意义。第二，其数值表现形式大多数为有名数，少数为无名数形式；如人口密度以“人/平方公里”为单位、人均钢产量以“公斤/人”为单位、商业网密度以“个/千人”为单位等表现为（有名数形式）；而人口自然增长率、商品流通费用率等表现为无名数形式。第三，某些强度相对指标，分子与分母可互换，形成其正、逆指标。例如，每百元固定资产提供的产值=年工业产值/年固定资产平均余额（正指标）每百元产值占用的固定资产=年固定资产平均余额/年工业产值（逆指标）每千人拥有的零售商业机构个数，正指标每个商业机构所服务的人数，逆指标一般来说，正指标越大越好，逆指标则越小越好。（五）动态相对指标动态相对指标（发展速度）是某一事物报告期数值与基期数值对比的结果，用以说明事物在时间上发展的快慢程度。其详细内容将在第六章介绍。（六）计划完成程度相对指标1、计划完成程度相对指标的概念和计算方法计划完成程度相对指标是用来检查、监督计划执行情况的相对指标。它以现象在某一段时间内的实际完成数与计划数对比，来观察计划完成程度。（1）计划任务数以绝对数形式出现例4-2：某企业2004年计划销售额为800万元，2004年实际销售额为1000万元，求2004年销售额计划完成程度。解：即：该企业超额25完成产值计划任务。思考：计划完成程度大于100%就意味着超额完成计划吗？请看下例：例4-3：某企业2003年计划某产品单位成本为20元/件，实际该产品单位成本为18元/件，求本年该产品单位成本计划完成程度。解：此时，该产品单位成本是超额完成计划还是未完成计划呢？作为单位成本，越小越好，实际值低于计划值当然是超额完成计划了，即：该企业超额10完成单位成本降低的计划任务。由此可见，对于正指标（越大越好）而言，计划完成程度大于100%说明超额完成计划；对于逆指标（越小越好）而言，计划完成程度小于100%则说明超额完成计划。（2）计划任务数以相对数形式出现上年水平为，计划水平为n，实际水平为1：动态相对指标1/计划任务相对指标n/计划完成相对指标1/n1/n=(1/):( n/)；1/（n/）（1/n）例4-4：某企业2004年计划规定产值要比上年提高10，实际比上年提高了15，计算该企业产值计划完成程度。解： 计划数：2004年计划产值/2003年实际产值=1+10实际数：2004年实际产值/2003年实际产值=1+15%计算结果表明，该企业产值计划完成104.5，即超额4.5完成了计划。（注意：不能用15与10相除）例4-5：某企业本年某产品单位成本计划比上年降低10，实际比上年降低12，计算该企业某产品单位成本计划完成程度。解： 计划数：本年计划单位成本/上年实际单位成本实际数：本年实际单位成本/上年实际单位成本即该产品单位成本实际比计划降低2.22，即超额完成成本降低任务。3、计划执行进度的检查方法例4-6: 某企业2004年全年计划增加值为200万元，季 度 第一季度 第二季度 第三季度实际增加值（万元） 40 45 60求累计至第三季度止增加值计划执行进度。解：即时间过去3/4（75），增加值计划任务只完成72.5。4、长期计划完成情况检查累计法凡是计划指标是按计划期内各年的总和规定任务时，或者说，是按计划全期（如五年）提出累计完成量任务时，就要求按累计法计算。如基本建设投资额、新增生产能力、造林面积指标等。计算时用整个计划期间实际完成的累计数与计划指标相比较，以检查计划完成程度。例4-7：某地区“十五”计划期间基本建设投资总额计划规定为20亿元，五年内实际累计完成22亿元。解：五年基本建设投资总额计划完成程度为：22亿元/20亿元=110即超额完成五年计划。按累计法确定提前完成五年计划的时间，是用计划全部时间减去自计划执行日起至实际累计完成规定数量的日期止的的时间，即为提前完成五年计划的时间。水平法在中长期计划中，如果只规定在整个计划期的末期（最后一年），现象应达到的水平，则用水平法检查计划执行情况。例4-8：我国“十五”（2001-2005年）计划规定某种产品2005年的产量应达到200万吨，实际完成260万吨。解：该产品产量五年计划完成情况为：260/200 = 130即“十五”计划超额30完成计划。另外，按水平法检查计划执行情况，计算提早完成计划的时间，是根据连续一年时间（不论是否在一个日历年度，只要连续十二个月即可）的产量和计划规定最后一年的产量相比较来确定的，也就是说只要在计划期内有连续一年（可以跨日历年度）的数值达到计划规定最后一年的水平，就说明长期计划已完成，其余的时间即为提前完成五年计划的时间。例4-9：某产品五年计划规定，最后一年产量应达到45万吨，计划执行情况如表4-1。表4-1时间第一年第二年第三年第四年第五年上半年下半年一季二季三季四季一季二季三季四季产量303017191010111212131516解：从上表第四年的二季度起，至第五年的第一季度止的连续一年中，达到了计划所规定的水平，即：10 + 11 + 12 + 12 = 45万吨则该产品提前三个季度完成了五年计划。5、计算计划完成程度相对指标应注意的问题第一，计划完成程度相对指标的分子与分母，可以是绝对数，也可以是相对数或平均数对比；第二，该指标的分子与分母不能互换。四、几种相对指标的区别在掌握了几种常用的相对指标的概念、作用及计算后，要注意区分不同的相对指标。（一）结构相对指标与比例相对指标的区别结构相对指标是以总体总量为比较标准，计算各组总量占总体总量的比重，来反映总体内部组成情况的综合指标。比例相对指标是总体不同部分数量对比的相对数，用以分析总体范围内各个局部之间比例关系和协调平衡状况。（二）比例相对指标与比较相对指标的区别1、比例相对指标与比较相对指标子项与母项的内容不同，比例相对指标是同一总体内，不同组成部分的指标数值的对比；比较相对指标是同一时间同类指标在空间上的对比。2、比例相对指标与比较相对指标说明的问题不同，比例相对指标说明总体内部的比例关系；比较相对指标是不同单位的同类指标对比而确定的相对数，用以说明同类现象在同一时期内各单位发展的不平衡程度。（三）强度相对指标与其它相对指标的区别1、其它各种相对指标都属于同一总体内的数量进行对比，而强度相对指标除此之外，也可以是两种性质不同的但又有联系的属于不同总体的总量指标之间的对比。2、计算结果表现形式不同。其它相对指标用无名数表示，而强度相对指标主要是用有名数表示。3、当计算强度相对指标的分子、分母的位置互换后，会产生正指标和逆指标，而其它相对指标不存在正、逆指标之分。五、计算和应用相对指标应注意的问题（一） 正确选择对比标准的基数。（二）保持两个对比指标（分子与分母）的可比性指标可比性包括的内容：首先，必须根据同样的方法论计算所比较的指标。可比性还包括对比应在同样的对象范围内进行。用同样的单位计量被比较的指标也是可比性的重要问题。此外，指标在不同空间比较时，资料所属时期或时点也应该统一可比，等等。可比性不是机械绝对的，某些指标在这一场合不可比，在另一场合又可能可比，这都必须依据研究目的，对具体条件、具体情况进行具体分析，并加以灵活运用。总之，指标的可比性是个复杂的问题。（三） 必须把相对数和总量指标结合起来运用。利用相对指标进行分析时，要考虑相对数背后所代表的绝对水平，即要将两者结合起来应用，特别是在动态分析时，要注意到每增长1的绝对值。例如：钢产量（吨） 03年 04年 增长量 增长速度甲厂 800 1000 200 25乙厂 200 300 100 50甲厂每增长1的绝对值=（200吨/25）1 = 8吨乙厂每增长1的绝对值：（100吨/50）1=2吨故高速度背后可能隐藏低水平，而低速度背后可能隐藏高水平，分析问题既要看速度，又要看水平。（四）要将多种相对指标结合运用第三节 平均指标一、平均指标的概念、特点和种类（一）平均指标的概念平均指标又称统计平均数，用以反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平的统计指标。（二）平均指标的特点1、平均指标只能就同质总体计算。2、平均指标是一个代表性指标。3、平均指标是说明总体中标志值分布集中趋势的特征值。4、平均指标属于内涵指标（即质量指标），其数值大小不随总体范围的大小而增减。（三）平均指标的作用1、利用平均指标便于从一般水平上比较同类现象在不同地区、不同单位间存在的差别。2、利用平均指标可以研究同类现象在不同时期的变化，反映事物发展的趋势。3、利用平均指标可以分析现象之间的依存关系。4、利用平均指标可以进行数量上的估计和推算。（四）平均指标的种类平均指标按计算方法不同，可分为算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数和中位数。算术平均数、调和平均数、几何平均数是根据总体所有标志值来计算的，可以称为数值平均数；而众数和中位数是根据标志值所处的位置来确定，可以称为位置平均数。二、算术平均数（一）算术平均数的概念和计算条件1、算术平均数的概念算术平均数是分布数列（总体）中各单位标志值的总和除以全部单位数，即基本公式形式为：例4-10：有五名工人的工资额分别为680元、800元、920元、1150和1300元，试计算工人平均工资。解：符合算数平均数的基本计算公式。算术平均数是最常用的一种平均数，它的计算方法符合众多现象中总体各单位标志值的算术和等于其总体标志总量这一客观数量关系。2、算术平均数的计算条件基本公式的分子（总体标志总量）与分母（总体单位总量）必须是同一总体，并且分子与分母在数量上存在着直接的对应关系，即其分子（总体标志总量）数值要随着分母（总体单位总量）数值的变动而变动。算术平均数的这一计算要求也是平均指标与强度相对指标的主要区别之一。例如，平均指标与强度相对指标虽然都是两个总量指标对比，并且有的强度相对指标还带有平均的含义；其计量单位也是双重单位，但两者仍有明显区别。强度相对指标与平均指标的区别主要表现在以下两点：（1）指标的含义不同（2）计算方法不同（二）算术平均数的计算方法在实际工作中，由于掌握的资料不同，算术平均数有两种计算形式，即简单算术平均数和加权算术平均数。1、简单算术平均数-未分组资料如果已知各单位标志值和总体单位数，可采用简单算术平均数方法计算。其计算公式为：式中：x：各单位标志值；n：总体单位数例4-11：某班学生市场营销课程考试成绩如下，计算该班营销课程的平均分数。表4-2 某班学生市场营销课程考试成绩学号成绩学号成绩学号成绩200304010001912003040100028020030401000371200304010004762003040100056820030401000690200304010007892003040100088820030401000963200304010010842003040100118520030401001290200304010013822003040100146720030401001576200304010016762003040100178720030401001874200304010019902003040100207120030401002123这是一个未分组资料，平均分数计算如下：平均分数（分）2、加权算术平均数-分组资料 例4-12：某厂工人各级别工资额和相应工人数资料如表4-3。表4-3工资额（元）x工人数（人）f6808009201150130051518102合 计50试计算工人平均工资。解：工人平均工资计算过程如表4-4。表4-4 各组标志值 各组单位数 = 各组标志总量工资额（元）x工人数（人）f工资总额（元）x f680800920115013005151810234001200016560115002600合 计5046060 在计算算术平均数时，如果给出的是组距式分组资料，则用组中值代表各组变量值。例4-13：对某地区100家企业按利润额进行分组，结果如下：表4-5按利润额分组（万元）企业数（个）200300300400400500500600600以上62840188合计100计算100家企业的平均利润额。解：本题给出的资料是组距式分组，因此首先应计算各组组中值，再带入公式求解，计算过程见下表。表4-6按利润额分组（万元）组中值x企业数（个）fxf200300300400400500500600600以上25035045055065062840188150098001800099005200合计-10044400在采用分组资料计算算术平均数时，若各组的频数没有给出，而是给出了频率，则可用下式计算：例4-14：某地区某年个体工商户开业登记注册资本金分组资料如下：表4-7注册资本金分组（万元）50以下50100100150150200200以上各组个体工商户比重（%）60201082试计算该地区个体工商户注册资本金的平均数。解：该地区个体工商户注册资本金的平均数计算过程如下表：表4-8注册资本金分组（万元）50以下50100100150150200200以上合计组中值x2575125175225-各组个体工商户比重（%）f/f60201082100x. (f/f)151512.5144.561注意：一般情况下，加权算术平均数的权数是频数，但有时频数并不是合适的权数。在计算算术平均数时，应根据算术平均数的实际意义仔细斟酌，恰当地选择权数。例4-15：某公司所属6个企业，按生产某产品平均单位成本高低分组，其各组产量占该公司总产量的比重资料如表4-9。表4-9按平均单位成本分组（元/件）企业数各组产量占总产量比重（%）101212141418123224038合 计6100试计算该公司所属企业的平均单位成本。解：此题频数（企业数）就不是合适的权数。平均单位成本=总成本/总产量，因此产量才是合适的权数。本题各组产量没有直接给出，而是给出相对产量，则采用 计算，该公司所属企业的平均单位成本计算过程如表4-10。表4-10按平均单元成本分组（元/件）企业数组中值x各组产量占总产量比重（%）f /f101212141418123111316224038合 计6100（三）在计算加权算术平均数时应注意的问题1、影响加权算术平均数的因素由加权算术平均数的计算公式可见：加权算术平均数的大小受两个因素的影响，其一是受各组标志值（x）大小的影响；其二是受各组单位数（f）或各组单位数比重f /f大小的影响。当各组标志值已确定，如果哪一组标志值分配的单位数越多，则该组标志值对平均数的影响越大。反之，影响越小。注意：权数对算术平均数大小的影响程度，并不取决于权数本身数值（f）的大小，而是取决于作为权数的各组单位数占总体单位数比重的大小，即频率（f /f）的大小。例4-16：甲、乙两个企业各级别工资额、相应的工人数及工人数比重资料如表4-11。表4-11 各组标志值 各组单位数 各组单位数比重工资额（元）x工人数（人）工人数比重（%）甲企业f甲乙企业f乙甲企业f甲/f甲乙企业f乙/f乙920104012001400170051518102206072408103036204103036204合 计50200100100试计算甲、乙两个企业工人的平均工资，并观察计算结果。解：2、当各组单位数（频率）相等时，加权算术平均数等于简单算术平均数。在分组数列的条件下，当各组标志值的单位数或各组单位数比重均相等时，权数就失去了权衡轻重的作用，这时用加权算术平均数计算的结果与用简单算术平均数计算的结果相同。即：不过，这里的n不是单位数，而是组数。3、加权算术平均数的权数选择原则被平均的标志值有三种情况，即（1）若被平均的标志值表现为绝对数，则权数选择的原则是：各组标志值 各组单位数 = 各组标志总量（x） （f ） = （x f ）此等式必须有实际经济意义，（即三个量之间存在着客观的数量对等关系），各组单位数（f ）才是加权算术平均数的合适权数。即：（2）若被平均的是相对数或平均数，则宜选择该相对数或平均数的分母做权数。例4-17：某工业局所属企业产值计划完成程度、企业数和计划产值资料如表4-12。表4-12产值计划完成程度（）企业数计划产值（万元）90100100110110120582100800100合 计1000试计算该工业局所属企业的平均产值计划完成程度。解：此例被平均的标志值x（各组产值计划完成程度）是相对数。本例以企业数（次数）为权数，不符合权数选择原则。即：各组产值计划完成 企业数 = 各组标志总量（x） （f） = （x f）95 5 = 475%（无意义）本例正确的权数（f）应为各组计划产值，它符合权数选择的原则。即：各组产值计划完成 各组计划产值 = 各组实际产值（x） （f） = （x f）95% 100（万元）= 95（万元）（等式有意义）平均产值计划完成程度计算过程如表4-13。表4-13 各组标志值 各组单位数 = 各组标志总量产值计划完成程度（）企业数组中值x计划产值（万元）f实际产值（万元）x f901001001101101205829510511510080010095840115合 计10001050采用算术平均方法对相对数或平均数求平均时，就一定要用该相对数或平均数的分母做权数。练习：某企业某月生产三批产品的合格率及各批产品产量资料如表4-14。表4-14合格率（）产量（件）909598100020003000试计算产品平均合格率。解：产品平均合格率计算过程如表4-15。表4-15 各组标志值 各组单位数 = 各组标志总量合格率（）x产量（件）f合格品数量（件）x f90959810002000300090019002940合 计60005740（四）算术平均数的特点由于算术平均数是一个数值平均数，每一个变量值都会对平均数的计算产生作用，因此，当变量数列中出现极端值（极大值或极小值）时，平均指标的代表性就不高了，即算术平均数易受极端标志值的影响。三、调和平均数1、调和平均数的概念调和平均数是标志值倒数的算术平均数的倒数，又称倒数平均数。在不掌握各组单位数的资料，只掌握各组的标志值和各组的标志总量的条件下，则用调和平均数的方法计算平均指标。2、调和平均数的计算方法根据所掌握资料的不同，调和平均数具体计算可分为简单调和平均数和加权调和平均数。（1）简单调和平均数。其计算公式为：（2）加权调和平均数。其计算公式为：例4-18：某种蔬菜早、午、晚的价格及购买金额资料如表4-16。表4-16时 间价格（元/斤）购买金额（元）早午晚0.250.200.10567合 计18试计算该种蔬菜的平均购买价格。解：该种蔬菜平均购买价格计算过程见表4-17。表4-17 各组标志值 各组标志总量 时 间价格（元/斤）x 购买金额（元）m=x f早午晚0.250.200.10567合 计18当各组次数相同时，即：m1 = m2 = = mn =A注意：此时n为组数。3、调和平均数和算术平均数关系先来看一个例题：例4-19：某企业工人各级别的工资额及相对应的工资总额资料如表4-18。表4-18工资额（元）工资总额（元）460520600700850230078001080070001700合 计29600试计算工人平均工资。解：该企业工人平均工资计算过程见表4-19。表4-19 各组标志值 各组标志总量 各组单位数 工资额（元）x工资总额（元）m=x f工人数（人）f=m/x46052060070085023007800108007000170051518102合 计2960050与前面按加权算术平均数计算的结果完全相同。即：式中：H：加权调和平均数； x：各组标志值； m = x f：各组标志总量加权调和平均数是加权算术平均数的变形。两者不同在于计算平均指标时应用的权数资料不同，加权算术平均数是以各组单位数（f）为权数，加权调和平均数是以各组标志总量（m= x f）为权数。在有些情况下，对相对数求平均时，也用到调和平均数。例4-20：某工业局所属企业的产值计划完成程度、企业数和实际产值资料如表4-20。表4-20产值计划完成程度（）企业数实际产值（万元）9010010011011012058295840115合 计1050试计算该工业局所属企业的平均产值计划完成程度。解：该企业工人平均工资计算过程见表4-21。表4-21 各组标志值 各组标志总量 产值计划完成程度（）企业数组中值（%）x实际产值（万元）m=x f计划产值（万元）f=m/x901001001101101205829510511595840115100800100合 计10501000与前面按加权算术平均数计算的结果完全相同。即：4、调和平均数的应用场合第一，在采用算术平均数计算平均指标时，由于资料的限制当我们无法直接得到被平均标志值（x）相对应的各组单位数（f ）时，可通过调和平均数的形式以求出所需的各组单位数（f ）。第二，在由相对数或平均数计算平均指标时，如果掌握的权数资料是相对数或平均数的母项数值（即各组单位数 f ）时，应采用加权算术平均数计算；如果掌握的权数资料是相对数或平均数的子项数值（即各组标志总量x f）时，应采用加权调和平均数计算。5、调和平均数的特点（1）它易受极端标志值和开口组的影响；（2）当数列中某项标志值为零时，则无法计算调和平均数。四、几何平均数（一） 几何平均数的概念几何平均数是分布数列中n个单位标志值连乘积的n次方根。几何平均数中的各标志值是不独立的，即某一标志量的大小总是受前一标志量大小的影响，总体标志总量不等于各标志值之和，而是表现在最后一个标志之上。几何平均数适合于计算现象的平均比率或平均速度。当变量值的连乘积等于总比率或总速度时，采用几何平均法。（二） 几何平均数的计算方法（详见第六章）几何平均数根据所掌握资料不同，其计算分为简单几何平均数和加权几何平均数两种方法。1、简单几何平均数（适用于计算未分组数列的平均比率或平均速度）。简单几何平均数的计算公式为：式中，G：几何平均数； x：各单位标志值；n：标志值的个数； ：连乘符号。 2、加权几何平均数（计算分组数列的平均比率或速度）。即当标志值次数不同时采用。加权几何平均数的计算公式为：（三）几何平均数的特点1、易受极端标志值的影响；2、数列（总体）中某一标志值为零或为负数时，则无法计算几何平均数。（四）几何平均数、算术平均数和调和平均数的关系三种平均数有其各自的应用条件和特点，但从数量关系上看，存在某些规律性的东西。对同一资料分别用三种方法计算，其结果是算术平均数最大，几何平均数次之，调和平均数最小。只有当所有变量值都相同时，三者结果才相等。三者关系式用不等式表示为：五、众数和中位数算术平均数、调和平均数和几何平均数是根据总体各单位标志值计算的，所以称为数值平均数。众数和中位数不是根据总体的全部标志值计算的，而是根据与其所处的特殊位置有关的一部分标志值计算的，故，众数和中位数是两个位置平均数。（一）众数1、众数的概念众者，多也。众数就是出现次数最多的变量值，即在分布数列中最常出现(频数或频率最大)的标志值。数列中最常出现的标志值说明该标志值最具有代表性，因此可以之反映数列的一般水平。2、众数的确定方法（1）由单项式数列确定众数例4-21：某集贸市场某种商品价格及商户资料如表4-22，试确定众数。表4-22商品价格元/斤商户（户）f1.51.61.82.22.4141532合 计25解：商品价格为1.8元/斤便是众数。（2）由组距式数列确定众数由组距式数列确定众数，需先确定众数所在组，即次数最多的一组，而后运用下面公式计算众数的近似值。式中：L：众数所在组的下限；U：众数所在组的上限；1：众数组频数与其前一组频数之差；(fm- fm1)2：众数组频数与其后一组频数之差；(fm- fm+1)d：众数所在组的组距。例4-22：某地区居民家庭有关资料如表4-23。表4-23居民家庭按月收入分组（元）家庭数（户）1000120024012001400 480 fm114001600 1050 fm16001800 600 fm+11800200027020002200210220024001202400260030合 计3000试确定众数。解：由上表可看出，第三组频数最大，则可推算众数在第三组，带下限公式计算如下：该地区居民家庭平均月收入，即众数为：3、众数的特点和应用条件（1）众数的特点众数是一种位置平均数，不受极端标志值的影响。所以，当总体出现极端标志值时，众数比算术平均数更能反映总体各单位标志值的一般水平。（2）众数的应用条件在分配数列中，当标志值的次数有明显集中趋势的情况下，才能确定众数。故，在分配数列中，当标志值的次数没有明显集中趋势或呈均匀分布的情况下，不存在众数。（二）中位数1、中位数的概念将分布数列中各单位标志值依其大小顺序排列，位于中间位置的标志值称为中位数（Me）。中位数表明，数列中有一半单位的标志值小于中位数，一半单位的标志值大于中位数。例如，有9名工人，每人日产零件数按从低到高的顺序排列如下：15、17、19、20、22、23、23、24、25。则中位数为22件/人。这个数字反映了工人总体日产零件数的一般水平。2、中位数的特点(1)它是一种位置平均数，不受极端标志值的影响。(2)中位数的数学性质就是总体各单位标志值与其中位数的绝对离差的总和是一个最小值。即：| x Me |最小值3、确定中位数的方法（1）由未分组数列确定中位数首先找出中位数所在的位置，然后确定中位数。确定中位数时要注意n为奇数和偶数的不同。当数列项数为奇数时，中位数根据下列公式确定： 在前述工人日产量的例子中，中位数所处的位置是：（9+1）/2=5，第五位对应的变量值是22，则9人日产量的中为数为22件/人。 当数列项数为偶数时，先找出处于中间的两个变量值，再对这两个变量值计算简单平均求得中位数。例如，有10名工人，每人日产零件数按从低到高的顺序排列如下：15、16、17、19、20、22、23、23、24、25。处于中间的两个位置是：n/2和n/2+1本题即10/2=5、10/2+1=6，第5位和第6位对应的变量值分别为20和22，则：中位数=（20+22）/2=21(2)由分组数列确定中位数第一步，确定中位数所在组（采用向上或向下累计方法）；第二步，根据下列公式确定中为数的近似值。即：式中：前者为下限公式，后者为上限公式。L：中位数所在组的下限；f：数列的频数总和；f/2：中位数的位次； fm：中位数所在组的频数；Sm1：中位数所在组之前那组的向上累计频数；U：中位数所在组的上限d为中位数所在组的组距。例-23：根据例4-22，某地区居民家庭有关资料如表4-23，计算该地区居民家庭月均收入的中位数。解：计算过程如下：表4-24居民家庭按月均收入分组（元）家庭数（户）f向上累计频数（%）向上累计频率（%）10001200240240812001400480 72024140016001050 17705916001800600 23707918002000270264088200022002102850952200240012029709924002600303000100合 计3000-向上累计频率计算到第三组已超过50%，则中位数在第三组。下面根据公式推算出中位数。该地区居民家庭月均纯收入，即中位数为：从以上关于众数和中位数的计算说明，它不像算术平均数那样，把总体各个单位标志值差异抵消，因而应该把它们看成为对现象总体一般水平描述的重要补充指标。在实践中，众数和中位数常用来代替算术平均数，或者与算术平均数同时使用。当现象总体包含有极大或极小标志值的单位时，尤其适合于计算众数和中位数。因为这些对于总体不太有代表性的标志值会影响算术平均数的数值，但不影响众数和中位数的数值。众数与中位数也就成