高中数学《2.2.2反证法》课件 新人教A版选修22.ppt

2 2 2反证法 课标要求 1 了解反证法是间接证明的一种基本方法 2 理解反证法的思考过程 会用反证法证明数学问题 核心扫描 体会反证法的思考过程 特点 培养逆向思维的能力 重难点 自学导引1 反证法假设原命题 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明 从而证明了 这种证明方法叫做反证法 2 反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与已知条件矛盾 或与假设矛盾 或与定义 公理 定理 事实矛盾等 不成立 假设错误 原命题成立 想一想 有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题 这种说法对吗 为什么 提示这种说法是错误的 反证法是先否定命题 然后再证明命题的否定是错误的 从而肯定原命题正确 不是通过逆否命题证题 命题的否定与原命题是对立的 原命题正确 其命题的否定一定不对 2 反证法证明数学命题的一般步骤第一步 分清命题 p q 的条件和结论 第二步 作出与命题结论q相矛盾的假定綈q 反设 第三步 由p和綈q出发 应用正确的推理方法 推出矛盾结果 归谬 第四步 断定产生矛盾结果的原因 在于开始所作的假定綈q不真 于是原结论q成立 从而间接地证明了命题p q为真 第三步中所说的矛盾结果 通常是指推出的结果与已知公理 已知定义 已知定理或已知条件矛盾 与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况 3 反证法常用的否定形式 对于含有 至多 至少 的命题适合用反证法 对于此类问题 需仔细体会 至少有一个 至多有一个 等字眼的含义 弄清结论的否定是什么 避免出现证明遗漏的错误 变式1 已知a b c d r 且a b c d 1 ac bd 1 求证 a b c d中至少有一个是负数 证明假设a b c d都是非负数 a b c d 1 a b c d 1 又 a b c d ac bd ad bc ac bd ac bd 1 这与已知ac bd 1矛盾 a b c d中至少有一个是负数 题型二用反证法证明不存在 唯一性命题 例2 证明 对于直线l y kx 1 不存在这样的实数k 使得l与双曲线c 3x2 y2 1的交点a b关于直线y ax a为常数 对称 思路探索 由于直接证明比较困难 但其反面相对来说较为容易 故采用反证法证明 规律方法证明 唯一性 问题的方法 唯一性 包含 有一个 和 除了这个没有另外一个 两层意思 证明后一层意思时 采用直接证法往往会相当困难 因此一般情况下都采用间接证法 即用反证法 假设 有另外一个 推出矛盾 或同一法 假设 有另外一个 推出它就是 已知那一个 证明 而用反证法有时比用同一法更方便 变式2 求证方程2x 3有且只有一个根 证明 2x 3 x log23 这说明方程2x 3有根 下面用反证法证明方程2x 3的根是唯一的 假设方程2x 3至少有两个根b1 b2 b1 b2 则2b1 3 2b2 3 两式相除得2b1 b2 1 若b1 b2 0 则2b1 b2 1 这与2b1 b2 1相矛盾 若b1 b2 0 则2b1 b2 1 这也与2b1 b2 1相矛盾 b1 b2 0 则b1 b2 假设不成立 从而原命题得证 题后反思 1 当结论中含有 不 不是 不可能 不存在 等词语的命题 此类问题的反面比较具体 适于应用反证法 例如证明异面直线 可以假设共面 再把假设作为已知条件推导出矛盾 2 反证法必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须根据这一条件进行推证 否则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行推理 就不是反证法 误区警示不理解题意而致错 示例 已知a b c是互不相等的非零实数 求证 三个方程ax2 2bx c 0 bx2 2cx a 0 cx2 2ax b 0至少有一个方程有两个相异实根 错解 假设三个方程都没有两个相异实根 则 1 4b2 4ac 0 2 4c2 4ab 0 3 4a2 4bc 0 相加有a2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ac a2 0 即 a b 2 b c 2 c a 2 0 此不等式不能成立 所以假设不成立 即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根 上面解法的错误在于认为 方程没有两个相异实根就有 0 事实上 方程没有两个相异实根时 0 正解 假设三个方程都没有两个相异实根 则 1 4b2 4ac 0 2 4c2 4ab 0 3 4a2 4bc 0 相加有a2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ac a2 0 即 a b 2 b c 2 c a 2 0 由题意a b c互不相等 所以 式不能成立 所以假设不成立 即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根 用反证法证题要把握三点 1 必须先否定结论 对于结论的反面出现的多种可能 要逐一论证 缺少任何一种可能 证明都是不全面的 2 反证法必须从否定结论进行推理 且必须根据这一