【毕业学位论文】（Word原稿）基于变权组合的人口老龄化趋势预测——以武汉市户籍人口为例-统计教育学

1 基于变权组合的人口老龄化趋势预测 以武汉市户籍人口为例 中南财经政法大学 摘 要 近些年来， 随着我国人口老龄化程度的日益加深， 劳动力不足、劳动人口的负担加重、政府的财政负担加重、家庭赡养负担加重等等问题 不断突 显出来 。直接关系我国和谐社会的建设和可持续发展。 本文选取从武汉市统计局获取的武汉市 1980 2010 户籍人口数据， 采用母模型套子模型的双层次模型体系对武汉市人口发展趋势进行研究预测。 先采用时序回归预测法、 线、 等维灰数递补动态 模型、人口发展方程 四个单项子模 型对武汉市户籍总人口和老年人口的未来 10 年的发展趋势进行预测；再采用变权组合预测母模型分别综合四个单项子模型的预测值，得到它们的变权组合预测值，作为对武汉市未来 10 年的户籍总人口和老年人口的最终预测结果；继而根据最终预测结果分析武汉市未来 10 年的人口老龄化趋势。 最后根据分析结果得出结论： 武汉市未来十年户籍人口继续呈近似线性增长趋势，保持年均 低速增长趋势， 2015 年达到 854 万左右， 2020 年达到 870 万左右，户籍人口峰值还不会到来 ； 武汉市未来十年户籍人口中的老年人口也呈近似线性增长趋势， 但 以年 均 增长速度快速增长，远高于户籍人口年均 增长速度。老年人口 2015 年达到 167 万左右， 2020 年达到 218万左右，户籍老年人口峰值也不可能短期内到来 ； 武汉市户籍人口老龄化趋势会进一步加重，老年人口比例从 2010 的 年均攀升 到 2015 年达到 接近 1/5，到 2020 年达到 右，老年人口将超过户籍人口的1/4，老龄化状况将相当严重。 并据此提出合理的政策建议来应对日益突出的人口老龄化问题。 关键词 ： 人口老龄化；变权组合预测； 线 ；等维灰数递补动态 模型1,1）； 人口发展方程 2 of as an n of as of It to of of 980to we of in 0 by of we to of as by of on to of we to a a in in 0 015 .7 in 0 an it an It up 015 020. of be It up , be a of 020. to of of M（ 1, 1） ; 3 目 录 一、 导 论 . 1 （一）研究背景和意义 . 1 （二）文献综述 . 2 1国外研究情况 . 2 2国内研究情况 . 2 （三）研究思路及创新点 . 3 1. 研究思路 . 3 2. 本文创新点 . 3 二、变权组合预测理论模型 . 5 （一）变权组合预测模型 . 5 1各时点的最优组合权系数的确定 . 6 2预测时点组合预测权重的确定 . 7 （二）单项预测子模型 . 7 1时序回归预测模型 . 8 2. 线增长模型 . 8 3. 等维灰数递补动态 模型 . 9 4人口发展方程 . 12 三、武汉人口老龄化趋势的实证研究 . 15 （一）数据整理和描述性分析 . 15 （二）一些假设 . 17 （三）总人口子模型预测 . 17 1. 时序回归预测法 . 17 2. 线增长模型 . 18 3. 等维灰数递补动态模型 . 19 4人口发展方程 . 20 （四）老年人口子模型预测 . 24 1时序回归预测法 . 24 2. 等维灰数递补动态模型 . 25 （五）变权组合模型的求解 . 26 1总人口的变权组合预测模型 . 26 2. 老年人口的变权组合预测模型 . 27 （六） 武汉市未来 十年的人口老龄化趋势 . 28 四、结论与建议 . 30 （一） 结论 . 30 （二） 建议 . 30 五、结 语 . 33 参考文献 . 34 附 录 . 35 附录 A 本文所引用的数据 . 35 附录 B 本文模型拟合结果 . 40 附录 C 本文所编的 序 . 43 1 一、 导 论 （一） 研究背景和意义 人口问题影响着人类的可持续 发展，是当今世界所面临的重大问题，人口老龄化问题更加是关注的焦点。 人口老龄化，是指在一个国家或地区因人均预期寿命的不断延长而使老年人口在总人口中的比重上升和人口年龄构成 老 龄 化 的社会发展过程，它是人类社会发展到一定阶段的产物。 人口老龄化有两个方面的含义 ： 一是指老年人口相对增多 ,在总人口中所占比例不断上升的过程 ;二是指社会人口结构呈现老年状态 ,进入老龄化社会 。 国际上通常看法是 ,当一个国家或地区 60岁以上老年人口占人口总数的 比例超过 10% ,或 65岁以上老年人口的 比例超过 7% ,即意味着这个国家或地区的人口处 于老龄化社会 。 21世纪是全球人口老龄化的世纪。这种人口年龄结构的变化正在广泛而深刻的影响着人类社会生活的各个方面，人口老龄化已经日益成为世界各国关注的重大人口问题。中国作为世界 上最大的发展中国家，在社会生产水平 不高 ，经济尚不发达的背景下迎来了人口的老龄化，必将给经济和社会发展带来深刻的变化。近些年来 ,随着我国社会经济的发展、人口发展态势的复杂化 , 人口老龄化与经济社会的发展之间的矛盾和问题越来越突出。今年刚刚公布的 “六普 ”数据显示全国60岁及以上人口为 其中 65岁及以上人口为 同 2000年 “ 五普 ” 相比， 60岁及以上人口的比重上升 分点， 65岁及以上人口的比重上升 明我国老龄化问题在进一步加重。 人口 老龄化 的加重会 造成 劳动力不足、劳动人口的负担加重、政府的财政负担加重、家庭赡养负担加重 等等问题 ，直接关系我国和谐社会的建设 和可持续发展 。 因此，对人口老龄化趋势进行研究和预测， 并据此提出合理的政策建议， 从而 科学 合理地 解决由于人口老龄化所带来的问题 ，很有现实意义 。 武汉地处中国的心脏，是 华中地区最大都市 及 中心城市 ， 是中部崛起核心枢纽和战 略支撑。 武汉 也 是中部六省 人口规模 最大的城市。 根据武汉市 “ 六普 ”数据 公报 ， 武汉 市常住人口为 9785392 人，同第五次全国人口普查的 8048091 人相比，年 均 增加 173730 人，年 均增长率为 老年（ 60 岁及以上）人口总 2 数为 1241007 人，占 同“ 五普 ” 相比，比重上升了 百分点 ， 可以预见未来武汉市老龄人 口会进一步攀升，老龄化趋势会越来越严重 。随着武 汉市 老龄化 程度的日益 加深， 全社会的养老负担会越来越重， 养老问题会越来越突出，用于老年人的养老和医疗保险等方面的支出将越来越多， 这将给武汉市经济的腾飞、 “ 两型 ” 社会的构建和和谐社会的建设带来严重的挑战 ， 还会 影响到整个中部崛起战略的实现。 因此研究武汉市的老龄化趋势 ，并据此提出合理的应对政策建议， 化解武汉市 潜在的 人口老龄化危机，迫在眉睫 。 （二） 文献综述 1 国外研究情况 国外较早时期就有学者对人口趋势预测进行了相应的研究。早在 1789 年英国牧师马尔萨斯就开始研究人口问题，基于 100 余年来的人口统计资料，他提出了 数增长模型。荷兰学者 1838 年认为人口增长不能超出由自然资源和环境条件所决定的最大容量，提出了 口预测模型，即人口阻滞增长模型。夏普和洛特卡致力于人口的年龄分布问题研究，研究了 “正态年龄分布的稳定性 ”等问题，并首先用积分方程去分析人口发展过程。美国数理人口学家凯菲茨，第一次把矩阵方法运用到人口预测问题上，构建了凯菲茨方程模型。 1945 年澳大利亚学者 出了一种离散化数学随机模型，后被引入人口预测问题，在此基础上发展出了一个比较完善的离散人口发展方程 ，即莱斯利(阵预测模型，它是迄今人口统计学的理论基础。目前，人口预测问题的建模通常是以 型、 型、 型这三类典型人口预测模型为蓝本或参考框架。 2 国内研究情况 国内的人口预测研究虽起步较晚，但国内学者逐渐对国外的人口预测理论展开了跟踪研究，也取得了较丰硕的典型研究成果。在众多研究中，宋健、于景元等学者建立的人口发展方程模型的应用是最为广泛和成功的。 宋健 1等人把人口系统看作一个动力系统来进行研究，建立人口发展的偏微分方程模型。从而把我国人口研究从 纯粹的定性研究引入到定量分析中。此外，蒋正华等开发了 人口预测模型、并进行了仿真；王广州提出了系统仿真结构功能模型等。尹春华、陈雷 2阐述了基于 经网络的人口预测模型构建原理 , 并运用该模型进行了实证研究 ; 郝永红、王学萌 3运用灰色系统等维灰数递补动态预测模型进行人口预测研究 ；王晓雪、米红、陈均宇 4首次将逆系统的理论运用到人口预测研究，设计了人口预测系统的逆系统 , , 具有一定的开创性意义；曾毅 5考虑了迁移因素、城乡人口要素的巨大差异和城乡人口的动态迁移 , 修正了多区域人口预测模型。 王周喜 、 胡斌 、 王洪萍 6将 分 岔和混沌理论用以研究人口问题 , 提出了人口的跨临界分岔，并以此来建立人口预测模型。 综上所述，现有的人口预测的基本方法和模型较多。但是，目前有关人口预测方法存在模型单一、适用范围狭窄等问题。 另外，由于计划生育等人口政策的实施、城市化进程的加快，我国人口发展趋势发生了很大的变化。出生人口性别比持续升高，人口流动等因素使得单一预测方法 难以获得准确的预测效 果， 存在或大或小或正或负的偏差，模型的实用性不强。因此，本文提出一种新的思路，通过构建变权组合预测模型对人口老龄化趋势进行预测研究 。 （三 ） 研究思路及创新点 1. 研究思路 本文以武汉市户籍人口为例，先 运用预测人口的常用方法模型时序回归法、线、灰色模型、人口发展方程 等模型 对武汉市户籍人口和老年人口未来10 年的发展趋势 分别 进行预测。后采用变权组合预测模型 把 时序回归法、 色模型、人口发展方程四种单项预测 子模型 综合起来， 对 其结果 进行 误差最小化加权修正，得到武汉市户籍人口和老年人口 未来 10 年的发展趋势 。最后根据预测结果得出 结论， 并 结合 武汉市现状， 提出应 对老龄化问题的 合理 政策建议。 2. 本文创新点 以往预测人口 常采用传统的单一预测方法， 但各种单一的预测方法 和模型 具有及各自的优缺点，预测精度和应用范围存在差异。比如时序回归对短期预测比较有效，而 线比较适合对人口发展趋势做长期预测，灰色模型则比较适用于数据量比较小的样本。 本文的创新之处在于， 采用母模型套子模型的双层次模型体系对武汉市人口 4 发展趋势进行研究预测。 把变权组合预测模型作为母模型，综合 几 种 常用人口预测模型（子模型），不仅对各子模型的预测结果进行加权误差和最小化修正， 而且针对不同时点各子模型 预测 误差不同 ， 采用不同时点不同权重修正， 即 动态变权修正，使得各时点的加权误差和都达到最小 ，从而综合预测值更接近真实值 。另外， 在应用 子模型 灰色模型时考虑到应 及时 更新信息，不断 加入新数据而删掉最陈旧的数据 ， 即 采用等维灰数递补动态模型一步一步地向前进行动态预测。在应用人口发展方程进行预测时，考虑到可获取数 据不能推算出生育模式，故定义出生存活率来简单推算每年新出生人口，由于主要做老龄化趋势研究，所以把最大年龄扩大到 100 岁，而且没有赋予 100 岁以上人口以 1 的死亡率 ，而是根据已有数据推算 100 岁以上人口的综合死亡率，从而推算 100 岁以上人口。 这些改进都提高了 模型的预测效果，具有实用价值。 5 二、 变权组合预测 理论模型 组合预测的方法最早由 1969 年提出。一方面，由于不同的预测模型和方法具有及各自的优缺点，其预测精度和应用范围就会有所差异。另一方面，不同的预测模型选取的数据不完全相同，不同的数据结构所包含的信息显然不尽相同。所以，各种预测模型和方法之间并不是相互排斥，而是相互补充的。组合预测考虑不同预测模型的特点，赋予各个单独的预测模型以合适的权重来构造出组合预测模型。这有利于综合利用各种方法的优势和其所提供的信息 。理论研究和实际应用表明，组合预测结果对某个较差的预测方法不太敏感，可以使得预测有着更好的稳健性；并且组合预测模型会比单个预测模型具有更高的预测精度。组合模型自产生以来取得了很大发展。 在组合预测中， 根据权重确定与否可以分为定权组合预测模型和变权组合预测模型。定权组合预测模型认为权重系数是一个定值，进行短期用其的预测是比较科学的，但是对于中长期来说定权重组合预测模型无论是在预测效果方面，还是在经济意义方面，都难以达到令人满意的程度。变权组合预测模型则认为权重不是固定的，而是随时间变化的函数，并且随着时间的 变化，权重也表现出 “时好时坏 ”性，从而预测更具科学性。本文主要采用变权组合预测模型来进行人口老龄化趋势的研究。 （一） 变权组合预测模型 一个由 m 个 单项 预测模型 12( ) , ( ) , , ( )mf t f t f 1( ) ( ) ( )m t g t f t （ 1） 其中， ()t 时点的组合预测值， ()i 个单项预测模型在 t 时点的预测值， ()i 个单项预测模型在时点 t 的权重。并且 () 1( ) 1 , 1 , 2 , ,m t t N L（ N 为观测数据期数） 6 变权组合预测模型的建立，关键在于各个单项预测方法的加权系数的确定。首先，要建立样本点的组合预测优化模型，求出各单项预测方法在各样本点的最优组合权系数；其次，根据这些权系数确定各个单项预测方法 在 “预测时点 ”的组合权重。 1 各 时 点的最优组合 权系数 的确定 常用的变权组合预测的 各样本点最优组合权系数的 求解方法主要有：误差平方和最小法、误差绝对值最小法等。下面基于误差平方和最小法来说明其解法。 样本序列为 , 1, 2 , , tx t N L，设第 i 种单项预测方法在时点 t 的预测为 () , 2 , , , 1 , 2 , ,i m t N 令 ( ) ( )it ie x t x t为第 i 种单项预测方法在时点 t 的预测误差，则组合预测在时点 t 的预测误差为： 11( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) , , ( ) ) ( ( ) , , ( ) )i i t i g t e g t x t x te t e t g t g t 2） 即 组合预测在时点 t 的预测误差平方和 为 ： 2 1 1 1 1( ( ) , , ( ) ) ( ( ) , , ( ) ) ( ( ) , , ( ) ) ( ( ) , , ( ) )m m m me g t g t e t e t e t e t g t g t L L L L = Tt t G（ 3） 其中：1( ( ) , , ( ) ) g t g t L， 21 1 2 122 1 2 222 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )t e t e t e t e te t e t e t e t e t e t e t e t e t L t 时点的 组合预测的优化模型的求解可以转化成如下数学规划问题： 211m i n. . ( ) 1( ) , , ( ) 0Tt t t E Gs t G J g tg t g t L（ 4） 上述 二次型 规划问题的 最优 解就是个单项预测方法在样本点 t 处 的最优权系数，进而建立组合预测优化模型。 7 2 预测时点组合预测权重的确定 组合变权预测模型在作预测时需要确定 在 预测时点 t 的组合权重 , 2 ,t N N L，下面介绍两种常用的方法。 移动平均法 11211( 1 ) ( ) , ( 2 ) ( ) ,i i g t g N g L （ 5） 显然需满足：1( ) 1m j 。这种方法适合于观测的样本量较少，或者各方法在时点序列上的权重无明显规律的情况。 回归法 利用回归法 拟合权系数函数，然后确定 各 预测 时 点的权重。一般步骤如下： 设由组合预测优化模型 确定第 i 种单项预测模型各样本时点的最优组合权系数 为 ： ( 1 ) , ( 2 ) , , ( )i i ig g g 以 ( 1 ) , ( 2 ) , , ( )i i ig g g 回归模型求权系数函数 () 当 t N j时，计算各单项预测方法的权系数的值 () j； 将 () j归一化，得出 t N j时各单项预测方法的权系数 1()()()ii j（ 6） 这种方法适合于观测样本量较多，且各单项预测方法在时点序列上的权系数具有一定规律性的情形。 （二） 单项预测 子模型 常用的人口预测模型很多， 世界上 比较著名的有 口预测模型、口预测模型、 型 ，根据我国实际情况由我国学者发明的主要有宋健的人口发展方程预测模型、蒋正华的 口预测模型、王广州的系统仿真结构功能模型、何景熙等人的等维灰数递补动态模型 。本文在综合考虑各种模型的 实用性基础上，结合武汉市人口发展趋势选取 时序 回归模型、 线增长模型、等维灰数递补动态模型、人口发展方程等作为单项预测子模型。 8 1 时序回归 预测 模型 一般的社会经济 现象的时间序列 是在其往期值的基础上发展而来，而且 往往与时间有关 ，因此对其预测可以采用 含有滞后期和时间项的时序回归方程。其模型一般形式为： 0 1nt i t i t y （ 7） 其中， t 为时间，其滞后 i 期的值。 2. 线增长模型 英国经济学家 据统计资料 , 在人口原理一书中提出了著名的口增长模型： 00()( ) |rN t N （ t) （ 8） 其中， ()示时刻 t 的人口数，0r 为人口净相对增长率。该模型认为人口在自然增长过程中 ，净相对增长率是常数，反映了人口的指数增长过程。但该模型存在严重的缺陷，在长期过程中会错误的认为人口将无限增长。 1838 年在 型的基础上提出的提出了 型。认为人口增长不能超出由自然资源和环境条件所决定的最大容量。并且，人口增长率随着总人口的增长而呈下降趋势。用 x 表示时间 t 时刻人口数量， r 表示人口自然增长率，假设总人口容量为 ()r x r ，且 r， s0，其中， r 为固有 增长率。设 t 时刻人口为 x(t) ，其中0(0)则有： x ( t + t ) - x ( t ) = r ( x ) x ( t ) t 令 得方程： 0 ) ( )0 )r x x 当，人口不再增长，即 ( ) 0又 ()r x r ，得： / ms r x ， 于是有： 9 ( ) (1 )x r x 最后求得 口模型： 0(1 )( 0 )md x t （ 9） 方程右端因子 示人口增长趋势， 因子 (1 )作为修正因子表示 资源环境等对人口增长的阻滞作用。对方程求解， 可得到 拟合 值或预测值为： - r 1 ( - 1 ) (10)3. 等维灰数递补动态模型 灰色系统理论于 1982 年由邓聚龙提出，它专门针对贫信息、小样本数据进行分析，对数据一般不需要假定分布，直接从数据中提取信息，并且计算量小。如果一个系统具有层次、结构关系的模糊性，动态变化的随机性，指标数 据的不完备或不确定性，那么 就 可以 称为 灰色系统。它含有已知的信息，又含有未知或非确知信息的系统，具有半开放半封闭性。若系统有 n 阶导数， m 个变量，则可用 n, m） 对描述对象做长期、连续、动态的反映。人口系统是一个典型的灰色系统，对于武汉市人口数据的小样本现状，用灰色模型 1,1） 做比较合适。 1,1） 模型进行预测过程如下： 建模求解 ： 设 (0)X 为非负时间序列： ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( ( 1 ) , ( 2 ) , ( ) ) , ( ) 0 , 1 , 2 ,X x x x n x k k n (1)X 为 (0)X 一阶累加生成的序列： ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 )1( (1 ) , ( 2 ) , ( ) ) , ( ) ( ) , 1 , 2 ,x x x n x k x i k n ； 令 (1)Z 为 (1)X 的紧邻均值生成序列，即： ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( ( 2 ) , ( 3 ) , , ( ) ) ;Z z z z n L 其中， ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( ) 0 . 5 ( ( ) ( 1 ) ) ( 2 , 3 , , )z k x k x k k n L。 于是定义 1,1） 的灰微分方程模型为： ( 0 ) ( 1 )( ) ( )x k a z k b 10 其中， (0)()a 为发展系统， (1)()b 为灰作用量。 令 ,u a b 为参数列，且 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 2 ) , ( 3 ) , ( ) Y x x x n L， ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 2 ) ( 3 ) ( )1 1 1z z z M（ 1,1） 可以表示成如下矩阵 形式： Y 由最小二乘法可以求得 u 的估计值为： 1()u B B B Y 上述模型相对应的白化微分方程为 (1 ) (1 )dx ax 求解微分方程得时间响应函数，即为预测模型 ： ( 1 ) ( 0 )( 1 ) ( 1 ) t x （ 11） 最后对 (1) ( 1)进行累减，即可还原拟合数据或预测数据。 模型精度检验：模型精度检验分为相对误差检验、关联度度检验和后验差检验。 i. 相对误差检验： 定义相对误差为： ( 0 )()( ) , 1 , 2 , , ;()kr k k L 其中， ( 0 ) ( 0 )( ) ( ) ( )k x k x k 为残差。 后验差检验： 后验差检验包 括残差的方差比 c 和小误差概率 p： 2 11, | ( ) | 0 . 6 7 4 5 sc p p k ； 其中，122 ( 0 ) 211 ( ) x k ， 22s 为绝对残差数据序列方差 222 11 ( ) 。 残差的方差比 c 越小越好 ,而 小误差概率 p 越大越好 。 按 c 和 p 两个指标综 11 合确定预测模型的精度 一般将模型的精度分为四级 （见表 . 表 型预测精度等级 模型精度等级 C p 一级（好） 级（合格） 级（勉强合格） 级（不合格） 等维灰数递补动态 预测模型 1,1） 模型 等维灰数递补动态预测模型将预测得到的一个数据补充到原数据序列 中 ， 同时去掉原数据的第一个数据 ,保持 数据维数不变 。 依次循环 类 推 ,直到得到预测值为止 。 设原始序列为 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( (1 ) , ( 2 ) , ( ) )X x x x n L,建立 ,1)模型 ,然后预测下一个数 ,将预测得到的数据 0(n+1)x 置入原数列 ,去掉老信息 (0)(1)x ,构成新数列( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( ( 2 ) , ( ) , )X x x n x 0 ( n + 1 ) 推 ,逐个预测 ,流程 见下图 （： 图 等维灰数递补动态预测流程图 原数据序列 建立 1,1）模型 预测下个数值 数据调整 是否继续 结束 加入新预测数据，去掉老信息 12 4 人口发展方程 号说明 t 年年末第 i 个年龄组人口总数（万）； t 年第 i 个年龄组的死亡率（ ）； t 年第 i 个年龄组的生育率（ ）； t 年迁移进来第 i 个年龄组的人口数； t 年第 i 个年龄组的女性人口占总人口的比率（）； t 年第 i 个年龄组的生育模式； t ：第 t 年每个育龄女性平均生育的婴儿数 ， 即总和生育率 ; 第 t 年出生的人口总数（万）； 12,女性的育龄区间， 一般为 1i 15， 2i 49； m：最大存活年龄，在本文中我们把 100 岁及以上都归为 100 以上这个特殊年龄段 ; i=100 。 (其他符号在具体建模过程中说明 ) 人口发展方程模型的建立 引起人口年龄结构变化的三大要素是出生、死亡、迁移，人口发展方程描述了人口年龄结构与出生率、死亡率和迁移人口数的关系 （图 ，从动力学的角度反映了人口发展的变迁过程，又考虑到现实中都是以 年为单位来统计人口数量，因此本文选择离散形式的人口发展模型来研 究 武汉 人口的增 长趋势。 图 人口系统的发展变迁过程 当社会经济条件变化不大时，各年龄组的死亡率比较稳定，相应活到下一年龄组的比例即存活率也基本稳定不变，因而可以根据现有的分年龄组存活率推算人口系统 新生 死亡 迁入 迁出 13 未来各相应年龄组的人数。根据年龄移算理论，可以从某一时点的某年龄组人数推算一年（或 n 年）后的年龄相应增长一岁（或 n 岁）的人口数，在这个基础上减去相应年龄的死亡人数 ，并考虑人口迁移，就可以得到未来某年龄组的实际人口数。对于 0 岁的新生人口，则要通过出生率（生育率）重新计算。 年龄移算具体过程如图 图 年龄移算具体过程 即，若某 t 年年末 i 岁人口数为 年（ t 1）年年末这些人长了一岁为（ i 1）岁，则（ t 1）年年末（ i 1）岁的人口数为 ： 1 1 * ( 1 1 ) 1i i i ix t x t d t g t ， 0 , 1, 2 1 , 0 , 1, 2i m t （ 12） 在第 t 年出生的人口为： 211 , 0 , 1 , 2i i i t b t k t x t t L， 令 00t 年的初生婴儿死亡率，有： 0 0 01x t d t p t 由以上易得， 211 0 0 01 1 1 1 1 1 1ii i t d t d t b t k t x t （ 13） 将 ( ) ( )t t h t T 年 T+1 年 0 岁 1 岁 R 岁 R+1 岁 100 岁 0 岁 1 岁 R 岁 R+1 岁 100 岁 新生 死亡 外部 0 岁迁入 死亡 外部 R 岁迁入 14 其中 () 211i ， 而 21b t 令 0 0 011i i ib t d t d t h t k t ，综上，式 （ 12） 可改写为 211 1 1 1t t b t x t (14) 根据以上推导 ，以一岁为一 个年龄段 的人口统计数据为观测值，将离散化人口发展方程用矩阵形式表示： 0 1 2, mX t x t x t x t x t 01, mG t g t g t g t 0110 0 0 01 0 0 00 1 0 011t d t 120 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0t b 那么有 ： 1 1 1 1 1X t H t X t t B t X t G t （ 15） 以上即人口发展模型的矩阵形式。 15 三 、 武汉人口老龄化趋势的 实证 研究 （一） 数据整理和描述性分析 从武汉市统计局获取武汉市历年人口数据，得到 20002010 年总的常住人口数据， 19802010 年户籍人口数据（见附表 1）， 20002010 年户籍人口分年龄段数据及 20062010 年户籍人口分年龄段死亡数据 （见附表 2） 。由于无法知道武汉市常住人口数据详细数据，所以不便应用一些统计方法分析常住人口老龄化的发展趋势，而户籍人口相对有比较多的数 据可用，故本文以武汉市户籍人口为例，预测分析武汉市人口老龄化趋势。先做描述性统计分析，从直观上了解武汉市户籍人口的发展状况。 5000000550000060000006500000700000075000008000000850000090000001980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010年份人口数图 武汉市 1980户籍人口时序图 从整体上看，武汉市户籍人口从 1980 年的 5672307 人，呈线性增长趋势，到 2010 年达到 8367323 人（图 年均增长 武汉市出生率 （图 1980间处于 15 左右波动；从 1991 年开始缓慢降低，到 2005 ，这可能是由 于严格的人口生育政策的有效实施，使得生育率下降造成的； 2006 年出生率出现反弹，开始缓慢上升，到 2010 年升到 ，这可能是由数量巨大的处于结婚生育年龄的 80 后造成的。死亡率在 19802003 年间从 16 缓慢震荡下降到 ， 2004 年突然反弹到 ，导致 户籍人口自然增长率为 ， 为 55 年来武汉市首次人口出生率低于死亡率。 19802010 年自然增长率整体上呈下降趋势，存在一些波动性。 武汉市1 9 8 0 - 2 0 1 0 年出生率、死亡率、自然增长率(亡率 自然增长率图 武汉市 1980出生率、死亡率、自然增长率时序图 由于