高考数学立体几何部分典型例题

一 一 1 某几何体的三视图如图 其中侧视图中的圆弧是半圆 则该几何体的表面积为 A 92 14 B 82 14 C 92 24 D 82 24 命题意图 考察空间几何体的三视图 三视图为载体考察面积 易错点 1 三视图很难还原成直观图 2 公式及数据计算错误 解析 由三视图可知 原几何体为一个长方体上面放着半个圆柱 其中长方体 的长宽高分别为 5 4 4 圆柱的底面半径为 2 高为 5 所以该几何体的表面积 为 S 5 4 2 4 4 2 5 4 22 2 5 2 92 14 1 2 答案 A 2 本小题满分 12 分 命题人 贺文宁 如图所示 平面 ABCD 平面 BCEF 且四边形 ABCD 为矩形 四边形 BCEF 为直角梯形 BF CE BC CE DC CE 4 BC BF 2 12 分 1 求证 AF 平面 CDE 2 求平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值 3 求直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值 命题意图 线面平行的位置关系 线面角 二面角的求法 易错点 1 直接建系 不去证明三条线两两垂直 2 数据解错 3 线面角 求成正弦值 1 证明 法一 取 CE 的中点为 G 连接 DG FG BF CG 且 BF CG 四边形 BFGC 为平行四边形 则 BC FG 且 BC FG 四边形 ABCD 为矩形 1 分 BC AD 且 BC AD FG AD 且 FG AD 四边形 AFGD 为平行四边形 则 AF DG DG 平面 CDE AF 平面 CDE AF 平面 CDE 3 分 2 解 四边形 ABCD 为矩形 BC CD 又 平面 ABCD 平面 BCEF 且平面 ABCD 平面 BCEF BC BC CE DC 平面 BCEF 4 分 以 C 为原点 CB 所在直线为 x 轴 CE 所在直线为 y 轴 CD 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 5 分 根据题意我们可得以下点的坐标 A 2 0 4 B 2 0 0 C 0 0 0 D 0 0 4 E 0 4 0 F 2 2 0 则 2 0 0 AD 0 4 4 DE 设平面 ADE 的一个法向量为 n1 x1 y1 z1 则Error Error Error Error 取 z1 1 得 n1 0 1 1 DC 平面 BCEF 7 分 平面 BCEF 的一个法向量为 0 0 4 CD 设平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的大小为 则 cos CD n1 CD n1 4 4 2 2 2 因此 平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值为 2 2 9 分 3 解 根据 2 知平面 ADE 的一个法向量为 n1 0 1 1 2 2 0 EF cos n1 10 分 EF EF n1 EF n1 2 2 2 2 1 2 设直线 EF 与平面 ADE 所成的角为 则 cos sin n1 EF 3 2 因此 直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值为 3 2 12 分 二 二 1 某几何体三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 8 2 B 8 C 8 D 8 2 4 命题意图 考察空间几何体的三视图 三视图为载体考察体积 易错点 1 三视图很难还原成直观图 2 公式及数据计算错误 解析 这是一个正方体切掉两个 圆柱后得到的几何体 且该几何体的高为 1 4 2 V 23 1 2 8 故选 B 1 2 答案 B 2 本小题满分 12 分 命题人 贺文宁 如图所示 四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形 MD 平面 ABCD NB 平面 ABCD 且 MD NB 1 E 为 BC 的中点 1 求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值 2 在线段 AN 上是否存在点 S 使得 ES 平面 AMN 若存在 求线段 AS 的长 若不存在 请说明理由 命题意图 异面直线所成角 利用空间向量解决探索性问题 易错点 1 异面直线所成角容易找错 2 异面直线所成角的范围搞不清 3 利用空间向量解决探索性问题 找不到突破口 解 1 如图以 D 为坐标原点 建立空间直角坐标系 D xyz 依题意得 D 0 0 0 A 1 0 0 M 0 0 1 C 0 1 0 B 1 1 0 N 1 1 1 E 1 0 1 分 1 2 所以 0 1 NE 1 2 1 0 1 2 分 AM 设直线 NE 与 AM 所成角为 则 cos cos N A 3 分 E M NE AM NE AM 1 2 5 2 2 5 分 10 10 所以异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值为 10 10 2 如图 假设在线段 AN 上存在点 S 使得 ES 平面 AMN 连接 AE 因为 0 1 1 可设 0 AN AS AN 又 1 0 EA 1 2 所以 1 7 分 ES EA AS 1 2 由 ES 平面 AMN 得Error Error 即Error Error 故 此时 0 10 分 1 2 AS 1 2 1 2 A S 2 2 经检验 当 AS 时 ES 平面 AMN 2 2 在线段 AN 上存在点 S 使得 ES 平面 AMN 此时 AS 12 分 2 2 三 三 1 一个多面体的三视图如图所示 则该多面体的体积为 A B C 6D 7 23 3 47 6 命题意图 考察空间几何体的三视图 三视图为载体考察体积 易错点 1 三视图很难还原成直观图 2 公式及数据计算错误 解析 如图 由三视图可知 该几何体是由棱长为 2 的正方体右后和左下分别截去一 个小三棱锥得到的 其体积为 V 2 2 2 2 1 1 1 1 3 1 2 23 3 答案 A 2 本小题满分 12 分 命题人 贺文宁 如图 矩形 ABCD 所在的平面和平面 ABEF 互相垂直 等腰梯形 ABEF 中 AB EF AB 2 AD AF 1 BAF 60 O P 分别为 AB CB 的中点 M 为底面 OBF 的重心 1 求证 平面 ADF 平面 CBF 2 求证 PM 平面 AFC 3 求多面体 CD AFEB 的体积 V 命题意图 面面垂直 线面平行的判定 空间几何体的体积 易错点 1 判定时条件罗列不到位失分 2 求体积时不会分割 1 证明 矩形 ABCD 所在的平面和平面 ABEF 互相垂直 且 CB AB CB 平面 ABEF 1 分 又 AF 平面 ABEF 所以 CB AF 又 AB 2 AF 1 BAF 60 由余弦定理知 BF 3 AF2 BF2 AB2 得 AF BF 2 分 BF CB B AF 平面 CFB 又 AF 平面 ADF 平面 ADF 平面 CBF 4 分 2 证明 连接 OM 延长交 BF 于 H 则 H 为 BF 的中点 又 P 为 CB 的中点 PH CF 又 CF 平面 AFC PH 平面 AFC PH 平面 AFC 6 分 连接 PO 则 PO AC 又 AC 平面 AFC PO 平面 AFC PO 平面 AFC PO PH P 平面 POH 平面 AFC 7 分 又 PM 平面 POH PM 平面 AFC 8 分 3 解 多面体 CD AFEB 的体积可分成三棱锥 C BEF 与四棱锥 F ABCD 的 体积之和 在等腰梯形 ABEF 中 计算得 EF 1 两底间的距离 EE1 3 2 所以 VC BEF S BEF CB 1 1 1 3 1 3 1 2 3 2 3 12 VF ABCD S矩形 ABCD EE1 2 1 10 分 1 3 1 3 3 2 3 3 所以 V VC BEF VF ABCD 12 分 5 3 12 四 四 1 一一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 命题意图 考察空间几何体的三视图 三视图为载体考察体积 解析 由题意可得 几何体相当于一个棱长为 2 的正方体切去一个角 角的相 邻三条棱长分别是 1 2 2 所以几何体的体积为 8 2 3 22 3 答案 22 3 2 本小题满分 12 分 命题人 贺文宁 在平行四边形 ABCD 中 AB 6 AD 10 BD 8 E 是线段 AD 的中点 如 图所示 沿直线 BD 将 BCD 翻折成 BC D 使得平面 BC D 平面 ABD 1 求证 C D 平面 ABD 2 求直线 BD 与平面 BEC 所成角的正弦值 命题意图 空间几何体的 翻折 问题 考察学生空间想象能力和知识迁移能 力 易错点 把平面图形转化为空间几何体 数据错误 垂直平行关系错误 1 证明 平行四边形 ABCD 中 AB 6 AD 10 BD 8 沿直线 BD 将 BCD 翻折成 BC D 可知 C D CD 6 BC BC 10 BD 8 2 分 即 BC 2 C D2 BD2 C D BD 又 平面 BC D 平面 ABD 平面 BC D 平面 ABD BD C D 平面 BC D C D 平面 ABD 4 分 2 解 由 1 知 C D 平面 ABD 且 CD BD 如图 以 D 为原点 建立空间直角坐标系 D xyz 则 D 0 0 0 A 8 6 0 B 8 0 0 C 0 0 6 6 分 E 是线段 AD 的中点 E 4 3 0 8 0 0