河南省中考数学专题复习专题八二次函数综合题训练

专题八专题八 二次函数综合题二次函数综合题 类型一 新定义问题 2017 2017 河南 如图 直线 y x c 与 x 轴交于点 A 3 0 与 y 轴交于点 B 抛物线 2 3 y x2 bx c 经过点 A B 4 3 1 求点 B 的坐标和抛物线的解析式 2 M m 0 为 x 轴上一动点 过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P N 点 M 在线段 OA 上运动 若以 B P N 为顶点的三角形与 APM 相似 求点 M 的坐标 点 M 在 x 轴上自由运动 若三个点 M P N 中恰有一点是其他两点所连线段的中点 三点重合除外 则称 M P N 三点为 共谐点 请直接写出使得 M P N 三点成为 共谐点 的 m 的值 例 1 题图 备 用图 分析 1 把 A 点坐标代入直线解析式可求得 c 则可求得 B 点坐标 由点 A B 的坐标 利用待定系 数法可求得抛物线解析式 2 由 M 点坐标可表示点 P N 的坐标 从而可表示出 MA MP PN PB 的长 分 NBP 90 和 BNP 90 两种情况 分别利用相似三角形的性质可得到关于 m 的方程 可求得 m 的值 用 m 可表示出点 M P N 的坐标 由题意可知有 P 为线段 MN 的中点 M 为线段 PN 的中点或 N 为线段 PM 的中点 可分别得到关于 m 的方程 即可求得 m 的值 自主解答 解 1 y x c 过点 A 3 0 与 y 轴交于点 B 2 3 0 2 c 解得 c 2 B 0 2 抛物线 y x2 bx c 经过点 A B 4 3 解得 12 3b c 0 c 2 b 10 3 c 2 抛物线的解析式为 y x2 x 2 4 3 10 3 2 由 1 可知直线的解析式为 y x 2 2 3 M m 0 为 x 轴上一动点 过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P N P m m 2 N m m2 m 2 2 3 4 3 10 3 PM m 2 AM 3 m PN m2 m 2 m 2 m2 4m 2 3 4 3 10 3 2 3 4 3 BPN 和 APM 相似 且 BPN APM BNP AMP 90 或 NBP AMP 90 当 BNP 90 时 则有 BN MN N 点的纵坐标为 2 m2 m 2 2 解得 m 0 舍去 或 m 2 5 4 3 10 3 M 2 5 0 当 NBP 90 时 过点 N 作 NC y 轴于点 C 例 1 题解图 则 NBC BNC 90 NC m BC m2 m 2 2 m2 m 4 3 10 3 4 3 10 3 NBP 90 NBC ABO 90 ABO BNC Rt NCB Rt BOA NC OB CB OA 解得 m 0 舍去 或 m m 2 4 3m2 10 3 m 3 11 8 M 0 11 8 综上可知 当以 B P N 为顶点的三角形与 APM 相似时 点 M 的坐标为 2 5 0 或 0 11 8 由 可知 M m 0 P m m 2 N m m2 m 2 2 3 4 3 10 3 M P N 三点为 共谐点 当 P 为线段 MN 的中点时 则有 2 m 2 m2 m 2 解得 m 3 三点重合 舍去 或 m 2 3 4 3 10 3 1 2 当 M 为线段 PN 的中点时 则有 m 2 m2 m 2 0 解得 m 3 舍去 或 m 1 2 3 4 3 10 3 当 N 为线段 PM 的中点时 则有 m 2 2 m2 m 2 解得 m 3 舍去 或 m 2 3 4 3 10 3 1 4 综上可知 当 M P N 三点成为 共谐点 时 m 的值为 或 1 或 1 2 1 4 1 1 2015 2015 河南 如图 边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上 以点 C 为顶点的抛物线经过点 A 点 P 是抛物线上点 A C 间的一个动点 含端点 过点 P 作 PF BC 于点 F 点 D E 的坐标分别为 0 6 4 0 连接 PD PE DE 1 请直接写出抛物线的解析式 2 小明探究点 P 的位置发现 当 P 与点 A 或点 C 重合时 PD 与 PF 的差为定值 进而猜想 对于任意一 点 P PD 与 PF 的差为定值 请你判断该猜想是否正确 并说明理由 3 小明进一步探究得出结论 若将 使 PDE 的面积为整数 的点 P 记作 好点 则存在多个 好点 且使 PDE 的周长最小的点 P 也是一个 好点 请直接写出所有 好点 的个数 并求出 PDE 周长 最小时 好点 的坐标 第 1 题图 备用图 2 2 2018 2018 崇仁一中二模 如图 若抛物线 L1的顶点 A 在抛物线 L2上 抛物线 L2的顶点 B 在抛物线 L1 上 点 A 与点 B 不重合 我们把这样的两抛物线 L1 L2称为 伴随抛物线 可见一条抛物线的 伴随 抛物线 可以有多条 1 抛物线 L1 y x2 4x 3 与抛物线 L2是 伴随抛物线 且抛物线 L2的顶点 B 的横坐标为 4 求 抛物线 L2的表达式 2 若抛物线 y a1 x m 2 n 的任意一条 伴随抛物线 的表达式为 y a2 x h 2 k 请写出 a1与 a2 的关系式 并说明理由 3 在图 中 已知抛物线 L1 y mx2 2mx 3m m 0 与 y 轴相交于点 C 它的一条 伴随抛物线 为 L2 抛物线 L2与 y 轴相交于点 D 若 CD 4m 求抛物线 L2的对称轴 图 图 3 3 2018 2018 郑州模拟 如图 已知点 C 0 3 抛物线的顶点为 A 2 0 与 y 轴交于点 B 0 1 点 P 是 抛物线上的一个动点 过点 P 作 PM x 轴于点 M 1 求抛物线的解析式 2 若点 F 在抛物线的对称轴上 且纵坐标为 1 连接 PF PC CF 求证 对于任意点 P PF 与 PM 的差 为常数 3 记 2 中的常数为 a 若将 使 PCF 面积为 2a 的点 P 记作 巧点 则存在多个 巧点 且使 PCF 的周长最小的点 P 也是一个 巧点 请直接写出所有 巧点 的个数 并求出 PCF 的周长最小时 巧点 的坐标 4 4 2017 2017 焦作一模 如图 直线 y x m 与 x 轴 y 轴分别交于点 A 和点 B 0 1 抛物线 3 4 y x2 bx c 经过点 B 点 C 的横坐标为 4 1 2 1 请直接写出抛物线的解析式 2 如图 点 D 在抛物线上 DE y 轴交直线 AB 于点 E 且四边形 DFEG 为矩形 设点 D 的横坐标为 x 0 x 4 矩形 DFEG 的周长为 l 求 l 与 x 的函数关系式以及 l 的最大值 3 将 AOB 绕平面内某点 M 旋转 90 或 180 得到 A1O1B1 点 A O B 的对应点分别是点 A1 O1 B1 若 A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上 那么我们就称这样的点为 落点 请直接写出 落点 的个数 和旋转 180 时点 A1的横坐标 图 图 类型二 线段 角度数量关系探究 2016 2016 河南 如图 直线 y x n 交 x 轴于点 A 交 y 轴于点 C 0 4 抛物线 4 3 y x2 bx c 经过点 A 交 y 轴于点 B 0 2 点 P 为抛物线上一个动点 过点 P 作 x 轴的垂线 PD 2 3 过点 B 作 BD PD 于点 D 连接 PB 设点 P 的横坐标为 m 1 求抛物线的解析式 2 当 BDP 为等腰直角三角形时 求线段 PD 的长 3 如图 将 BDP 绕点 B 逆时针旋转 得到 BD P 且旋转角 PBP OAC 当点 P 的对应点 P 落在坐标轴上时 请直接写出点 P 的坐标 图 图 例 2 题图 备用图 分析 先确定出点 A 的坐标 再用待定系数法求出抛物线的解析式 2 由 BDP 为等腰直角三角形 判断出 BD PD 建立 m 的方程计算出 m 从而求出 PD 3 分点 P 落在 x 轴和 y 轴两种情况计算即可 当点 P 落在 x 轴上时 过点 D 作 D N x 轴 垂足 为 N 交 BD 于点 M 先利用互余和旋转角相等得出 DBD ND P PBP 进而表示出 ND 的长 度 通过构造方程求解 的思路同 自主解答 解 1 点 C 0 4 在直线 y x n 上 4 3 n 4 y x 4 4 3 当 y 0 时 0 x 4 4 3 解得 x 3 A 3 0 抛物线 y x2 bx c 经过点 A 交 y 轴于点 B 0 2 2 3 6 3b c 0 c 2 解得 b 4 3 c 2 抛物线的解析式为 y x2 x 2 2 3 4 3 2 点 P 为抛物线上一个动点 且横坐标为 m P m m2 m 2 D m 2 2 3 4 3 BD m PD m2 m 2 2 m2 m 2 3 4 3 2 3 4 3 BDP 为等腰直角三角形 且 PD BD BD PD 当点 P 在直线 BD 上方时 PD m2 m 2 3 4 3 i 若点 P 在 y 轴左侧 则 m0 BD m m2 m m 2 3 4 3 解得 3 0 舍去 m4 7 2 当点 P 在直线 BD 下方时 m 0 BD m PD m2 m 2 3 4 3 m2 m m 解得5 0 舍去 m6 2 3 4 3 1 2 综上所述 m 或 即当 BDP 为等腰直角三角形时 PD 的长为 或 7 2 1 2 7 2 1 2 3 P1 P2 P3 5 45 4 35 45 4 3 25 8 11 32 提示 PBP OAC OA 3 OC 4 AC 5 sin PBP cos PBP 4 5 3 5 当点 P 落在 x 轴上时 过点 D 作 D N x 轴 垂足为点 N 交 BD 于点 M DBD ND P PBP 如解图 例 2 题解图 ND MD 2 即 m2 m m 2 3 5 2 3 4 3 4 5 m 舍去 或 m 55 如解图 例 2 题解图 ND MD 2 即 m2 m m 2 3 5 2 3 4 3 4 5 m 或 m 舍去 55 P 或 P 5 45 4 35 45 4 3 当点 P 落在 y 轴上时 如解图 过点 D 作 D M x 轴 交 BD 于点 M 过点 P 作 P N y 轴 交 MD 的延长线于点 N 例 2 题解图 DBD ND P PBP P N BM 即 m2 m m 4 5 2 3 4 3 3 5 m P 25 8 25 8 11 32 1 1 2014 2014 河南 如图 抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于点 A 1 0 B 5 0 两点 直线 y x 3 与 y 轴交于点 C 与 x 轴交于点 D 点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点 过点 P 作 PF x 轴于 3 4 点 F 交直线 CD 于点 E 设点 P 的横坐标为 m 1 求抛物线的解析式 2 若 PE 5EF 求 m 的值 3 若点 E 是点 E 关于直线 PC 的对称点 是否存在点 P 使点 E 落在 y 轴上 若存在 请直接写出相 应的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 2 2 2018 2018 洛阳一模 如图 在平面直角坐标系中 已知抛物线 y ax2 bx 2 a 0 与 x 轴交于 A 1 0 B 3 0 两点 与 y 轴交于点 C 其顶点为点 D 点 E 的坐标为 0 1 该抛物线与 BE 交于另一点 F 连接 BC 1 求该抛物线的解析式 2 一动点 M 从点 D 出发 以每秒 1 个单位的速度沿与 y 轴平行的方向向上运动 连接 OM BM 设运动时 间为 t 秒 t 0 在点 M 的运动过程中 当 t 为何值时 OMB 90 3 在 x 轴上方的抛物线上 是否存在点 P 使得 PBF 被 BA 平分 若存在 请直接写出点 P 的坐标 若 不存在 请说明理由 3 3 2018 2018 新野一模 已知抛物线 y ax2 bx 2 经过 A 1 0 B 2 0 C 三点 直线 y mx 交抛 1 2 物线于 A Q 两点 点 P 是抛物线上直线 AQ 上方的一个动点 作 PF x 轴 垂足为 F 交 AQ 于点 N 1 求抛物线的解析式 2 如图 当点 P 运动到什么位置时 线段 PN 2NF 求出此时点 P 的坐标 3 如图 线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E 垂足为 D 点 M 为抛物线的顶点 在直线 DE 上是否存 在一点 G 使 CMG 的周长最小 若存在 请求出点 G 的坐标 若不存在 请说明理由 图 图 4 4 如图 抛物线 y ax2 bx 3 a 0 与 x 轴交于点 A 1 0 B 3 0 与 y 轴交于点 C 连接 BC 1 求抛物线的表达式 2 抛物线上是否存在点 M 使得 MBC 的面积与 OBC 的面积相等 若存在 请直接写出点 M 的坐标 若 不存在 请说明理由 3 点 D 2 m 在第一象限的抛物线上 连接 BD 在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点 P 满足 PBC DBC 如果存在 请求出点 P 的坐标 如果不存在 请说明理由 第 4 题图 备用图 类型三 特殊图形判定问题 2018 2018 河南 如图 抛物线 y ax2 6x c 交 x 轴于 A B 两点 交 y 轴于点 C 直线 y x 5 经过 点 B C 1 求抛物线的解析式 2 过点 A 的直线交直线 BC 于点 M 当 AM BC 时 过抛物线上一动点 P 不与点 B C 重合 作直线 AM 的平行线交直线 BC 于点 Q 若以点 A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形 求点 P 的横坐标 连接 AC 当直线 AM 与直线 BC 的夹角等于 ACB 的 2 倍时 请直接写出点 M 的坐标 例 3 题图 备用图 分析 1 利用一次函数解析式确定 C 0 5 B 5 0 然后利用待定系数法求抛物线的解析式 2 先解方程 x2 6x 5 0 得 A 1 0 再判断 OCB 为等腰直角三角形得到 OBC OCB 45 则 AMB 为等腰直角三角形 所以 AM 2 接着根据平行四边形的性质得到 PQ AM 2 PQ BC 22 作 PD x 轴交直线 BC 于 D 如解图 利用 PDQ 45 得到 PD PQ 4 设 P m m2 6m 5 则 2 D m m 5 讨论 当 P 点在直线 BC 上方时 PD m2 6m 5 m 5 4 当 P 点在直线 BC 下方时 PD m 5 m2 6m 5 然后分别解方程即可得到 P 点的横坐标 作 AN BC 于 N NH x 轴于 H 作 AC 的垂直平分线交 BC 于 M1 交 AC 于 E 如解图 利用等腰三角 形的性质和三角形外角性质得到 AM1B 2 ACB 再确定 N 3 2 AC 的解析式为 y 5x 5 E 点坐标 为 利用两直线垂直的问题可设直线 EM1的解析式为 y x b 把 E 代入求出 b 得到 1 2 5 2 1 5 1 2 5 2 直线 EM1的解析式为 y x 则解方程组得 M1点的坐标 在直线 BC 上作点 M1关 1 5 12 5 y x 5 y 1 5x 12 5 于 N 点的对称点 M2 如解图 利用对称性得到 AM2C AM1B 2 ACB 设 M2 x x 5 根据中点坐 标公式得到 3 然后求出 x 即可得到点 M2的坐标 从而得到满足条件的点 M 的坐标 13 6 x 2 自主解答 解 1 当 x 0 时 y x 5 5 当 y x 5 0 时 x 5 B 5 0 C 0 5 将 B C 两点的坐标代入 y ax2 6x c 中 得解得 0 25a 30 c c 5 a 1 c 5 抛物线的解析式为 y x2 6x 5 2 解方程 x2 6x 5 0 得 x1 1 x2 5 则 A 1 0 B 5 0 C 0 5 OCB 为等腰直角三角形 OBC OCB 45 AM BC AMB 为等腰直角三角形 AM AB 4 2 2 2 2 22 以点 A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形 AM PQ PQ AM 2 PQ BC 2 作 PD x 轴交直线 BC 于 D 如解图 则 PDQ 45 PD PQ 4 设 P m m2 6m 5 则 D m m 5 2 当 P 点在直线 BC 上方时 PD m2 6m 5 m 5 m2 5m 4 解得 m1 1 m2 4 当 P 点在直线 BC 下方时 PD m 5 m2 6m 5 m2 5m 4 解得 m1 m2 5 41 2 5 41 2 综上所述 P 点的横坐标为 4 或或 5 41 2 5 41 2 作 AN BC 于 N NH x 轴于 H 作 AC 的垂直平分线交 BC 于 M1 交 AC 于 E 如解图 M1A M1C ACM1 CAM1 AM1B 2 ACB ANB 为等腰直角三角形 AH BH NH 2 N 3 2 易得 AC 的解析式为 y 5x 5 E 点坐标为 1 2 5 2 设直线 EM1的解析式为 y x b 1 5 把 E 代入 得 b 解得 b 1 2 5 2 1 10 5 2 12 5 直线 EM1的解析式为 y x 解方程组得 则 M1 1 5 5 12 y x 5 y 1 5x 12 5 x 13 6 y 17 6 13 6 17 6 作直线 BC 上作点 M1关于 N 点的对称点 M 如解图 则 AM2C 2 ACB 设 M2 x x 5 3 13 6 x 2 x 23 6 M2 23 6 7 6 图 图 例 3 题解图 1 1 2013 2013 河南 如图 抛物线 y x2 bx c 与直线 y x 2 交于 C D 两点 其中点 C 在 y 轴上 点 1 2 D 的坐标为 3 点 P 是 y 轴右侧的抛物线上一动点 过点 P 作 PE x 轴于点 E 交 CD 于点 F 7 2 1 求抛物线的解析式 2 若点 P 的横坐标为 m 当 m 为何值时 以 O C P F 为顶点的四边形是平行四边形 请说明理由 3 若存在点 P 使 PCF 45 请直接写出相应的点 P 的坐标 第 1 题图 备用图 2 2 2017 2017 河南名校模拟 如图 二次函数 y x2 bx c 的图象经过 A 1 0 和 B 3 0 两点 且交 y 轴于点 C M 为抛物线的顶点 1 求这个二次函数的表达式 2 若将该二次函数图象向上平移 m m 0 个单位 使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 BOC 的内 部 不包含边界 求 m 的取值范围 3 点 P 是抛物线上一动点 PQ BC 交 x 轴于点 Q 当以点 B C P Q 为顶点的四边形是平行四边形时 求点 P 的坐标 3 3 如图 在平面直角坐标系中 抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于 A 1 0 B 两点 其顶点为 1 4 直线 y x 2 与 x 轴交于点 D 与 y 轴交于点 C 点 P 是 x 轴下方的抛物线上一动点 过 P 点 作 PF x 轴于点 F 交直线 CD 于点 E 设点 P 的横坐标为 m 1 求抛物线的解析式 2 若 PE 3EF 求 m 的值 3 连接 PC 是否存在点 P 使 PCE 是以 PE 为底边的等腰三角形 若存在 请直接写出 m 的值 若不存 在 请说明理由 参考答案 类型一 针对训练 1 解 1 边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上 以点 C 为顶点的抛物线经过点 A C 0 8 A 8 0 设抛物线的解析式为 y ax2 c 则解得 c 8 64a c 0 a 1 8 c 8 故抛物线的解析式为 y x2 8 1 8 2 正确 理由 设 P a a2 8 则 F a 8 1 8 D 0 6 PD a2 2 a2 1 8a2 2 2 1 8a2 2 2 1 8 PF 8 a2 8 a2 1 8 1 8 PD PF 2 3 在点 P 运动时 DE 大小不变 则 PE 与 PD 的和最小时 PDE 的周长最小 PD PF 2 PD PF 2 PE PD PE PF 2 第 1 题解图 如解图 当 P E F 三点共线时 PE PF 最小 此时点 P E 的横坐标都为 4 将 x 4 代入 y x2 8 得 y 6 1 8 P 4 6 此时 PDE 的周长最小 且 PDE 的面积为 12 点 P 恰为 好点 PDE 的周长最小时 好点 的坐标为 4 6 由 2 得 P a a2 8 1 8 点 D E 的坐标分别为 0 6 4 0 第 1 题解图 如解图 当 4 a 0 时 S PDE S PEO S POD S DOE 4 a2 8 6 a 4 6 1 2 1 8 1 2 1 2 a2 3a 4 a b 2 13 1 4 1 4 4 S PDE 12 当 a 0 时 S PDE 4 第 1 题解图 如解图 过点 P 作 PN x 轴于点 N 当 8 a 4 时 S PDE S梯形 PNOD S PNE S DOE a2 8 6 a 4 6 a 4 a2 8 a2 3a 4 a b 2 13 1 8 1 2 1 2 1 8 1 2 1 4 1 4 12 S PDE 13 当 a 8 时 S PDE 12 PDE 的面积可以等于 4 到 13 的所有整数 在面积为 12 时 a 的值有两个 面积为整数时好点有 11 个 经过验证周长最小的好点包含这 11 个之内 好点 共有 11 个 综上所述 共有 11 个 好点 P 4 6 2 解 1 由 y x2 4x 3 可得点 A 的坐标为 2 1 将 x 4 代入 y x2 4x 3 得 y 3 B 点的坐标为 4 3 设抛物线 L2的解析式为 y a x 4 2 3 将 A 2 1 代入 得 1 a 2 4 2 3 解得 a 1 抛物线 L2的表达式为 y x 4 2 3 2 a1 a2 理由如下 抛物线 L1的顶点 A 在抛物线 L2上 抛物线 L2的顶点 B 在抛物线 L1上 可列方程组 n a2 m h 2 k k a1 h m 2 n 整理 得 a1 a2 m h 2 0 伴随抛物线 的顶点不重合 m h a1 a2 3 抛物线 L1 y mx2 2mx 3m 的顶点坐标为 1 4m 设抛物线 L2的顶点的横坐标为 h 则其纵坐标 为 mh2 2mh 3m 抛物线 L2的表达式为 y m x h 2 mh2 2mh 3m 化简 得 y mx2 2mhx 2mh 3m 点 D 的坐标为 0 2mh 3m 又 点 C 的坐标为 0 3m 2mh 3m 3m 4m 解得 h 2 抛物线 L2的对称轴为直线 x 2 3 1 解 设抛物线的解析式为 y a x 2 2 将点 B 的坐标代入得 4a 1 解得 a 1 4 抛物线的解析式为 y x 2 2 即 y x2 x 1 1 4 1 4 2 证明 设点 P 的坐标为 m m 2 2 1 4 PM m 2 2 M m 0 1 4 依据两点间的距离公式可知 PF m 2 2 1 4 m 2 2 1 2 m 2 2 1 16 m 2 4 1 2 m 2 2 1 1 16 m 2 4 1 2 m 2 2 1 1 4 m 2 2 1 2 m 2 2 1 1 4 PF PM 1 对于任意点 P PF 与 PM 的差为常数 3 解 设直线 CF 的解析式为 y kx 3 将点 F 的坐标代入 得 2k 3 1 解得 k 1 直线 CF 的解析式为 y x 3 由两点间的距离公式可知 CF 2 2 a 1 2a 2 设在 PCF 中 边 CF 的上的高线长为 x 则 2x 2 解得 x 1 222 如解图 过点 C 作 CG CF 取 CG 则点 G 的坐标为 1 2 2 第 3 题解图 过点 G 作 GH FC 设直线 GH 的解析式为 y x b 将点 G 的坐标代入 得 1 b 2 解得 b 1 直线 GH 的解析式为 y x 1 令 x 1 x 2 2 解得 x 0 1 4 PCF 的一个巧点的坐标为 0 1 显然 直线 GH 在 CF 的另一侧时 直线 GH 与抛物线有两个交点 F C 为定点 CF 的长度不变 当 PC PF 最小时 PCF 的周长最小 PF PM 1 PC PF PC PM 1 当 C P M 在一条直线上时 PCF 的周长最小 此时 P 0 1 综上所述 PCF 的巧点有 3 个 PCF 的周长最小时 巧点 的坐标为 0 1 4 解 1 直线 l y x m 经过点 B 0 1 3 4 m 1 直线 l 的解析式为 y x 1 3 4 直线 l y x 1 经过点 C 且点 C 的横坐标为 4 3 4 y 4 1 2 3 4 抛物线 y x2 bx c 经过点 C 4 2 和点 B 0 1 1 2 解得 1 2 42 4b c 2 c 1 b 5 4 c 1 抛物线的解析式为 y x2 x 1 1 2 5 4 2 令 y 0 则 x 1 0 解得 x 3 4 4 3 点 A 的坐标为 0 4 3 OA 4 3 在 Rt OAB 中 OB 1 AB OA2 OB2 4 3 2 12 5 3 DE y 轴 ABO DEF 在矩形 DFEG 中 EF DE cos DEF DE DE DF DE sin DEF DE DE OB AB 3 5 OA AB 4 5 l 2 DF EF 2 DE DE 4 5 3 5 14 5 点 D 的横坐标为 t 0 t 4 D t t2 t 1 E t t 1 1 2 5 4 3 4 DE t 1 t2 t 1 t2 2t 3 4 1 2 5 4 1 2 l t2 2t t2 t 14 5 1 2 7 5 28 5 l t 2 2 且 0 7 5 28 5 7 5 当 t 2 时 l 有最大值 28 5 3 落点 的个数为 4 如解图 解图 解图 解图 所示 图 图 图 图 第 4 题解图 如解图 设点 A1的横坐标为 m 则点 O1的横坐标为 m 4 3 m2 m 1 m 2 m 1 1 2 5 4 1 2 4 3 5 4 4 3 解得 m 7 12 如解图 设点 A1的横坐标为 m 则点 B1的横坐标为 m B1的纵坐标比点 A1的纵坐标大 1 4 3 m2 m 1 1 m 2 m 1 解得 m 1 2 5 4 1 2 4 3 5 4 4 3 4 3 旋转 180 时点 A1的横坐标为或 7 12 4 3 类型二 针对训练 1 解 1 将点 A B 的坐标代入抛物线解析式 得 解得 1 b c 0 25 5b c 0 b 4 c 5 抛物线的解析式为 y x2 4x 5 2 点 P 的横坐标为 m P m m2 4m 5 E m m 3 F m 0 3 4 PE yP yE m2 4m 5 m 3 m2 m 2 3 4 19 4 EF yE yF m 3 0 m 3 3 4 3 4 由题意 得 PE 5EF 即 m2 m 2 5 m 3 m 15 19 4 3 4 15 4 若 m2 m 2 m 15 整理 得 2m2 17m 26 0 19 4 15 4 解得 m 2 或 m 13 2 若 m2 m 2 m 15 整理 得 m2 m 17 0 19 4 15 4 解得 m 或 m 1 69 2 1 69 2 由题意 得 m 的取值范围为 1 m 5 故 m m 这两个解不符合题意 13 2 1 69 2 m 2 或 m 1 69 2 3 假设存在 作出示意图如解图 点 E E 关于直线 PC 对称 1 2 CE CE PE PE PE 平行于 y 轴 1 3 2 3 PE CE PE CE PE CE 即四边形 PECE 是菱形 当四边形 PECE 是菱形存在时 由直线 CD 的解析式 y x 3 可得 OD 4 OC 3 由勾股定理 得 CD 5 3 4 过点 E 作 EM x 轴 交 y 轴于点 M 易得 CEM CDO 即 解得 CE m ME OD CE CD m 4 CE 5 5 4 PE CE m 又由 2 可知 PE m2 m 2 5 4 19 4 m2 m 2 m 19 4 5 4 若 m2 m 2 m 整理 得 2m2 7m 4 0 解得 m 4 或 m 19 4 5 4 1 2 若 m2 m 2 m 整理 得 m2 6m 2 0 解得 m1 3 m2 3 19 4 5 41111 由题意 得 m 的取值范围为 1 m 5 故 m 3 这个解舍去 11 当四边形 PECE 是菱形这一条件不存在时 此时 P 点横坐标为 0 E C E 三点重合于 y 轴上 也符合题意 P 0 5 综上所述 存在满足条件的点 P 可求得点 P 的坐标为 0 5 或 或 或 4 5 或 1 2 11 4 3 2 3 1111 第 1 题解图 2 解 1 抛物线 y ax2 bx 2 a 0 与 x 轴交于 A 1 0 B 3 0 两点 解得 a b 2 0 9a 3b 2 0 a 2 3 b 8 3 抛物线的解析式为 y x2 x 2 2 3 8 3 2 如解图 由 1 知 y x2 x 2 x 2 2 2 3 8 3 2 3 2 3 D 为抛物线的顶点 D 2 2 3 一动点 M 从点 D 出发 以每秒 1 个单位的速度沿平行与 y 轴平行的方向向上运动 设 M 2 m m 2 3 OM2 m2 4 BM2 m2 1 OB2 9 OMB 90 OM2 BM2 OB2 m2 4 m2 1 9 解得 m 或 m 舍去 22 M 2 2 MD 2 2 3 t 2 2 3 图 图 第 2 题解图 3 存在点 P 使得 PBF 被 BA 平分 如解图 PBO EBO E 0 1 在 y 轴上取一点 N 0 1 B 3 0 直线 BN 的解析式为 y x 1 1 3 点 P 在抛物线 y x2 x 2 上 2 3 8 3 联立 得 y 1 3x 1 y 2 3x2 8 3x 2 解得 或 x 3 2 y 1 2 x 3 y 0 P 3 2 1 2 3 解 1 抛物线 y ax2 bx 2 经过 A 1 0 B 2 0 将点 A 和点 B 的坐标代入 得解得 a b 2 0 4a 2b 2 0 a 1 b 1 抛物线的解析式为 y x2 x 2 2 直线 y mx 交抛物线与 A Q 两点 把 A 1 0 代入解析式 得 m 1 2 1 2 直线 AQ 的解析式为 y x 1 2 1 2 设点 P 的横坐标为 n 则 P n n2 n 2 N n n F n 0 1 2 1 2 PN n2 n 2 n n2 n NF n 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 PN 2NF n2 n 2 n 解得 n 1 或 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 当 n 1 时 点 P 与点 A 重合 不符合题意舍去 点 P 的坐标为 1 2 9 4 3 y x2 x 2 x 2 1 2 9 4 M 1 2 9 4 如解图所示 连接 AM 交直线 DE 与点 G 连接 CG CM 此时 CMG 的周长最小 第 3 题解图 设直线 AM 的函数解析式为 y kx b 且过 A 1 0 M 1 2 9 4 根据题意 得解得 k b 0 1 2k b 9 4 k 3 2 b 3 2 直线 AM 的函数解析式为 y x 3 2 3 2 D 为 AC 的中点 D 1 1 2 设直线 AC 的解析式为 y kx 2 将点 A 的坐标代入 得 k 2 0 解得 k 2 直线 AC 的解析式为 y 2x 2 设直线 DE 的解析式为 y x c 将点 D 的坐标代入 得 c 1 解得 c 1 2 1 4 3 4 直线 DE 的解析式为 y x 1 2 3 4 将 y x 与 y x 联立 解得 x y 1 2 3 4 3 2 3 2 3 8 15 16 在直线 DE 上存在一点 G 使 CMG 的周长最小 此时 G 3 8 15 16 4 解 1 抛物线 y ax2 bx 3 a 0 与 x 轴交于点 A 1 0 B 3 0 a b 3 0 9a 3b 3 0 解得 a 1 b 2 抛物线的表达式为 y x2 2x 3 2 存在 抛物线的表达式为 y x2 2x 3 点 C 的坐标为 0 3 C 0 3 B 3 0 直线 BC 的解析式为 y x 3 过点 O 与 BC 平行的直线 y x 与抛物线的交点即为 M 解方程组 y x y x2 2x 3 可得或 x 3 21 2 y 3 21 2 x 3 21 2 y 3 21 2 M1 M2 3 21 2 3 21 2 3 21 2 3 21 2 第 4 题解图 3 存在 如解图 设 BP 交 y 轴于点 G 点 D 2 m 在第一象限的抛物线上 当 x 2 时 m 22 2 2 3 3 点 D 的坐标为 2 3 把 x 0 代入 y x2 2x 3 得 y 3 点 C 的坐标为 0 3 CD x 轴 CD 2 点 B 3 0 OB OC 3 OBC OCB 45 DCB OBC OCB 45 又 PBC DBC BC BC CGB CDB ASA CG CD 2 OG OC CG 1 点 G 的坐标为 0 1 设直线 BP 的解析式为 y kx 1 将 B 3 0 代入 得 3k 1 0 解得 k 1 3 直线 BP 的解析式为 y x 1 1 3 令 x 1 x2 2x 3 1 3 解得 x1 x2 3 2 3 点 P 是抛物线对称轴 x 1 左侧的一点 即 x 1 b 2a x 2 3 把 x 代入抛物线 y x2 2x 3 中 2 3 解得 y 11 9 当点 P 的坐标为 时 满足 PBC DBC 2 3 11 9 类型三 针对训练 1 解 1 在直线解析式 y x 2 中 令 x 0 得 y 2 1 2 C 0 2 点 C 0 2 D 3 在抛物线 y x2 bx c 上 7 2 c 2 9 3b c 7 2 解得 b 7 2 c 2 抛物线的解析式为 y x2 x 2 7 2 图 图 第 1 题解图 2 PF OC 且以 O C P F 为顶点的四边形是平行四边形 PF OC 2 将直线 y x 2 沿 y 轴上 下平移 2 个单位之后得到的直线 与抛物线 y 轴右侧的交点即为所求 1 2 由解图 可以直观地看出 这样的交点有 3 个 将直线 y x 2 沿 y 轴向上平移 2 个单位 得到直线 y x 4 1 2 1 2 联立解得 x1 1 x2 2 y 1 2x 4 y x2 7 2x 2 将直线 y x 2 沿 y 轴向下平行移 2 个单位 得到直线 y x 1 2 1 2 联立 y 1 2x y x2 7 2x 2