高中数学《函数模型及其应用》学案3 苏教版必修1

用心 爱心 专心1 函数模型及其应用 函数模型及其应用 1 1 本课重点本课重点 能根据实际问题建立适当的数学模型 重点掌握一次 二次 反比例以及 分段函数模型 体会数学建模的基本思想 预习导引预习导引 1 某 地 高 山 上 温 度 从 山 脚 起 每 升 高 100 米 降 低 0 7 已 知 山 顶 的 温 度是14 1 山 脚 的 温 度 是26 则 此 山 高 米 2 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为 200 万元 生产每台计算机的可变 成本为 3000 元 每台计算机的售价为 5000 元 则生产台计算机的总成本 C x 万元 单位成本 P 万元 销售收入 R 万元 利润 L 万元 若要创利不低于 100 万元 则至少应生产这 种计算机 台 3 某汽车运输公司购买了豪华型大客车投入客运 据市场分析 每辆客车的总利润 y 万元 与营运年数 x x 的函数关系式为 y x2 12x 25 则每辆客车营运 年使其营运 N 年平均利润最大 典例练讲典例练讲 例 1 某车站有快 慢两种车 始发站距终点站 7 2km 慢车到终点需要 16min 快车比 慢车晚发 3min 且行使 10min 后到达终点站 试分别写出两车所行路程关于慢车行使时间 的函数关系式 两车在何时相遇 相遇时距始发站多远 例 2 某地上年度电价为元 年用电量为 1 亿度 本年度计划将电价调至 0 55 0 750 8 元之间 经测算 若电价调至元 则本年度新增用电量亿度与 x 0 4 成反比例 xy 又当 x 0 65 元时 y 0 8 1 求 y 与 x 之间的函数关系式 2 若每度电的成本价为 0 3 元 则电价调至多少时 本年度电力部门的收益将比上 年度增加 20 收益 用电量 实际电价 成本价 例 3 在经济学中 函数的边际函数定义为 某公司 fx Mf x 1Mf xf xf x 每月最多生产 100 台报警系统装置 生产台的收入函数为x xN 2 300020R xxx 单位 元 其成本函数为 单位 元 利润是收入与成本之差 5004000C xx 用心 爱心 专心2 1 求利润函数及边际利润函数 P x MP x 2 利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值 P x MP x 例 4 经市场调查 某商品在过去 100 天内的销售和价格均为时间 t 天 的函数 且销售 量近似地满足 g t 前 40 天价格为 1001 3 100 3 1 Nttt 后 60 天价格为 试 401 22 4 1 Nttttf 10041 52 2 1 Nttttf 写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系 并求最大销售额 课后检测课后检测 1 李老师骑自行车上班 最初以某一速度匀速行进 中途由于自行车发生故障 停下修车 耽误了一段时间 为了按时到校 李老师加快了速度 仍保持匀速行进 结果准时到校 在课堂上 李老师请学生画出自行车行进路程 S km 与行驶时间 t h 的函数图象的示意 图 你认为正确的是 A B C D 用心 爱心 专心3 2 将进货单价为 80 元的商品 400 个 按 90 元每个售出能全部售出 未售出商品可以原价 退货 已知这种商品每个涨价一元 其销售量就减少 20 个 为了获得最大利润 售价应 定为 A 每个 110 元 B 每个 105 元 C 每个 100 元 D 每个 95 元 3 某城市出租汽车统一价格 凡上车起步价为 6 元 行程不超过 2km 者均按此价收费 行 程超过 2km 按 1 8 元 km 收费 另外 遇到塞车或等候时 汽车虽没有行驶 仍按 6 分钟 折算 1km 计算 陈先生坐了一趟这种出租车 车费 17 元 车上仪表显示等候时间为 11 分 30 秒 那么陈先生此趟行程介于 A 5 7km B 9 11km C 7 9km D 3 5km 4 假设某做广告的商品的销售收入 R 与广告费 A 之间的关系满足 为正常数 RaA a 那么广告效应为 则当广告费 A 时 取得最大广告效应 Da AA 5 某列火车从北京西站开往石家庄 全程 277km 火车 10 分钟行驶 13km 后 以 120km h 匀速行驶 试写出火车行驶路程 S km 与匀速行驶的时间 t h 之间的函数关系式 并 求出火车离开北京 2h 内行驶的路程 6 某商场在促销期间规定 商场内所有商品按标价的 80 出售 当顾客在商场内消费一定 金额后 按以下方案获得相应金额的奖券 消费金额 元 的范围 200 400 400 500 500 700 700 900 获得奖券的金额 元 3060100130 根据上述促销方法 顾客在该商场购物可以获得双重优惠 例如 购买标价为 400 元的商 品 则消费金额为 320 元 获得的优惠额为 400 0 2 30 110 元设购买商品得到的优惠率 试问 商品的标价 购买商品的优惠额 1 购买一件标价为 1000 元的商品 优惠率是多少 2 对于标价在 500 800 内的商品 顾客购买标价为多少元的商品 可得到不小于 的优惠率 1 3 7 电信局为了方便客户不同需要 设有两种优惠方案 这两种方案应付电话费 元 A B 与通话时间 分钟 之间的关系如图所示实线部分 注 图中 试问 MNCD 用心 爱心 专心4 1 若通话时间为 2 小时 按方案各付话费多少元 A B 2 方案从 500 分钟后 每分钟收费多少元 B 3 通话时间在什么范围内 方案才会比方案优惠 BA 函数模型及其应用 函数模型及其应用 2 2 本课重点本课重点 能根据实际问题建立适当的数学模型 重点掌握指 对数函数模型 体会 数学建模的基本思想 预习导引预习导引 1 已知某商品的价格为元 讲价 10 后 又降价 10 销售量猛增 商品决定提价 20 a 提价后这种商品的价格是 2 计算机成本不断降低 若每隔 3 年计算机价格降低 现在价格为 8100 元的计算机 3 1 9 年后的价格可降为 A 2400 元 B 900 元 C 300 元 D 3600 元 3 某企业生产总值的月平均增长率为 则年平均增长率为 p A B C D 11 1 p 12 1 p 12 1 1p 11 1 1p 4 某种细菌经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍 且知细菌的繁殖规律为 其中为常数 kt ye k 表示时间 表示细菌粒 则 经过 5 小时 一个细菌繁殖为 个 tyyk 典例练讲典例练讲 例 1 某商人购货 进价已按原价扣去 25 他希望对货物订一个新价 以a 便按新价让利 20 销售后仍可获得售价 25 的纯利 则此商人经营这种货 物的件数与按新价让利总额之间的函数关系是 xy 用心 爱心 专心5 例 2 某城市现有人口总数 100 万人 如果年自然增长率为 试解答下列问题 1 2 1 写出该城市人口总数 万人 与年份 年 的函数关系式 yx 2 计算 10 年后该城市人口总数 精确到万人 0 1 3 计算大约多少年后该城市人口将达到 120 万人 精确到 1 年 例 3 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述 设物体的初始温度是经过 0 T 一定时间 后的温度是 则 其中表示环境温度 称为半衰期 tT 0 1 2 t h TTTT T h 现有一杯用热水冲的速容咖啡 放在的房间中 如果咖啡降温到需要 0 88 C 0 24 C 0 40 C 那么降温到时 需要多长时间 20min 0 35 C 例4 某 公 司 准 备 投 入 资 金100万 元 进 行 新 产 品 开 发 和 生 产 公 司 策 划 部 门 提 出 两 种 方 案 供 公 司 决 策 层 选 择 方 案 一 年 利 率 为 10 按 单 利 计 算 5年 后 收 回 本 金 和 利 息 方 案 二 年 利 率 为 9 按 每 年 复 利 一 次 计 算 5 年 后 可 收 回 本 金 和 利 息 问 哪 一 种 投 资 方 案 更 有 利 即 最 终 获 得 的 利 润 大 这 种 投 资 方 案 比 另 一 种 投 资 方 案 在 5 年 后 可 多 获 利 多 少 元 结 果 精 确 到 0 01 万 元 用心 爱心 专心6 ox y ox y ox y ox y 11 课后检测课后检测 1 某城市地区的绿化面积平均每年 上一年增长 10 4 经过 x 年 绿化面积与原有的绿 化面积之比为 y 则函数 y f x 的图象大致形状为 2 某人 2004 年 7 月 1 日到银行存入一年期款 a 元 若年利率为 x 按复利计算 到 2007 年 7 月 1 日取回的款为 A 元 B 元 C 元 D 元 3 1 xa 4 1 xa 3 1 xaa 1 3 xa 3 某工厂产品前两年每年递增 20 经过引进先进的技术设备并实施科学管理 后两年 产品成本每年递减 20 那么该企业产品成本现在与原来比较 A 不增不减 B 约增 8 C 约减 5 D 约减 8 4 某 纯 净 水 制 造 厂 在 净 化 水 的 过 程 中 每 增 加 一 次 过 滤 可 以 减少 水 中 杂 质 20 要 使 水 中 杂 质 减 少 到 原 来 的 5 以 下 则 至 少 需 要 过 滤 的 次 数 为 参 考 数 据lg2 0 3 010 lg3 0 4771 A 5 B 10 C 14 D 15 5 职工收入有工资性收入和其他收入两部分构成 2003 年某地区职工均收入为 3150 元 其中工资性收入为 1800 元 其他收入为 1350 元 预计该地区自 2004 起的 5 年内 职工的工资性收入将以每年的增长率增长 其他收入每年增长 160 元 根据以上数6 据 2008 年该地区职工人均收入介于 A 4200 4400 元 B 4400 4600 元 C 4600 4800 元 D 4800 5000 元 6 一种产品的产量原来是 a 件 在今后的 m 年内 计划使年产量平均每年比上一年增加 p 则年产量 y 随经过的年数 x 变化的函数关系式 7 某工厂第一季度某产品月生产量分别为 1 万件 1 2 万件 1 3 万件 为了估城测以后 每个月的产量 以这三个月的产量为依据 用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份 x 的关系 模拟函数可以选用二次函数或函数 已知 4 月份 x yabc 其中a b c为常数 的产量为 1 36 万件 问 用以上哪个函数作为模拟函数较好 说明理由 用心 爱心 专心7 o y 10 15 y1 y2 选做题 心理学家研究发现 一般情况下 学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变 化 讲课开始时 学生的注意力逐步增强 中间有一段时间学生的注意力保持较为理想状 态 随后学生的注意力开始分散 经过实验分析可知 学生的注意力 y 随时间 t 的变化规 律有如下关系式 4520 3807 2010 240 100 10024 2 tt t ttt y 1 讲课开始后第 5 分钟时与讲课开始后第 25 分钟时比较 何时学生的注意力更集中 2 讲课开始后多少分钟 学生的注意力最集中 能持续多少分钟 3 一道数学综合题 需要讲解 24 分钟 为了效果较好 要求学生的注意力最低达到 180 那么经过安排 老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目 如果不能 讲解完 说明理由 如果能够讲解 说明老师应该在哪个时间段讲解 函数模型及其应用 函数模型及其应用 3 3 本课重点本课重点 能根据实际问题建立适当的数学模型 体会数学建模的基本思想 预习导引预习导引 1 某产品的总成本 M 万元 与产量 x 台 之间有函数关系式 如果每台产品售价 25 万元 那么不亏本 即销 2400 1 0203000 2 xxxM 售收入不少于总成本 时的最低产量 x 2 扇形的周长为 10cm 扇形的面积 S 是半径 R 的函数 则此函数的值域是 3 某地区植被被破坏 土地沙漠化越来越严重 最近三年测得沙漠增加值分别为 2 万公 顷 0 4 万公顷和 0 76 万公顷 则沙漠增加数公顷关于年数的函数关系可近似的认为yx 是 A B C D xy2 0 10 2x y 10 2 2 xx y xy 16 log2 0 4 行驶中的汽车由于惯性 刹车时要继续往前滑行一段距离 这段距离叫做刹车距离 在 某条道路上 一辆汽车的刹车距离 y m 与汽车的行驶速度 x km h 满足下列关系 用心 爱心 专心8 x 5 4070 ox y 4 1 2 现做了两次刹车实验 有关数据如图所示 其中Nn xnx y 400100 2 则 n 1513 7 5 21 yy 典例练讲典例练讲 例 1 某工厂 2000 年生产某种产品 2 万件 计划从 2001 年开始 每年的产量比上一年增长 20 求 从哪一年开始 该家工厂生产这种产品的年产量超过 12 万件 已知 lg2 0 3010 lg3 0 4771 例 2 某房地产公司在荒地 ABCDE 上划出一块长方形地建立一栋公寓 问如何设计才能 使公寓面积最大 并求出最大面积 尺寸如图 单位 cm 例 3 已知函数 f x 的图象如图所示 试写出三个可能的解析式 例 4 某公司为了实现 100 万元利润的目标 准备制定一个刺激销售的部门销售方案 在 销售利润达到 10 万元时 开始按销售利润进行奖励 且奖金 万元 随销售金y 额 万元 的增加而增加 但奖励总数不超过 5 万元 同时奖金不超过利润的x 100 80 70 60 A B C DE 用心 爱心 专心9 35 ox y Ox y 现有三个奖励模型 其中哪个模型25 7 0 25 log1 1 002xyx yxy 能符合公司要求 课后检测课后检测 1 某种商品 2001 年提价 25 2002 年要恢复原价 则应降价 A 30 B 25 C 20 D 15 2 下列函数的部分图象用来描述如图所示的曲线较合适的是 A B x y23 2 2 2 xy C D 2 2 5 0 2 xy2log2 xy 3 如图是某厂 8 年来某产品的产量 C 与时间 t 年 的函数关系 则下面四种说法正确的是 1 前三年中产量增长的速度越来越快 2 前三年中产量增长的速度越来