数学对话：走向智慧的世界

数学对话 走向智慧的世界数学对话 走向智慧的世界 江苏省海安县明道小学 王玉东 226600 摘要 数学对话 是优质教学的本质性标识 是师生走向智慧世界的路径 数学对话 包括教学主体同客体的对话 同他人的对话 同自我的对话 数学对 话 意味着四个走向 师本对话 从静态世界走向动态世界 师生对话 从成人 世界走向儿童世界 生生对话 从个体世界走向群体世界 自我对话 从感性世 界走向理性世界 关键词 数学对话 儿童立场 智慧世界 在传统的教学中 强调数学知识的绝对性 注重以知识 教师为中心 教师 是知识的权威 是知识的传授者 学生是被动的接受者 课堂上充斥着 传话 和 训话 教师像是始端发射器 而学生则像终端接收器 压迫者和被压迫者 的硝烟弥漫着课堂 沉闷 枯燥 僵化裹挟着课堂 对话 是对传统课堂的拨乱 反正 是对智慧课堂的理性诉求 克林伯格甚至认为 在所有的教学之中 进行着最广义的 对话 不 管哪一种教学方式占支配地位 这种相互作用的对话是优秀教学的一种本质性标 识 1 那么 什么是对话呢 我非常认同保罗 弗莱雷的论述 对话是人 与人之间的接触 以世界为中介 旨在命名世界 2 源于此 我认为数学对话 是师生基于关系价值和关系认知 整合反思与互动 在尊重差异的前提下合作创 造数学知识和生成意义的话语实践活动 数学对话意味着同客体的对话 同他人的对话 同自己的对话 在教学中 我基于这三个维度 进行了一些尝试 我认为 师本对话 要善于挖掘文本背后 的意义 从静态世界走向动态世界 师生对话 要以平等和尊重为前提 从成人 世界走向儿童世界 生生对话 要注意倾听 吸纳和包容 从个体世界走向群体 世界 自我对话 要学会批判性反思 从感性世界走向理性世界 师本对话 从静态世界走向动态世界师本对话 从静态世界走向动态世界 数学文本 是数学知识的物化形态 它往往通过符号 文字或图形的形式 加以呈现 尽管 它有相对的完整性 但基本上是某类知识的断章 静态的文 字 呈现的是一种冰冷的美丽 它掩盖了知识发生发展的脉络 学生很难透过 文字把握知识的体温和喘息 因此 教师的介入就显得尤为重要 教师要透过 文本深潜到历史深处 重复人类在知识发现中的关键步子 还原知识的本初的 状态 唯有此 文本中静态的结论才能解析成动态的过程 悬浮在半空的知识 才能落到地面接通地气 课堂才会充满智慧与张力 教师将静态文本化为动态 思维过程的方式有以下三种 溯源式解读溯源式解读 演绎主义风格使得数学教材遮上了一层神秘的面纱 隐藏了 数学家所做的努力 隐藏了数学家经历过的冒险 数学家的直觉 猜想 错误 都被抹去 碰到的困难都未公布 公布出来的都是精心演绎的最终结果 这样 的省略 往往让学生觉得数学生硬 冰冷 因此 教师要深入到文本背后寻找 知识的生成背景 探寻知识的来龙去脉 用字母表示数 是小学阶段的重要 内容 一直是学生学习的难点 翻开数学史 我们发现从算术到代数 数学家 经过了数千年的探索 从公元前 3800 年 埃及人用 堆 表示特定的数 到公 元前 4 世纪 丢番图用缩写的方法表示数和运算 再到公元 16 世纪 韦达有意 识 有系统地用字母表示数 如果没有这样的认识 教学便停留在 告诉 的 境地 而不能让学生经历从字母表示特定的数 到特定字母表示变化的数 最 终到任意字母表示任意数的过程 实现数学再创造 串联式解读串联式解读 教材中呈现的数学知识并不是孤立和僵化的 它往往是前面 所学知识的结果和后面所学知识的原因 任何将某一知识割裂开来进行教学 只能让学生产生 帽子里突然跑出一只兔子 的惊奇 而得到的只能是一知半 解和支离破碎 因此 教师要有整体的视野 将某一知识点置于知识体系之中 弄清其价值意义以及前后勾连 譬如在教学 体积单位 一课时 可以先出示 1 厘米长的线段 让学生感悟其长短 然后将 1 厘米长的线段 向右平移 1 厘 米 留下轨迹 形成 1 平方厘米的正方形 让学生感悟其大小 最后在 1 平方 厘米的正方形上逐层累加 形成棱长为 1 厘米的正方体 让学生感悟像这样的 正方体的体积是 1 立方厘米 如此教学 学生就能将长度单位 面积单位和体 积单位比较清晰地勾连起来 后续知识都能在前面的知识上生长起来 比对式解读比对式解读 自新课程标准颁布以来 各地出现了不少与之匹配的的教材 这些教材各成体系 既有共性特征 关注儿童认知规律 又有个性特征 富有 地域特色 教师在教学某一内容时 要善于将不同版本的教材进行比对 发现 同中的不同和不同中的同 在教学 三角形的内角和 一课时 可以将不同版 本的教材进行研究比较 在猜想引入阶段 各教材都有自己的招数 人教版 北师大版教材是让学生随便画几个三角形 然后量一量 算一算 看看三角形 的内角和是多少度 苏教版教材则先出示三角尺 让学生算一算三个内角的和 是多少 然后由此推及一般三角形 新思维数学教材则是通过移动 ABC 的顶 点 A 看看角 A B 和 C 的大小是怎样变化的 这三个角的和可能是多少 度 在探究验证阶段 教材编写者可谓 英雄所见略同 基本上都采用撕 折 拼的方式进行的 在比较中 教师对于某一知识点的认识不再固化 不再 唯一 而多了几份灵动和深刻 进而在教学策略的选择也显得丰富和多元 师生对话 从成人世界走向儿童世界师生对话 从成人世界走向儿童世界 如果说师本对话是启动智慧课堂的钥匙 那么师生对话则是智慧课堂提速 的油门 坦率地说 课堂中的意义生成离不开师生对话 教师 成熟的个体 学生 成长的个体 这两种个体有着不同的心理世界 一个是成人的世界 另 一个是儿童的世界 教师对于知识的理解应该是深刻的 通透的 儿童对于知 识的理解或许是肤浅的 模糊的 仅仅简单地将成人的世界强加于儿童的世界 我们所看到的只能是困惑和纷争 教师可以用成人的思维来理解知识 但是绝 不可以用成人的语言和方式来传授知识 因为 任何一种知识的生长 都离不 开儿童自己的经验 自己的世界 因此 师生对话必须基于儿童 经由儿童 为了儿童 对于师生对话 我们在素材选择 语言运用 课堂组织作了一些思 考 选择儿童化数学素材选择儿童化数学素材 教师必须尊重儿童的生活世界 尊重儿童的的思维 方式 决不可将自己的认识灌输给儿童 将自己的思维方式强加给儿童 素材 是师生对话的抓手 是成人世界与儿童世界的通道 贴近儿童生活 引发儿童 兴趣 促进儿童思考的素材才是好的数学素材 因此 教师要善于俯下身子 用儿童的视角观察世界 用儿童的心灵把握世界 教学 11 20 各数的认识 怎么让学生领会满十进一的原则和位值原则呢 有位教师采用了 小虎星星 榜 的素材 既有儿童味又有数学味 教师首先出示小虎看书得了 11 颗星 正 好是满满的一行 然后出示小虎写字得了 14 颗星 可是一行写不下 怎么办呢 学生在交流中发现可以将 10 颗小星星换成一个大星星 接着出示小虎锻炼得了 19 颗星星 让学生尝试表达 由此再追问做家务比 19 颗还多了 1 颗又该怎么 表示 学生此时用 2 颗大星星来表示 20 就显得水到渠成了 在这里 教师选用 了合适的教材 很好地体现了计数的原则 但不点破 可谓不着一字尽得风流 运用儿童化教学语言运用儿童化教学语言 成人有成人的话语体系 儿童有儿童的话语体系 我们经常听学生说 老师讲的话我们听不懂 这其实就是教师表达与儿童表达 之间的割裂和断层 杜威说 教师并不了解 他的头脑里装载着完整的意义 并提供给学生 而学生得到的却是孤立的残渣碎片 3 也许 教师的语言是 科学的 严谨的 但相对于儿童来说又是抽象的 无解的 有人说 与其让学 生清晰的不懂 还不如让学生模糊的懂 其实 也就是要求教师学会用简单的 浅显的 儿童化的语言对理性化的文本进行破译 实现对意义溪流的分享 不 少名师的课堂 师生之间能进行精彩的对话 基本上都源于对儿童的深刻了解 和洞察 华应龙老师在讲解 条形统计图 时 发现有的孩子将条形图画得东 倒西歪 他便幽默地说 哦 比萨斜塔 发现有的孩子将短短的条形图画 得溢出格子时 又很风趣地说 啊 个个都是武大郎 孩子们听了 在开 心一笑中便心领神会 采取儿童化组织形式采取儿童化组织形式 课堂的形式对于儿童来说也是非常重要的 教师不 能醉心于单一的教学形式 而要不断推陈出新 创造出新颖的课堂形式 让学 生对课堂充满向往 充满期待 这也就要求教师要深入到儿童中间 想儿童之 所想 玩儿童之所玩 乐儿童之所乐 在课堂中 教师要设计游戏 让学生在 愉悦的氛围中发展数学思维 教师要组织比赛 让学生在紧张刺激中形成数学 技能 教师要模拟情境 让学生在实践活动中学会数学运用 如在教学 一一 列举的策略 时 我创设了射飞镖的游戏 靶子上设计了 6 环 8 环和 10 环的 靶标 学生通过玩 领会了射中的和射了的含义 在此基础上教师再提问 喜 羊羊射中两次 可能得了多少环 美羊羊射了两环可能得了多少环 学生因为 有了玩的经验 形成先分类再列举的策略就显得十分顺畅 当然 我们不能因 为课堂组织形式的儿童化倾向 而忽略了数学学科的本质 生生对话 从个体世界走向群体世界生生对话 从个体世界走向群体世界 师生对话点燃了思维的引信 生生对话则实现了思维的爆炸 让课堂闪烁 着智慧的光芒 我们知道 个体世界往往比较单一 而群体世界则呈现出多元 个体的数学世界往往是零散的的 断裂的 而群体的数学世界往往是丰富的 深厚的 每一个个体只有与群体相遇 与群体对话 与群体意义共享 他的知 识才会找到源和流 才会壮大和宽广 生生对话 首先要学会倾听 它是对话 之基 其次要学会言说 这是对话之核 最后要学会争鸣 这是对话之翼 倾听 知识在对话中建构倾听 知识在对话中建构 对话离不开倾听 只有认真倾听才能进入他人 的意义世界 佐藤学认为 在 倾听 文化还不成熟的地方 再怎么强调对 话的重要性 大多人依然会保持沉默 4 事实上 儿童有很强的表现欲 而 对于他人的发言 往往漠不关心 因此 教师要引导学生学会倾听 在倾听中 推进对话 进而促进知识的建构 在 分数的复习 一课中 我们首先要求学 生汇报课前对这部分内容的梳理 学生有的用表格进行整理 有的用枝状图进 行整理 但大都不完善 如果仅仅停留于自己的整理 而不注意倾听他人的发 言 学生的水平只能在浅层次上徘徊 于是 我们引导学生在倾听中补充 逐 渐完善结构图 实现知识结构向认知结构的转变 引导学生在倾听中优化 逐 渐打通知识间的联系 最终得以把握知识发展的前后脉络 言说 理解在对话中深化言说 理解在对话中深化 课堂 出错的地方 这句话的隐喻是 课堂应 该是自由的 学生都能无所畏忌地表达自己的观点 苏霍姆林斯基曾说 儿 童就其天性来讲 是富有探索精神的探索者 是世界的发现者 5 自由和探 索是儿童的天性和本义 教育就应顺应这种天性 坚守这一本义 引导并促进 他们进一步去探索和发现 在教学 两位数乘两位数 时 有这样一道例题 订一份牛奶 一个月要 28 元 一年要花多少钱 我们首先让学生利用前面的知 识进行探究 然后进行交流 学生的方法很丰富 既有书本提供的方法 其一 28 6 168 168 2 336 其二 28 10 280 28 2 56 280 56 336 又有独 立思考得出的方法 其一 28 3 84 84 4 336 即先算出一个季度的钱 再 算出全年的钱 其二 30 12 360 2 12 24 360 24 336 即假设每份牛奶 每月 30 元 但每月多算了 2 元要减去 同学间的相互言说 丰富了每个个体的 世界 巧妙地进行了化归思想的渗透 争鸣 真理在对话中敞亮争鸣 真理在对话中敞亮 每个学生都是独立的学习个体 他们所拥有的 生活经验 知识经验 思维经验不尽相同 这使得学生间的争鸣变得不可避免 马克思说 真理是由争论确立的 在数学教学中有意识地引入争鸣 能引 发学生竞相迸发智慧的火花 使得模糊的知识变得明朗 使得困惑的思维变得 澄明 使得沉潜的思想得以浮现 譬如在教学 轴对称图形 一课时 我让学 生对平行四边形进行判断 学生就展开了激烈的争论 有同学认为平行四边形 是轴对称图形 理由有二 其一 可以将平行四边形沿对角线剪开 然后旋转 一下就可以重叠在一起 其二 可以将平行四边形先对折一次 再对折一次 也可以完全重合 显然这是错误的观点 我不加评述 而让学生之间进行争辩 在争辩中 学生错误论点的漏洞 暴露无余 因为 轴对称图形只可以对折 而不可以剪拼 对折一次后折痕两侧的图形必须完全重合 自我对话 从感性世界走向理性世界自我对话 从感性世界走向理性世界 师生 生生对话都是对话的外部形态 可以捉摸 而自我对话则是大脑内 部的静悄悄的问答 杜威认为 人最好的思维就是反省思维 自我对话 说到 底就是自我反省 人只有遵从自己心底的声音 才有可能使得知识真切的生长 起来 否则 只能着眼于模仿 机械记忆 很难获得属己的知识 反思的过程 就是一个释惑的过程 只有抽丝剥笋般的深刻追问 才能触及思维的核心 才 能使自己豁然开朗 反思的过程又是一个深化的过程 从模糊到清晰 从肤浅 到深刻 从零散到结构 学生由此获得的知识才富有生命力 这一过程 学生 的认识可以从感性走向理性 回顾 让知识形成联接回顾 让知识形成联接 回顾也就是回头看 其目的是为了更好地朝前走 回顾的过程其实就是一个知识梳理的过程 这一过程往往能使知识间形成紧密 的联系 发现其共有的数学思想 著名数学家华罗庚先生认为数学思维不总是 顺畅前进 而是走走停停 曲折前行 所以他提倡学生采用 薄 厚 薄 读书法 其中 薄变厚 意指学生用反思发现问题 厚变薄 意指学生用反 思解决问题 因而反思贯穿数学学习的始终 6 作为教师要引导学生在三个方 面进行回顾 第一是对知识结论的回顾 以便获得更为确定性的知识 第二是 对知识获得过程的回顾 积累数学学习方法的经验 第三是对问题解决的回顾 进而提升自己的解题能力 回顾还要抓住重要节点 首先是对当天的学习内容 的回顾 这可以促使学生用自己的语言 自己的方式来表达自己的理解 也利 于教师发现自己教学中的遗漏 其次是对一个单元学习内容的回顾 学生可以 把某一知识点作为核心内容 形成概念网络图 质疑 让思维走向理性质疑 让思维走向理性 质疑是学生进行自我对话的重要方面 学生只有 经常追问为什么 才有可能将问题的研究引向深入 才能触及数学的核心 一 个唯书唯上的学生 是不可能形成强大的思考力的 宋朝朱熹曾经说过 学 贵有疑 小疑则小进 大疑则大进 作为教师 首先要营造民主宽松的教学 氛围 鼓励学生质疑问难 其次要引导学生有理有据地求证 帮助学生释疑解 难 这样一来 学生可以通过对教师 对他人 对自己 对教材的质疑 冷静 地观照 审视数学知识 进而使得自己的思维走向理性 譬如 有位教师在讲 解了这样一题 一个信封长 20 厘米 宽 10 厘米 做这样一个信封至少需要 的纸 教师的答案是 200 平方厘米 一名学生便在自己的作业本上进行了质 疑 他认为信封是由两张纸粘贴而成的 应该是 400 平方厘米 他还将一个信 封裁开夹在作业本中 这样的质疑 对于学生而言 作用是巨大的 发现 让数学源于生活发现 让数学源于生活 史宁中教授认为演绎推理可以表现为一种知识 归纳推理可以表现为一种智慧 他说 智慧并不表现在经验的结果上 也不 表现在思考的结果上 而表现在经验的过程中 表现在思考的过程中 7 而 经验的过程 思考的过程 往往来自于实践 来自于数学与生活的联姻 生活 中从来都不缺少数学 缺少的是发现数学的眼睛 我一直提倡让学生写数学日 记 写日记