第4章+习题解答.doc

第四章 习题解答4-1设单位反馈控制系统的开环传递函数为试用解析法绘出增益从变化时的闭环根轨迹，并用根轨迹的相角条件加以验证。解：系统的闭环传递函数为特征方程的两个特征根为当从变化时，的变化情况如下图所示。从上图4.2看出，当从到变化时，闭环特征方程的根从开始、从开始往变化；当时，出现一对重根；当从到变化时，闭环特征方程的根为一对共轭复根，实部为，的虚部从零开始往正无穷大变化，的虚部从零开始往负无穷大变化。对于根轨迹上的检验点，有满足相角条件。同样对于根轨迹上的检验点、点，也进行检验，同样满足相角条件。4-2已知开环零极点分布如图4.42所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹。 图4.42 习题4-2图解：概略绘出相应的闭环根轨迹如下图所示。 4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数分别为（a）（b）（c）试概略绘出相应的从变化时的闭环根轨迹（要求确定分离点坐标）。解：（a）根轨迹共有3个分支，分别起始于开环极点，3个分支都终止于无穷远处。终止于无穷远处根轨迹的渐近线与实轴的夹角、与实轴的交点为由，分离点坐标满足解方程得到，不在根轨迹上，故得分离点坐标为。系统临界稳定时，时的闭环特征方程为得根轨迹与虚轴的交点为。用MATLAB绘制的根轨迹如下图所示。（b）根轨迹共有2个分支，分别起始于开环极点，1个分支终止于开环零点，另1个分支沿负实轴终止无穷远处。根轨迹的复平面部分是一个圆，圆心位于开环零点，圆的半径为由此得到实轴上的2个分离点坐标。 除外，根轨迹与虚轴无交点。用MATLAB绘制的根轨迹如下图所示。（c）根轨迹共有3个分支，分别起始于开环极点，1个分支终止于开环零点，另2个分支终止于无穷远处。终止于无穷远处根轨迹的渐近线与实轴的夹角、与实轴的交点为由，分离点坐标满足解方程得到，和不在根轨迹上，故得分离点坐标为。时系统总是稳定的，根轨迹与虚轴无交点。用MATLAB绘制的根轨迹如下图所示。4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数分别为（a）（b）（c）试概略绘出相应的从变化时的闭环根轨迹（要求算出起始角）。解：（a）系统的开环传递函数为实轴上的根轨迹区段为。起始于的根轨迹的起始角为。起始于的根轨迹的起始角为由对称性得系统闭环特征方程为因为，所以时系统总是稳定的，根轨迹没有与虚轴的交点。令得到它的解为，都不在根轨迹上，根轨迹没有分离点。 用MATLAB绘制的根轨迹如下图所示。（b）系统的开环传递函数为实轴上的根轨迹区段为。起始于的根轨迹的起始角为。起始于的根轨迹的起始角为由对称性得系统闭环特征方程为因为，所以时系统总是稳定的，根轨迹没有与虚轴的交点。令得到它的解为，都不在根轨迹上，根轨迹没有分离点。 用MATLAB绘制的根轨迹如下图所示。（c）系统的开环传递函数为实轴上的根轨迹区段为。起始于的根轨迹的起始角为，起始于根轨迹的起始角为，起始于的根轨迹的起始角为由对称性得系统闭环特征方程为系统稳定的条件为以及，得的取值范围为。将代入特征方程，得根轨迹与虚轴的交点为。令得到它的解为，在根轨迹上，是分离点。用MATLAB绘制的根轨迹如下图所示。4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为试确定闭环产生纯虚根的值和值。解: 系统的闭环特征方程为令，代入特征方程得令实部和虚部分别等于零有把代入得，。4-6已知系统的开环传递函数为试概略绘出闭环根轨迹，确定分离点坐标，与虚轴交点坐标及相应的值。解：开环两重极点，开环零点。实轴上的根轨迹区段为。渐近线与实轴的夹角和交点为实轴上的分离点坐标满足即得 (舍去)。与虚轴交点：闭环特征方程为把代入，令实部和虚部分别为零有得与虚轴交点坐标及相应的值为根轨迹起始于开环极点的起始角满足解出。用MATLAB绘制的根轨迹如下图所示。4-7反馈控制系统前向通道的传递函数为（a）设反馈通道的传递函数，概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性。（b）设反馈通道的传递函数，判断改变后系统的稳定性，研究由于改变所产生的影响。解：（a）系统有4个极点，没有零点。实轴上的根轨迹区段为。渐近线与实轴的夹角和交点为实轴上的分离点坐标满足即得， (舍去)。根轨迹如下图所示，无论取何值，始终存在右半平面根，闭环系统不稳定。（b）反馈通道的传递函数，此时系统的开环传递函数为与（a）比较，增加了开环零点。实轴上的根轨迹区段为, 。渐近线与实轴的夹角和交点为闭环特征方程为把代入，令实部和虚部分别为零有得与虚轴交点坐标及相应的值为即时闭环系统稳定。根轨迹如下图所示。4-8试绘出下列多项式的根轨迹。（a）（b）解：（a）等效的开环传递函数为实轴上的根轨迹区段为。3条根轨迹分别起始于开环极点，其中1条趋于开环零点，2条趋于无穷远处，趋于无穷远处根轨迹的渐近线与实轴的夹角和交点为闭环特征方程为系统稳定的条件为，即。将代入特征方程，得与虚轴交点坐标。根轨迹如下图所示。（b）等效的开环传递函数为实轴上的根轨迹区段为，。3条根轨迹分别起始于开环极点，其中1条趋于开环零点，2条趋于无穷远处，趋于无穷远处根轨迹的渐近线与实轴的夹角和交点为实轴上的分离点坐标满足即解得，(舍去)，(舍去)。闭环特征方程为系统稳定的条件为，即。将代入特征方程，得与虚轴交点坐标。根轨迹如下图所示。4-9将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函数。（a），以为可变参数。（b），分别以和为可变参数。（c），分别以、和为可变参数。解：（a）系统的特征方程为得适合于用根轨迹法进行分析的等价的开环传递函数为（b）系统的特征方程为以为可变参数时，等价的开环传递函数为以为可变参数时，等价的开环传递函数为（c）系统的特征方程为以为可变参数时，等价的开环传递函数为以为可变参数时，等价的开环传递函数为以为可变参数时，等价的开环传递函数为以为可变参数时，等价的开环传递函数为4-10设系统的开环传递函数为（a）绘出，从变化时系统的根轨迹。（b）在（a）的根轨迹上，求出闭环极点阻尼比时的值。（c）固定等于（b）中得到的数值，绘制从变化时的根轨迹。（d）从（c）的根轨迹中，求出闭环极点为临界阻尼时的值。解：（a）时，系统的开环传递函数为实轴上的根轨迹区段为，复平面上的根轨迹为圆心在原点，半径为的圆，根轨迹如下图所示。（b）时，系统的特征方程为令其中的系数得。（c）时，系统的特征方程以为可变参数等价开环传递函数为从变化时，实轴上的根轨迹区段为，从得实轴上分离点的坐标满足（舍去）。复平面上的根轨迹为过等价的开环极点和分离点的圆的一部分，根轨迹如下图所示。（d）根据根轨迹的模值条件，求出闭环极点为临界阻尼时的值为4-11系统如图4.43所示。（a）试绘制时的根轨迹。（b）试绘制，时，从变化时的根轨迹。（c）应用根轨迹的幅值条件，求（b）中闭环极点为临界阻尼时的值。图4.43 习题4-11图解：（a），系统的开环传递函数为实轴上的根轨迹区段为，2条根轨迹分别起始于开环极点，趋于无穷远处，趋于无穷远处根轨迹的渐近线与实轴的夹角和交点为实轴上的分离点坐标满足解得。根轨迹如下图所示。（b），时，系统的开环传递函数为系统的闭环特征方程为绘制根轨迹等价的开环传递函数为实轴上的根轨迹区段为，2条根轨迹分别起始于开环极点，1条趋于开环零点，1条趋沿负实轴方向趋于无穷远处。根轨迹的复平面部分为圆心在原点半径等于的圆。根轨迹如下图所示。（c）根据根轨迹的模值条件，求出（c）中闭环极点为临界阻尼时的值为4-12单位正反馈系统如图4.44所示。（a）试绘制从变化时系统的全根轨迹。（b）求使闭环系统阻尼比时的取值。图4.44 习题4-12图解：（a）等价为负反馈系统，等价后系统的开环传递函数为从变化，故应绘制零度根轨迹。于是，实轴上的根轨迹区段为，2条根轨迹分别起始于开环极点，1条趋于开环零点，1条趋沿正实轴方向趋于无穷远处。根轨迹的复平面部分为圆心在点半径等于的圆。根轨迹如下图所示。（b）在系统的闭环特征方程中令阻尼比，有得到即有解（舍去）。4-13单位反馈系统如图4.45所示。（a）设，绘制从变化时系统的根轨迹，确定系统临界阻尼时的取值，确定系统临界稳定时的取值。（b）设，绘制从变化时系统的根轨迹，确定系统闭环根的阻尼比时的取值。图4.45 习题4-13图解：（a）时，系统的开环传递函数为从变化，故应绘制零度根轨迹。于是，实轴上的根轨迹区段为，2条根轨迹分别起始于开环极点，1条趋于开环零点，1条趋沿正实轴方向趋于无穷远处。根轨迹的复平面部分为圆心在点半径等于的圆。根轨迹如下图所示。（b）时，系统的闭环特征方程为绘制根轨迹等价的开环传递函数为从变化，故应绘制一般根轨迹。实轴上的根轨迹区段为，2条根轨迹分别起始于开环极点，1条趋于开环零点，1条趋沿负实轴方向趋于无穷远处。根轨迹的复平面部分为圆心在原点半径等于的圆。根轨迹如下图所示。在特征方程中令阻尼比，有得。4-14设单位反馈系统的开环传递函数为（a）试绘制从变化时系统的根轨迹。（b）求系统临界稳定和临界阻尼时的取值。解：（a）系统的特征方程为绘制根轨迹等价的开环传递函数为从变化，故应绘制零度根轨迹。实轴上的根轨迹区段为，2条根轨迹分别起始于开环极点和无穷远处，终止于开环零点和。根轨迹的复平面部分为圆心在开环极，半径等于的圆。根轨迹如下图所示。（b）根据系统的特征方程，系统稳定的条件为，故得系统临界稳定时的。根据根轨迹圆的半径，得知左半复平面分离点的坐标为，根据根轨迹的模值条件有系统临界阻尼时的取值为4-15系统如图4.46所示。（a）试绘制从变化时闭环系统的根轨迹。（b）求的取值范围，使系统的阶跃响应无振荡。图4.46 习题4-15图解：（a）系统的特征方程为绘制根轨迹等价的开环传递函数为从变化，故应绘制一般根轨迹。实轴上的根轨迹区段为，2条根轨迹分别起始于开环极点处，1条终止于开环零点，1条终止于无穷远处。根轨迹的复平面部分为圆心在原点，半径等于的圆。根轨迹如下图所示。（b）实轴上分离点坐标，根据模值条件，分离点处的取值为使系统的阶跃响应无振荡的的取值范围为。4-16对于第二章例2.15的磁悬浮试验模型的例子，静态工作点附近被控对象的传递函数描述为（a）试确定反馈的极性和比例微分控制器的参数，使闭环极点的阻尼比，无阻尼自然振荡频率。（b）试绘制、两参数变化时系统的根轨迹族。解：（a）采用比例微分控制器时系统的闭环特征方程为其中正号对应正反馈，负号对应负反馈，为使系统稳定应采用正反馈。在特征方程中令得，。（b）采用正反馈，取不同值时，开环传递函数的零点的位置发生变化，绘制系统根轨迹的开环传递函数为对的情况，从变化时的根轨迹簇，其复平面上的部分为以为圆心，半径等于的圆，其实轴上的根轨迹区段为，。如下图所示。对情况，从变化时的根轨迹簇，只有实轴上的部分，实轴上的根轨迹区段为，。如下图所示。4-17设系统的开环传递函数为试分别画出正反馈系统和负反馈系统的根轨迹图，并指出它们的稳定情况有何不同？解：负反馈情况，绘制一般的根轨迹，实轴上的根轨迹区段为，4条根轨迹分别起始于开环极点，1条趋于开环零点，3条趋于无穷远处，趋于无穷远处根轨迹的渐近线与实轴的夹角和交点为系统的闭环特征方程为令代入特征方程，令实部和虚部分别为零得解得系统稳定的条件为。根轨迹如下图所示。正反馈情况，绘制零度根轨迹，实轴上的根轨迹区段为，4条根轨迹分别起始于开环极点，1条趋于开环零点，3条趋于无穷远处，趋于无穷远处根轨迹的渐近线与实轴的夹角和交点为无论取任何值，闭环系统总是不稳定的。根轨迹如下图所示。4-18已知某单位负反馈系统的开环传递函数为（a）试绘制系统的根轨迹。（b）求闭环系统出现重根时的取值。（c）求使得闭环系统稳定且工作在欠阻尼状态的的取值范围。解：（a）实轴上根轨迹区段为。3条根轨迹分别起始于开环极点，1条终止于开环零点，2条趋于无穷远处。趋于无穷远处根轨迹的渐近线与实轴的夹角和交点为实轴上的分离点坐标满足 即 得（舍去）。系统的特征方程为，根轨迹与虚轴的交点满足即分别令实部和虚部等于零有和，解得。根轨迹如下图所示。（b）根据模值条件根轨迹分离点处的根轨迹增益为（3）当时，闭环系统稳定且工作在欠阻尼状态。4-19设单位反馈系统的开环传递函数为（a）绘制从变化时闭环系统的根轨迹。（b）确定使闭环系统稳定的的取值范围。（c）为使闭环系统的调节时间秒（按误差计算），求的取值。解：（a）1、 有3条分支，分别起始于开环极点，终止于无穷远处。2、 实轴上的根轨迹区段为，。3、 渐近线与实轴交点为，夹角为。4、 由得分离点满足，解为，（舍去，因为它不在根轨迹上），对应得值为0.385。5、与虚轴的交点，将实虚部分开有 有解根轨迹图如下图所示。（b）时，闭环系统稳定。（c）按得主导极点的实部，系统的闭环特征方程为式中为系统的3个闭环特征根，设为闭环共轭主导极点，显然有这样得到。根据模值条件，时的根轨迹增益4-20设单位反馈系统的开环传递函数为式中，为变化参数。（a）试绘制参数变化时闭环系统的根轨迹图，给出系统为稳定时的取值范围。（b）求使成为一个闭环极点时的取值。（c）取（b）中给出的值时，求系统其余的两个闭环极点，并据此计算系统的调节时间（按误差计算）和超调量。解：（a）系统的特征方程为绘制根轨迹等效的开环传递函数为绘制根轨迹如下图。图中根轨迹与虚轴的交点可从系统为临界稳定的条件得到。时系统的特征方程为得与虚轴交点的坐标为。从根轨迹得到系统稳定的的取值范围为。（b）成为一个闭环极点时，从根轨迹的模值条件有得。（c）时，系统的另外两个闭环根从特征方程求出为，显然它是系统的主导极点。系统的调节时间和超调量分别为4-21某电梯的位置控制系统，要求在高速运行时仍能以高精度停靠在指定的楼层，其控制系统可以用单位反馈系统来表示，开环传递函数为试确定使闭环复数根的阻尼比时的取值。解：设系统的闭环特征方程为比较两边的系数有即式中。可以推得按照的要求，求得实根为，代入得4-22系统如图4.47所示。试绘制系统的根轨迹，并求当闭环共轭复数极点的阻尼比时的取值。图4.47 习题4-22图解：系统的开环传递函数为系统的闭环传递函数为根轨迹如下图所示，其中为闭环系统的一个特征根，与开环增益的大小无关。令即得。4-23某单位反馈系统的开环传递函数为绘制时闭环系统的根轨迹图，说明系统是条件稳定的，求能使系统稳定的的取值范围。4-2