吉林省东北师范大学附属中学高考数学第一轮复习 函数与定积分应用（3）学案 理.doc

导数与定积分（尖刀班）(3)【探究10】：不等式恒成立与存在性问题思路提示在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数（1）若函数在区间d上存在最小值和最大值，则不等式在区间d上恒成立；不等式在区间d上恒成立；不等式在区间d上恒成立；不等式在区间d上恒成立；（2）若函数在区间d上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间d上恒成立不等式在区间d上恒成立例14. 已知函数（1）求的最小值（2）对所有都有，求实数的取值范围分析 第（2）问可用分离变量的方法求解参数的取值范围解析 函数的定义域是，（1），令，解得，当时，当，时；故在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，函数取得最小值（2）依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立，即设则，令，得，当时，因为，故在上是增函数，所以在上的最小值是，故的取值范围是评注 对于恒成立问题，其根本思路是转化，而转化只有两种方法1，变量分离法，2，不分离参数法，本例第（）问运用分离变量的方法，使得构造中的函数不含有参数，避免了对参数的分类讨论，对于不等式验证区间端点成立的情形，一般采用不分离参数法（见本例的变式1），同学们应该视不同的情形使用不同的方法变式1 设函数（1）求的单调区间；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围变式2 （2012湖南22（1）已知函数，其中，若对一切恒成立，求的取值集合例15. 设函数（1）证明; 的导数；（2）若对所有，都有，求的取值范围解析 （1），由基本不等式得，故，当且仅当时（2）令，由当时，函数在上单调递增，则，满足题意当时，因为函数在上单调递增，令，得当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，因此，当时，不满足在，故不满足题意，舍去综上，的取值范围为评注 对于恒成立问题，其根本思想是 “转化”，而转化有两种方法：分离参数法和不分离参数法，对于不等式试验区间端点值成立的情形，一般采用不分离参数法，相比分离参数法操作上简单，可以视不同情形，选择不同的方法变式1 （2012天津20）已知的最小值为，其中（）求的值；（）若对任意的，均有成立，求实数的最小值变式已知函数（）讨论函数的单调性；（）当时，恒成立，求的取值范围思路提示（）若函数在区间上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间d上有解；不等式在区间d上有解；不等式在区间d上有解；不等式在区间d上有解；（）若函数在区间d上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间d上有解不等式在区间d上有解例16.已知函数（）若，求函数的极值；（）设函数，求函数的单调区间；（）若在上存在一点，使得成立，求的取值范围分析若在区间上存在一点，使得成立，转化为函数在区间上的最小值小于 解析（）当时，函数的定义域为，当时，单调递减；当时，单调递增，的极小值为（），导函数的零点为若，即，则上单调递增；若，即，则上单调递减，在上单调递增（）依题意，只需要，令，讨论的零点与区间的位置关系若时，即单调递增，得；若时，即，上单调递减，在上单调递增，故，令， ，因此，不符，故舍去若时，即，在上单调递减，则，得成立综上，的取值范围为变式（北京丰台期末理）设函数，在处取得极值（）求与满足的关系式；（）若，求函数的单调区间；（）若，函数，若存在，使得成立，求的取值范围思路提示（）对于任意的，总存在，使得；（）对于任意的，总存在，使得；（）若存在，对于任意的，使得；（）若存在，对于任意的，使得；（）对于任意的，使得；（）对于任意的，使得；（）若存在，总存在，使得（）若存在，总存在，使得例17.已知（）当时，讨论的单调性；（）设，当时，若对任意，存在，使求实数的取值范围分析对于任意的，存在，使得成立转化为解析（）函数的定义域为，当时，由，得，由，得当时，（）当时，得，函数在上单调递减（）当时，当变化时，变化情况如表所示表00极小值极大值函数的单调递减区间为和，单调递增区间为（）当时，函数在上单调递减，在上单调递增；综上，当时，函数在的单调递减区间为，递增区间为；当时，函数在，上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减（）依题意，当时，在上递减，在上递增，故当时，则，即（舍）当时，得即或（舍）当时，则，得综上，实数的取值范围是评注对于存在性与任意性的综合问题，不妨先定存在，如本例中对任意的，总存在，使，令，则，设，再分析存在，则，即最终转化为的问题变式已知函数（）求的