中考数学一轮复习 第27课 有关圆的计算导学案.doc

第27课 有关圆的计算【考点梳理】：1. 三角形：三角形中位线定理，三角形相似，三角形的内切圆与外切圆（1） 内切圆：三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心， 三角形内接圆圆心叫内心。圆心到三角形各个边的垂线段相等。内切圆半径是三角形三个角的角平分线的交点到三角边的距离。ps：在直角三角形的内切圆中1、r=(a+b-c)/2（注：r是rt内切圆的半径，a, b是rt的2个直角边，c是斜边）2、r=ab/ (a+b+c)（2） 外切圆：三角形的任意两边的垂直平分线的交点是外接圆圆心。 三角形外接圆圆心叫外心。圆心到三角形各个顶点的距离都相等。外接圆半径是三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离。2.与正多边形有关的概念：（1）正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。（2）正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。（3）正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。（4）正多边形的中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。（注：正n边形有n个中心角，这n个中心角相等且每个中心角为。）（5）圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角（6）圆的外切四边形的两组对边的和相等3.圆弧1、圆弧的弧长：l=2rn/360=rn/180(r=半径，n=圆弧的角度的绝对值）2、扇形的面积：s=1/2l*r(l=圆弧的弧长，r=圆弧所在圆的半径)3、圆周角定理：（1）同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。 （2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。 思考与收获 (3)如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这 个圆做多边形的外接圆。4、 圆周角性质(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(2)圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；(3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。知识点巩固：1. 圆周长公式： 2. n的圆心角所对的弧长公式： 3. 圆心角为n的扇形面积公式： 、 4. 圆锥的侧面展开图是 ；底面半径为，母线长为的圆锥的侧面积公式为： ；圆锥的表面积的计算方法是： 5.圆柱的侧面展开图是： ；底面半径为，高为的圆柱的侧面积公式是： ；圆柱的表面积的计算方法是： 【思想方法】方程思想，分类讨论【考点一】：正多边形和圆的有关计算【例题赏析】（2015辽宁铁岭）（第16题，3分）如图，点o是正五边形abcde的中心，则bao的度数为54考点：正多边形和圆.分析：连接ob，则ob=oa，得出bao=abo，再求出正五边形abcde的中心角aob的度数，由等腰三角形的性质和内角和定理即可得出结果思考与收获解答：解：连接ob，则ob=oa，bao=abo，点o是正五边形abcde的中心，aob=72，bao=（18072）=54；故答案为：54点评：本题考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质、正五边形中心角的求法；熟练掌握正五边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键【考点二】：弧长公式的应用【例题赏析】（2015福建第8题 4分）在半径为6的o中，60圆心角所对的弧长是（）ab2c4d6考点：弧长的计算.分析：根据弧长的计算公式l=计算即可解答：解：l=2故选：b点评：本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的计算公式：l=是解题的关键【考点三】：扇形面积公式的应用【例题赏析】（2015广东东莞9，3分）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框abcd变形为以a为圆心，ab为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形dab的面积为（）思考与收获 a 6 b 7 c 8 d 9考点： 扇形面积的计算分析： 由正方形的边长为3，可得弧bd的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：s扇形dab=，计算即可解答： 解：正方形的边长为3，弧bd的弧长=6，s扇形dab=63=9故选d点评： 此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式s扇形dab=【考点四】：圆锥的侧面积、全面积 【例题赏析】（2015，福建南平，10，4分）如图，从一块半径是1m的圆形铁皮（o）上剪出一个圆心角为60的扇形（点a，b，c在o上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（）a mb mc md 1m考点：圆锥的计算思考与收获分析：连接oa，作odab于点d，利用三角函数即可求得ad的长，则ab的长可以求得，然后利用弧长公式即可求得弧长，即底面圆的周长，再利用圆的周长公式即可求得半径解答：解：连接oa，作odab于点d在直角oad中，oa=1，oad=bac=30，则ad=oacos30=则ab=2ad=，则扇形的弧长是：=，设底面圆的半径是r，则2r=，解得：r=故答案是：点评：本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长【考点五】：与圆有关的阴影面积的计算【例题赏析】（2015内蒙古赤峰14，3分）如图，平行四边形abcd中，ab=ac=4，abac，o是对角线的交点，若o过a、c两点，则图中阴影部分的面积之和为4考点：扇形面积的计算；平行四边形的性质思考与收获分析：先根据aob=cod可知s阴影=saob，再由平行四边形的性质得出oa=ac，由三角形的面积公式即可得出结论解答：aob=cod，s阴影=saob四边形abcd是平行四边形，oa=ac=4=2abac，s阴影=saob=oaab=24=4故答案为：4点评：本题考查的是扇形面积的计算，熟知平行四边形的对角线互相平分是解答此题的关键【真题专练】1. （2015辽宁抚顺）（第15题，3分）如图，六边形abcdef为o的内接正六边形，若o的半径为2，则阴影部分的面积为 2. （2015福建第14题 4分）如图，正五边形abcde内接于o，则cad= 度思考与收获3. （2015黑龙江省大庆,第14题3分）边长为1的正三角形的内切圆半径为4（2015梧州,第12题3分）如图，在边长为6的正方形abcd中，e是ab的中点，以e为圆心，ed为半径作半圆，交a、b所在的直线于m、n两点，分别以直径md、nd为直径作半圆，则阴影部分面积为（） a 9 b 18 c 36 d 725. （2015辽宁省盘锦,第9题3分）如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（）m思考与收获a4b5cd26. （2015甘南州第9题 4分）用半径为12cm，圆心角为90的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 cm7. （2015青海，第7题2分）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留）8. （2015黑龙江省大庆,第18题3分）在rtabc中，c=90，ac=bc=1，将其放入平面直角坐标系，使a点与原点重合，ab在x轴上，abc沿x轴顺时针无滑动的滚动，点a再次落在x轴时停止滚动，则点a经过的路线与x轴围成图形的面积为 思考与收获9. （2015贵州省黔东南州,第21题12分）如图，已知pc平分mpn，点o是pc上任意一点，pm与o相切于点e，交pc于a、b两点（1）求证：pn与o相切；（2）如果mpc=30，pe=2，求劣弧的长10. （2015贵州省贵阳,第23题9分）如图，o是abc的外接圆，ab是o的直径，foab，垂足为点o，连接af并延长交o于点d，连接od交bc于点e，b=30，fo=2（1）求ac的长度；（2）求图中阴影部分的面积（计算结果保留根号）【真题演练参考答案】1. （2015辽宁抚顺）（第15题，3分）如图，六边形abcdef为o的内接正六边形，若o的半径为2，则阴影部分的面积为23考点：扇形面积的计算；正多边形和圆.分析：此题是考查圆与正多边形结合的基本运算，空白正六边形为六个边长为2的正三角形，利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边形的面积，阴影面积=（圆的面积正六边形的面积）解答：解：圆的半径为2，面积为12，空白正六边形为六个边长为2的正三角形，每个三角形面积为2sin60=3，正六边形面积为18，阴影面积为（1218）=2，故答案为：2点评：本题主要考查了正多边形和圆的面积公式，注意到阴影面积=（圆的面积正六边形的面积）是解答此题的关键2. （2015福建第14题 4分）如图，正五边形abcde内接于o，则cad=36度考点：圆周角定理；正多边形和圆.分析：圆内接正五边形abcde的顶点把圆五等分，即可求得五条弧的度数，根据圆周角的度数等于所对的弧的度数的一半即可求解解答：解：五边形abcde是正五边形，=72，adb=72=36故答案为36点评：本题考查了正多边形的计算，理解正五边形的顶点是圆的五等分点是关键3. （2015黑龙江省大庆,第14题3分）边长为1的正三角形的内切圆半径为考点： 三角形的内切圆与内心分析： 根据等边三角形的三线合一，可以构造一个由其内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成的30的直角三角形，利用锐角三角函数关系求出内切圆半径即可解答： 解：内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个30的直角三角形，则obd=30，bd=，tanbod=，内切圆半径od=故答案为：点评： 此题主要考查了三角形的内切圆，注意：根据等边三角形的三线合一，可以发现其内切圆的半径、外接圆的半径和半边正好组成了一个30的直角三角形4（2015梧州,第12题3分）如图，在边长为6的正方形abcd中，e是ab的中点，以e为圆心，ed为半径作半圆，交a、b所在的直线于m、n两点，分别以直径md、nd为直径作半圆，则阴影部分面积为（） a 9 b 18 c 36 d 72考点： 扇形面积的计算；勾股定理所有分析： 根据图形可知阴影部分的面积=两个小的半圆的面积+dmn的面积大半圆的面积，mn的半圆的直径，从而可知mdn=90，在rtmdn中，由勾股定理可知：mn2=md2+dn2，从而可得到两个小半圆的面积=大半圆的面积，故此阴影部分的面积=dmn的面积，在rtaod中，od=3，所以mn=6，然后利用三角形的面积公式求解即可解答： 解：根据图形可知阴影部分的面积=两个小的半圆的面积+dmn的面积大半圆的面积mn的半圆的直径，mdn=90在rtmdn中，mn2=md2+dn2，两个小半圆的面积=大半圆的面积阴影部分的面积=dmn的面积在rtaod中，od=3阴影部分的面积=dmn的面积=故选：b点评： 本题主要考查的是求不规则图形的面积，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解答此类问题的常用方法，发现阴影部分的面积=dmn的面积是解题的关键5. （2015辽宁省盘锦,第9题3分）如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（）ma4b5cd2考点：圆锥的计算分析：首先连接ao，求出ab的长度是多少；然后求出扇形的弧长为多少，进而求出扇形围成的圆锥的底面半径是多少；最后应用勾股定理，求出圆锥的高是多少即可解答：解：如图1，连接ao，ab=ac，点o是bc的中点，aobc，又bac=90，abo=ac0=45，ab=（m），=2（m），将剪下的扇形围成的圆锥的半径是：22=（m），圆锥的高是：=（m）故选：c点评：此题主要考查了圆锥的计算，要熟练掌握，解答此题的关键是求出扇形围成的圆锥的底面半径是多少（2015葫芦岛）（第7题，3分）如图，o是abc的外接圆，o的半径为3，a=45，则的长是（）abcd考点：弧长的计算；圆周角定理分析：根据圆周角得出圆心角为90，再利用弧长公式计算即可解答：解：因为o是abc的外接圆，o的半径为3，a=45，所以可得圆心角boc=90，所以的长=，故选b点评：此题考查弧长公式，关键是根据圆周角得出圆心角为906. （2015甘南州第9题 4分）用半径为12cm，圆心角为90的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为3cm考点：圆锥的计算.分析：根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解解答：解：圆锥的底面周长是：=6设圆锥底面圆的半径是r，则2r=6解得：r=3故答案是：3点评：本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长7. （2015青海，第7题2分）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留）考点：扇形面积的计算专题：压轴题分析：阴影部分可看成是圆心角为135，半径为1是扇形解答：解：根据图示知，1+2=1809045=45，abc+adc=180，图中阴影部分的圆心角的和是90+9012=135，阴影部分的面积应为：s=故答案是：点评：本题考查学生的观察能力及计算能力求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求8. （2015黑龙江省大庆,第18题3分）在rtabc中，c=90，ac=bc=1，将其放入平面直角坐标系，使a点与原点重合，ab在x轴上，abc沿x轴顺时针无滑动的滚动，点a再次落在x轴时停止滚动，则点a经过的路线与x轴围成图形的面积为+ 考点： 旋转的性质；扇形面积的计算专题： 规律型分析： 由勾股定理求出ab，由题意得出点a经过的路线与x轴围成的图形是一个圆心角为135，半径为的扇形，加上abc，再加上圆心角是90，半径是1的扇形；由扇形的面积和三角形的面积公式即可得出结果解答： 解：c=90，ac=bc=1，ab=；根据题意得：abc绕点b顺时针旋转135，bc落在x轴上；abc再绕点c顺时针旋转90，ac落在x轴上，停止滚动；点a的运动轨迹是：先绕点b旋转135，再绕点c旋转90；如图所示：点a经过的路线与x轴围成的图形是：一个圆心角为135，半径为的扇形，加上abc，再加上圆心角是90，半径是1的扇形；点a经过的路线与x轴围成图形的面积=+ 11+=+ ；故答案为：+ 点评： 本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算公式；根据题意得出点a经过的路线与x轴围成的图形由三部分组成是解决问题的关键9. （2015贵州省黔东南州,第21题12分）如图，已知pc平分mpn，点o是pc上任意一点，pm与o相切于点e，交pc于a、b两点（1）求证：pn与o相切；（2）如果mpc=30，pe=2，求劣弧的长考点：切线的判定与性质；弧长的计算专题：计算题分析：（1）连接oe，过o作ofpn，如图所示，利用aas得到三角形peo与三角形pfo全等，利用全等三角形对应边相等得到=oe，即可确定出pn与圆o相切；（2）在直角三角形poe中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出oe的长，eob度数，利用弧长公式即可求出劣弧的长