北京市第四中学高三数学总复习 导数函数的综合 知识讲解 新人教A版 .doc

高考冲刺：导数与函数的综合【高考展望】1.函数在一点处导数的几何意义、切线的斜率、方程等常作为基础考察；2.基本导数公式，两个函数和、差、积、商的求导法则要熟记并应用，5.理科试卷中往往考察复合函数的求导法则；6.函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，此为重点内容，也是重点考察的内容；7.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，函数的极大值、极小值、最大值、最小值是考查重点；8. 正确计算定积分，利用定积分求面积;9分类讨论的数学思想是本部分内容的重点考查内容，应熟练掌握这种数学思想。【知识升华】考点一、求切线方程的一般方法，可分两步：（1）求出函数在处的导数；（2）利用直线的点斜式得切线方程。要点诠释：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.【高清课堂：导数的应用（理）394572知识要点】 考点二、判定函数的单调性（1）函数的单调性与其导数的关系设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。要点诠释：在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：而f(x)在r上递增。学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。要关注导函数图象与原函数图象间关系。（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤(1) 确定函数f(x)的定义域；(2) 求导数；(3) 在定义域内解不等式；(4) 确定f(x)的单调区间。考点三、求函数的极值与最值（1）极值的概念一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，(1)如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的个极小值，记作y极小值=f(x0)。极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。要点诠释：在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。（2）求极值的步骤确定函数的定义域；求导数；求方程的根；检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法)考点四、求函数的最值函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间a,b上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。（1）最值与极值的区别与联系： 函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个； 极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。（2）在区间a，b上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤求函数y=f(x)在(a，b)内的导数求函数y=f(x)在(a，b)内的极值将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。考点四、定积分计算、微积分基本定理1.定积分的性质（1）（为常数），（2），（3）（其中），（4）利用函数的奇偶性求积分： 若函数在区间上是奇函数，则；若函数在区间上是偶函数，则.2.微积分基本定理：.【高清课堂：函数的概念、图象和性质 368992知识要点】【典型例题】类型一：导数的几何意义和物理意义举一反三：例1在曲线c：上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线c关于该点对称。【思路点拨】注意到p，q的任意性，由此断定曲线c关于点a成中心对称。【解析】（1） 当时，取得最小值-13 又当时， 斜率最小的切线对应的切点为a（2，-12）； （2）证明：设为曲线c上任意一点，则点p关于点a的对称点q的坐标为 且有 将代入的解析式得 ，点坐标为方程的解举一反三：【变式1】已知曲线，其中，且均为可导函数，求证：两曲线在公共点处相切。【证明】注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合， 设上述两曲线的公共点为，则有， ， ， 于是，对于有； 对于，有 由得， 由得 ，即两曲线在公共点处的切线斜率相等，两曲线在公共点处的切线重合，两曲线在公共点处相切。【变式2】求曲线的分别满足下列条件的切线： （1）在点的切线；（2）过点的切线；【解析】（1）时，在点的切线的切线的斜率，在点的切线为，即.（2）当切点为点时，切线为 当切点不是点时，设切点为，则， 解得或（舍去）切点为的切线为，即，故过点的切线为或.【变式3】运动曲线的方程为：，求t=3时的速度，加速度。【解析】运动曲线的速度为：t=3时的速度：运动曲线的加速度为： t=3时的加速度：类型二：函数的单调区间例2是否存在这样的k值，使函数在区间（1，2）上递减，在（2，）上递增，若存在，求出这样的k值； 【解析】 由题意，当时，当时， 由函数的连续性可知，即 整理得，解得或验证：（）当时， 若，则；若， 则， 符合题意；（）当时， ， 显然不合题意。综上可知，存在使在（1，2）上递减，在（2，）上递增。举一反三：【变式1】当x0时，证明不等式：【证明】设上单调减函数成立例3若恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间。【解析】若，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾；若，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾；若，则 并且当时，； 当时，综合可知，当时，恰有三个单调区间： 减区间；增区间举一反三：【变式1】设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。【解析】若恒成立，此时f(x)在r上为单调函数，只有一个单调区间为(-，+)，不合题意；若综上，a0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，所以f (x)在区间0，4上的值域是又在区间0，4上是增函数，且它在区间0，4上的值域是，由于，所以只需且，解得.故a的取值范围是（0，）。类型四：函数的最值【高清课堂：导数的应用（理）394572例2】例6已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对，都有，求的取值范围。【解析】(1) 的定义域为 显然，由得当时，在，上单调增，在上单调减当时，在，上单调减，在上单调增.(2)由（1）知，当时，在上单调减，上单调增， 且时，所以没有最大值.当时，在上单调增，上单调减， 解得综上，的取值范围举一反三：【变式1】设，函数的最大值为1，最小值为，求常数的值。【解析】， 令得解得 当在上变化时，与的变化情况如下表：-1(-1,0)01+00+极大值极小值当时，取得极大值；当时，取得极小值。由上述表格中展示的的单调性知最大值在与之中，的最小值在和之中，考察差式，即，故的最大值为由此得考察差式，即，的最小值为由此得，解得于是综合以上所述得到所求。例7已知的最大值为3，最小值为-29，求的值；【解析】这里，不然与题设矛盾令，解得或x=4（舍去）（）若，则当时，在内递增； 当时，在内递减又连续，故当时，取得最大值由已知得而此时的最小值为由得（）若，则运用类似的方法可得 当时有最小值，故有；又当时，有最大值，由已知得于是综合（）（）得所求或举一反三：【变式1】设函数f(x)=ax3+bx+c(a0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数的最小值为-12()求a,b,c的值；()求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在-1,3上的最大值和最小值。【解析】()f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x)即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c，c=0的最小值为-12，b=-12又直线x-6y-7=0的斜率为因此，a=2,a=2,b=-12,c=0()f(x)=2x3-12x，列表如下：x+0-0+极大极小所以函数f(x)的单调增区间是f(-1)=10， ， f(3)=18f(x)在-1,3上的最大值是f(3)=18，最小值是类型五：导数的实际应用例8如右图所示，在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成图形中有个内接矩形abcd，求这个矩形面积的最大值。【解析】设点b的坐标为(x,0)且0x2, f(x)=4x-x2图象的对称轴为x=2, 点c的坐标为(4-x,0), |bc|=4-2x, |ba|=f(x)=4x-x2. 矩形面积为y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3 y=16-24x+6x2=2(3x2-12x+8) 令y=0解得，0x2, 取 极值点只有一个，当时，矩形面积的最大值答：这个矩形面积的最大值为。举一反三：【变式1】一艘渔艇停泊在距岸9km处，今需派人送信给距渔艇km处的海岸渔站，如果送信人步行每小时5km，船速每小时4km，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？【解析】如图示设a点为渔艇处，bc为海岸线，c为渔站，且ab=9km, 设d为海岸线上一点，cd=x，只需将时间t表示为x的函数， ， 由a到c的时间t，则（0x15） （0x15）令t=0，解得x=3，在x=3附近，t由负到正，因此在x=3处取得最小值，又，比较可知t(3)最小。【变式2】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米.（i）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（ii）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【解析】（i）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗没（升）.答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（ii）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得令，得当时，是减函数；当时，是增函数.当时，取到极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.类型五：定积分计算、微积分基本定理例9.已知函数，计算.【思路点拨】分段函数的定积分也需要分段求.【解析】.【总结升华】当被积式为分段函数时，应分段积分；利用函数的奇偶性等。举一反三：【变式1】求定积分：【解析】是偶函数，.【变式2】求定积分：；【解析】 例10求直线与抛物线所围成的图形面积.【思路点拨】先画出符合题意的图形，由图形可以看出所求的面积一个梯形与曲边梯形之差，进而可以用定积分求解。为了确定定积分的上下限，要求出两条曲线的交点的横坐标。【解析】如图，由得，交点，所求面积：.【总结升华】求平面图形的面积体现了数形结合的思想，是解题的主要思路.求图形的面积的一般步骤是：（1）画出图形，并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形；（2）找出相关曲线的交点坐标，即解方程组