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此文档收集于网络,如有侵权,请联系网站删除如何构造自然界神奇的黄金分割?提到黄金分割 0.618,大家首先想到的必然是神秘的大自然以及那些伟大的艺术作品。其实,在数学内部,0.618 也无处不在。黄金分割常常意外地出现在一些极其简单的几何构造中,可谓是黄金分割之美的另一种视觉盛宴。在这里,我们有意略去证明过程,因为结论实在太优雅了,说得太多恐怕会破坏美感。感兴趣的读者不妨自己试着证明一下。五角星中的黄金分割点在正五角星中,每条线中间的点都是这条线段的黄金分割点。例如,上图中,点 B 就是线段 AC 的黄金分割点。三根木杆搭出黄金分割点在水平地面的 A 点处竖立一根木杆 AB。把一根相同长度的木杆 CD 斜靠在 AB 上,其中 D 点正好是 AB 的中点。再把一根相同长度的木杆 EF 斜靠在 CD 上,其中 F 点正好是 CD 的中点。则点 C 是线段 AE 的黄金分割点。用正多边形构造黄金分割点作等边三角形 ABC。以 BC 为边向外作正方形 BCDE。以 C 为圆心,CE 为半径画弧,与 AB 所在直线交于点 F。则 B 是线段 AF 的黄金分割点。3:4:5 直角三角形中的黄金分割点如果一个三角形的三边长分别为 3、4、5,由勾股定理,这个三角形是一个直角三角形。在所有边长均为整数的直角三角形中,这是最小的直角三角形。这一性质让它成为了最经典的直角三角形之一。想不到,利用这个经典的直角三角形,也能快速构造出黄金分割来。作一个 3:4:5 的直角三角形 ABC。作角 B 的角平分线,与 AC 交于点 D。以 D 为圆心, DA 为半径作圆,与角平分线分别交于 E、F。则 E 是线段 BF 的黄金分割点。等边三角形与外接圆构成的黄金分割点作等边三角形 ABC。D、E 分别是 AC、BC 的中点。DE 的延长线与整个三角形的外接圆交于点 F。则 E 是线段 DF 的黄金分割点。三个圆确定出来的黄金分割点以 AB 为半径,分别以 A、B 为圆心作圆。BA 的延长线与圆 A 交于点 C。以 C 为圆心,CB 为半径作圆。连接图中所示的 D、E 两点,它与 AB 交于点 F 。则 F 是 AB 的黄金分割点。三个相交等圆中的黄金分割点作等边三角形 ABC。以它的边长为半径,分别以 A、B、C 为顶点作三个等圆,其中 A、B 两圆交于点 D, A、C 两圆交于点 E。CD 与 C 交于点 F。以 E 为圆心,EF 为半径作弧,与 AB 交于点 G。则 G 是 AB 的黄金分割点。三个相切等圆中的黄金分割点三个等圆依次相切,它们又都紧紧地包含在一个半圆中。则半圆的半径与小圆的直径是黄金分割比,也就是说图中 B 是线段 AC 的黄金分割点。单规作出黄金分割点以 AB 为半径,分别以 A、B 为圆心作圆,两圆相交于 C、D 两点,同时这两个圆分别与直线 AB 交于 E、F 两点。分别以 A、B 为圆心,AE、BF 为半径作圆,两圆相交于点 G。由对称性,C、D、G 三点显然共线。则 D 是线段 CG 的黄金分割点。注意,即使没有 AB 这条线,我们也能通过作出以 C 为圆心 CD 为
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