1.2.1充要条件

第一章常用逻辑用语 1 2 2充要条件 问题提出 1 充分条件与必要条件的含义分别是什么 如果 则称p是q的充分条件 且q是p的必要条件 2 对于两个语句 p可能是q的充分条件 p也可能是q的必要条件 除此以外p与q之间的逻辑关系还有哪些可能 课题引入 探究 一 充要条件的含义 例1 下列各组语句中 p是q的什么条件 1 p a 0 b 0 q a b 0 2 p 四边形的四条边相等 q 四边形是正方形 3 p x 1 q 1 x 1 4 p a b q a2 b2 充分 必要 充要 既不充分也不必要 概念辨析 若 且 则p是q的充分不必要条件 若 且 则p是q的必要不充分条件 若 且 则p是q的充要条件 若 且 则p是q的既不充分也不必要条件 探究 二 充分 必要条件的分类 探究 三 判断充分条件 必要条件的方法 若 且 则p是q的充分不必要条件 若 且 则p是q的必要不充分条件 若 且 则p是q的充要条件 若 且 则p是q的既不充分也不必要条件 1 直接用定义判断 例2 下列各题中 那些p是q的充要条件 1 p b 0 q f x ax2 bx c是偶函数 2 p x 0 y 0 q xy 0 3 p a b q a c b c 4 p 两直线平行 q 两直线的斜率相等 充要条件 充分非必要条件 充要条件 既不充分也不必要条件 如何从原命题和逆命题的真假性理解上述四种关系 探究 三 判断充分条件 必要条件的方法 若 且 则p是q的充分不必要条件 若 且 则p是q的必要不充分条件 若 且 则p是q的充要条件 若 且 则p是q的既不充分也不必要条件 1 直接用定义判断 原命题为真逆命题为假 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 原命题为假逆命题为真 2 利用命题的四种形式进行判定 p是q的既不充分也不必要条件 p是q的充要条件 原命题 逆命题都为真 原命题 逆命题都为假 3 利用集合的关系判定 练习 1 已知p x 1 2 q x2 5x 6 则p是q的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件 B 4 利用双箭头的传递判定 或称图像法 4 2004 重庆 已知p是r的充分不必要条件 s是r的必要条件 q是s的必要条件 那么p是q成立的 充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 既非充分又非必要条件 5 已知p q都是r的必要条件 s是r的充分条件 q是s的充分条件 则 1 s是q的什么条件 2 r是q的什么条件 3 P是q的什么条件 充要条件 充要条件 必要不充分条件 6 若A是B的必要而不充分条件 C是B的充要条件 D是C的充分而不必要条件 那么D是A的 充分不必要条件 例4 已知 O的半径为r 圆心O到直线l的距离为d 求证 d r是直线l与 O相切的充要条件 分析 设 p d r q 直线L与 O相切 要证p是q的充要条件 只需分别证明充分性和必要性即可 解题回顾 充要条件的证明一般分两步 证充分性即证A B 证必要性即证B A一定要使题目与证明中的叙述一致 例5 证明 ax bx c 有两个实根的充要条件是b ac 结论q ax2 bx c 0有两个实根 条件p b ac 分析 证明 b ac 设方程ax2 bx c 0的根为 即方程ax2 bx c 0有两个实根 方程ax2 bx c 0有两个实根 b ac 故方程有两个实根的充要条件是b ac 练习2 证明 关于x的方程ax bx c 有一个实根为1的充要条件是a b c 0 条件p a b c 0 结论q 关于x的方程ax bx c 有一个实根为1 分析 关键是分清哪是条件 哪是结论 证明 若x 1是关于x的方程ax bx c 的根 则 思考题 已知p 2 x 10 q 若 p是 q的必要非充分条件 求实数m的取值范围 1 p是q的充分条件包括两种可能 即p是q的充分不必要条件或p是q的充要条件 同样 p是q的必要条件也包括两种可能 即p是q的必要不充分条件或p是q的充要条件 小结 2 关于充要条件命题的证明 一般分充分性和必要性两个方面进行 其中由条