全等三角形之截长补短法.doc

例题1如图所示，在RtABC中，C=90，BC=AC，AD平分BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD考点：全等三角形的判定与性质专题：证明题分析：利用已知条件，求得B=E，2=1，AD=AD，得出ABDAED（AAS），AE=ABAE=AC+CE=AC+CD，AB=AC+CD解答：证法一：如答图所示，延长AC，到E使CE=CD，连接DEACB=90，AC=BC，CE=CD，B=CAB=45，E=CDE=45，B=EAD平分BAC，1=2在ABD和AED中，B=E，2=1，AD=AD，ABDAED（AAS）AE=ABAE=AC+CE=AC+CD，AB=AC+CD证法二：如答图所示，在AB上截取AE=AC，连接DE，AD平分BAC，1=2在ACD和AED中，AC=AE，1=2，AD=AD，ACDAED（SAS）AED=C=90，CD=ED，又AC=BC，B=45EDB=B=45DE=BE，CD=BEAB=AE+BE，AB=AC+CD点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；通过SAS的条件证明三角形全等，利用三角形全等得出的结论来求得三角形各边之间的关系 例题2图，AD是ABC中BC边上的中线，求证：AD （AB+AC）考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系专题：计算题分析：可延长AD到E，使AD=DE，连BE，则ACDEBD得BE=AC，进而在ABE中利用三角形三边关系，证之解答：证明：如图延长AD至E，使AD=DE，连接BEBD=DC，AD=DE，ADC=EDBACDEBDAC=BE在ABE中，AEAB+BE，即2ADAB+ACAD （AB+AC）点评：本题主要考查全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题：证明题分析：（1）由已知AC=BC，ADC=CEB=90，利用互余关系可证DAC=ECB，可证ACDCBE，得AD=CE，CD=BE，故AD+BE=CE+CD=DE；（2）此时，仍有ACDCBE，AD=CE，CD=BE，利用线段的和差关系得DE=AD-BE解答：证明：（1）DAC+ACD=90，ACD+ECB=90，DAC=ECB，又AC=BC，ADC=CEB=90，ACDCBE，AD=CE，CD=BE，DE=CE+CD=AD+BE；（2）DE=BE-AD仿照（1）可证ACDCBE，AD=CE，CD=BE，DE=CD-CE=BE-AD点评：本题考查了用旋转法寻找证明三角形全等的条件，关键是利用全等三角形对应线段相等，将有关线段进如图，点P在AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若PEF的周长是20cm，则线段MN的长是 20cm考点：轴对称的性质分析：根据轴对称的性质可知：EP=EM，PF=FN，所以线段MN的长=PEF的周长解答：解：根据题意，EP=EM，PF=FN，MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=PEF的周长，MN=20cm点评：主要考查了轴对称的性质：对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等（1）如图所示，已知ABC中，ABC、ACB的平分线相交于点O试说明BOC=90+$frac12$A；（2）如图所示，在ABC中，BD、CD分别是ABC、ACB的外角平分线试说明D=90-$frac12$A；（3）如图所示，已知BD为ABC的角平分线，CD为ABC外角ACE的平分线，且与BD交于点D，试说明A=2D考点：三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理分析：（1）根据三角形角平分线的性质可得，BOC+OCB=90-$frac12$A，根据三角形内角和定理可得BOC=90+$frac12$A；（2）根据三角形外角平分线的性质可得BCD=$frac12$（A+ABC）、DBC=$frac12$（A+ACB）；根据三角形内角和定理可得BDC=90-$frac12$A；（3）根据BD为ABC的角平分线，CD为ABC外角ACE的平分线，可知，A=180-1-3，D=180-4=5=180-3-$frac12$（A+21），两式联立可得2D=A解答：解：（1）在ABC中，OB、OC分别是ABC、ACB的平分线，A为xBOC+OCB=$frac12$（180-A）=$frac12$（180-x）=90-$frac12$A故BOC=180-（90-$frac12$A）=90+$frac12$A；（2）BD、CD为ABC两外角DBC、BCE的平分线A为xBCD=$frac12$（A+ABC）、DBC=$frac12$（A+ACB）由三角形内角和定理得，BDC=180-BCD-DBC=180-$frac12$A+（A+ABC+ACB）=180-$frac12$（A+180）=90-$frac12$A；（3）如图：BD为ABC的角平分线，CD为ABC外角ACE的平分线1=2，5=$frac12$（A+21），3=4，在ABE中，A=180-1-3-在CDE中，D=180-4-5=180-3-$frac12$（A+21），即2D=360-23-A-2A-，把代入得2D=A点评：此类题目比较简单，考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题如图，直线a、b、c表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 4处考点：三角形的内切圆与内心；直线与圆的位置关系专题：应用题分析：依题意可作四个圆分别与三条直线相切，其中三个在三角形外部，一个在三角形内部，其圆心就是可供选择的地址解答：解：可作四个圆分别与三条直线相切，其中三个在三角形外部，一个在三角形内部故填4点评：本题涉及圆的相关知识，难度中等如图甲所示，在ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明考点：等腰三角形的性质；三角形的面积专题：证明题分析：猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF根据SPAB= ABPD，SPAC= ACPE，SCAB= ABCF，SPAC= ABPE， ABPD= ABCF+ ABPE，即可求证解答：猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF证明：连接AP，则SPAC+SCAB=SPAB，SPAB= ABPD，SPAC= ACPE，SCAB= ABCF，又AB=AC，SPAC= ABPE， ABPD= ABCF+ ABPE，即 AB（PE+CF）= ABPD，PD=PE+PF点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形的面积，难度适中，关键是先猜想出PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF再证明如图，ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，延长BC到E使CE=CD，试判断BDE的形状考点：等腰三角形的判定；等边三角形的性质分析：因为ABC是等边三角形，所以ABC=ACB=60，BD是AC边上的中线，则DBC=30，再由题中条件求出E=30，即可判断BDE的形状解答：证明：ABC是等边三角形ABC=ACB=60AD=CDDBC= ABC=30CE=CDCDE=EACB=CDE+EE=30DBE=EBD=DEBDE是等腰三角形点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质及等边三角形的性质；此题把等边三角形的性质和等腰三角形的判定结合求解考查了学生综合运用数学知识的能力，得到E=30是正确解答本题的关键（2007吉林）某家电商场经销A，B，C三种品牌的彩电，五月份共获利48 000元已知A种品牌彩电每台可获利100元，B种品牌彩电每台可获利144元，C种品牌彩电每台可获利360元请你根据相关信息，补全彩电销售台数的条形图和所获利润的百分数的扇形图考点：扇形统计图；条形统计图专题：图表型分析：根据获利总数与扇形图，可计算出B型彩电的获利，进而求出B型彩电的数目；接着可求出C型彩电的获利和台数；利用A、C型的获利和获利总数分别求出它们所获利润的百分数，进而补全彩电销售台数的条形图和所获利润的百分数的扇形图即可解答：解：根据题意可得：五月份共获利48000元，B种品牌彩电获利占30%，即获利4800030%=14400元，故B种品牌彩电的台数为14400144=100台，则C种品牌彩的台数为（48000-120100-14400）360=60台；据此可补全条形图（4分）五月份共卖出（120+100+60）=280台，其中A种品牌彩电120台，占获利的25%，B种品牌彩100台占获利的30%，C种品牌彩电60台，占获利的45%，据此可补全扇形图（6分）说明：条形图中每画对1个条形图得（2分）扇形图中每填对1个扇形得（1分）扇形图中若标成表示A，C计算的百分数正确，填图不正确，扣（1）如另画扇形图正确也得分点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，能直接反映部分占总体的百分比大小如图所示，已知EAAB于点A，CDDF于点D，ABCD，请判断EA与DF的位置关系，并说明理由考点：平行线的判定；垂线；平行线的性质专题：探究型分析：首先由ABCD，根据两直线平行，内错角相等，得到BAD=ADC，再根据垂直的定义得到EAB=CDF=90，则EAB+BAD=CDF+ADC，即EAD=ADF，满足关于EADF的条件：内错角相等，两直线平行解答：解：EADF理由如下：EAAB于点A，CDDF于点D（已知），EAB=90，CDF=90（垂直定义）ABCD（已知），BAD=ADC（两直线平行，内错角相等），EAB+BAD=CDF+ADC，即EAD=ADF，EADF（内错角相等，两直线平行）点评：本题考查了平行线的性质，垂直的定义以及平行线的判定定理（2002河南）如图，ABCD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分BEF，若1=72，则2= 54度考点：平行线的性质；角平分线的定义专题：计算题分析：两直线平行，同旁内角互补，可求出FEB，再根据角平分线的性质，可得到BEG，然后用两直线平行，内错角相等求出2解答：解：ABCD，BEF=180-1=180-72=108，2=BEG，又EG平分BEF，BEG= BEF= 108=54，故2=BEG=54点评：本题应用的知识点为：两直线平行，内错角相等；同旁内角互补（2006大连）在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，如果它是黑色棋子的概率是 （1）试写出y与x的函数关系式（2）若往盒中再放进10颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为 ，求x和y的值考点：概率公式；二元一次方程组的应用分析：（1）根据概率的求法：在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子，共x+y颗棋子，如果它是黑色棋子的概率是 ，有 成立化简可得y与x的函数关系式；（2）若往盒中再放进10颗黑色棋子，在盒中有10+x+y颗棋子，则取得黑色棋子的概率变为 ，结合（1）的条件，可得 ，解可得x=15，y=25解答：解：（1）根据题意得： ，（3分）整理，得8x=3x+3y，（4分）5x=3y， ；（5分）（2）解法一：根据题意，得 ，（7分）整理，得2x+20=x+y+10，y=x+10，（8分）5x=3（x+10），x=15，y=25解法二：（2）根据题意，可得 ，整理得 ，解得 （8分）点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= 如图，在等腰ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F（1）证明：CAE=CBF；（2）证明：AE=BF考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质专题：证明题分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得CH平分ACB，再证明ACE和BCF全等，然后根据全等三角形对应角相等和全等三角形对应边相等即可证明解答：（1）证明：在等腰ABC中，CH是底边上的高线，ACH=BCH，在ACE和BCF中， ，ACEBCF（SAS），CAE=CBF（全等三角形对应角相等）；（2）ACEBCF（SAS），AE=BF（全等三角形对应边相等）点评：本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形的性质及等腰三角形的性质；熟练掌握定理和性如图，在等腰ABC中，AB=AC，BAC=120，AD为BC边上的高，过点D作DEAB，交AC于点E，图中除ABC外，还有等腰三角形吗？若有，请指出，并说明理由考点：等腰三角形的判定；等边三角形的判定专题：开放型分析：简单的等腰三角形的判定问题，利用平行以及角之间的关系进行判断解答：解：ADE是等边三角形；DEC为等腰三角形理由：因为AB=AC，BAC=120，所以B=C=30因为DEAB，所以EDC=B=30所以DEC为等腰三角形因为ADBC，所以DAE= BAC= 120=60因为ADC=90，所以ADE=60所以A