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第四章 Volterra模型 在本章中,我们首先回顾最常用的非线性建模方法.第4.1.2节讨论多项式Volterra模型建模方法的特性,第4.2节详细解说记录下来的完全电非线性和电热非线性,以及建模非线性级数展开中所用的项.4.3节描述了如何应用Volterra分析方法计算一个普通发射放大器的失真,并且作为第一个研究案例,第4.4介绍了在一个BJT CE放大器中,影响IM3失真的所有项的分析.同样的分析(对一个MESFET放大器)在第4.5节中介绍.4.1非线性建模为了能够分析功放的非线性行为,我们需要为实际的非线性电路,无源匹配以及偏置元件建立精确的模型.但此模型的获取又有一定难度.众所周知,N阶失真的数量与I-V和Q-V波形的N阶导数成比例(参照1-3).因此,为了达到精确的失真模拟,对有源元件的I-V和 Q-V波必须建模,因此不仅是直流值,高阶导数同样是正确且连续的.(为了便于参考,在早期的仿真模型中,第一阶导数可以不连续).此外,电容是很容易建模的,因此电荷没有存储,这将导致完全容性结点的非物理整流和自偏压.因此,特别是如果电容值同时取决于两个终端电压,将电容模拟等效于电荷平衡是十分重要的5. 由于无源元件在高频具有分布特性,很难在射频频率上对其建模.有损耗的传输线难以在时域上进行建模,一般而言,无源元件的建模在频域上更加精确.尽管如此,有些无源元件的频域仿真模型在高次谐波时也可能是不准确的,例如传输线宽上的阶跃变化,在电路分析中,可以采用测试电路的标准终端阻抗值来进行分析. 简而言之,为了得到精确的失真模拟,从模拟模型中需要:1. 对N阶失真模拟来说, I-V 和Q-V波形的N阶导数必须足够精确.2. 结点阻抗的频率响应对于最高相关谐波,必须是正确的.同时,在基带频率,偏置阻抗和热阻抗的正确模型也是十分需要的.3. 如果可以得到主要失真源的组成信息,将十分有用.4.1.1非线性仿真模型 通常来说,功放和发射机设计师使用两种非线性模型:一种是用于系统仿真的行为黑盒子模型,另一种是用于电路仿真的器件模型.根据建模方法的不同,可以对这两类模型进行更深层分割:可以是解析的,基于一些预先确定的和物理学的用参数表示的模型函数，或者完全根据实验的,将测量数据列表并以内插值替换的,或者用简单的曲线或物理意义不清楚的多项式表示的模型.在表4.1中有所介绍.表4.1 功率放大器的非线性模型行为的器件模型解析的(基于物理学)SalehBlum-JeruchimMextramVBIC95MET实验的(基于测量)幅幅调制和幅频调制VIOMAPVolterra基于列表的模型Volterra 行为基带模型广泛用于模拟和优化整个发射机和收发器,并且增加了新的功能,例如模拟记忆效应,在6中介绍.然而,行为模型描述的或者是一个已经存在的放大器,或者行为模型源自到目前为止不存在的放大器规范说明,但是在设计一个新的功率放大器中,行为模型的使用遭到限制. 这里简明地介绍了最常用的行为模型的特性,仅用于参考.简单的静态的AM-AM 和 AM-PM波形不能够模拟记忆效应,但是基于调制频率的AM-AM和AM-PM波形的模型已经被开发出来.如图4.1所示,在Saleh模型中, AM-AM和AM-PM非线性模块的输入和输出端都增加了线性滤波器.在Blum 和Jeruchim(在7中描述)模型中,用快速傅立叶算法及足够的抽样来找到用于修改AM-AM表的瞬时调制频率.有一种Volterra型的行为模型被称作Volterra输入输出图(VIOMAP).它是普通S参数的非线性的概念性扩展,包括谐波响应,并且被成功应用于单音负载下拉仿真中9,10.图4.1 (a)功率放大器的AM-AM和AM-PM波形(b)基于滤波器和无记忆非线性的由频率决定的非线性模型. 器件模型描述了半导体设备的动作,以及无源和分布式元件的合适模型,可以建立并优化功放的模型.早期的半导体模型是解析的,所采用的等式首先来源于半导体物理学,然后将其简化以减少仿真时间.这些基于等式的模型的一个基本问题是,所选用的函数和控制参数固定了I-V 和Q-V特性的可能形状,并且可能没有足够的自由度来模拟例如IC-VCE曲率.例如,在基本的Gummel- Poon (GP) BJT SPICE模型中,集电极电流的简化形式如下:其中, 基本的指数仅可被三个控制参数修改: IS依比例决定电流, VAF (所谓的早期电压12, 如图4.2所示)构成输出电导的一个极其简化的模型, IKF (所谓的拐点电流)降低高电流时的增益13, 14.这个简单的等式涵盖了整个I-V平面,同时固定了导数dnIC/dVn,因而固定了非线性行为. SPICE GP模型可以适当地用于模拟基带信号15,但是特别是对于过分简单化和固有性线的输出阻抗模型, 不能用SPICE GP模型进行精确的失真仿真,这将在本书后面说明.更好的物理模型已经被开发出来,比如BJT的Mextram和VBIC ,以及用于LDMOS的摩托罗拉MET模型,这都是久经考验的模型.与早期的SPICE模型其比,这些模型的性能大大地提高了.后者对于找到正确的直流偏置十分重要,这是因为自我加热使得I-V波形产生一个大的差值.假如热模型有足够的时间常量来模拟缓慢加热包(主要影响直流偏置和芯片表面的微秒范围热记忆),后面的模型也可用于模拟热记忆效应.图4.2 在BJT中使用早期电压VAF模拟输出阻抗模型的额外自由度增加了其复杂性以及控制参数的数量.在一个极限中,MOS BSIM模型有数十个参数来单独控制比例特性.因此,模型的复杂性趋于失控,并且其配置愈加复杂,对错误愈加敏感.另一种设备建模的方法是放弃等式,而采用列表的测试数据或者完全根据实际以验的函数来代替.现在,任何形式的I-V和Q-V特性的模型可以被建立,这是通过Root模型得到的方法,称作” 设备最了解”模型5.在内插列表数据时,存在一些技术问题,这是因为内插的多项式容易使数据点之间产生振荡,因此派生出高阶非物理波动.然而,由于预定函数不需要压力,列表模型使用灵活. Volterra模型是一种经验模型,它不依赖于半导体物理学.其非线性描述为多项式,系数可以通过对I-V和Q-V函数微分得到,也可通过将多项式直接填入测量数据表里得到.在此我们使用的是后者,在接下来的章节中,我们将会更深层次地对Volterra模型的特性进行研究.4.1.2 Volterra模型的特性 多项式模型并不自动地对模拟快速响应,相反,它可能严重地会聚在高于原始设置范围的信号电平上.然而,多项式模型允许使用高效的Volterra分析程序.然而,采用Volterra模拟方法的主要动机并不是看中了其速度优势,而是它能提供一个极好的分析工具来进行分析.主要的失真机制可以用与在普通交流噪声分析中采用的相同的方法来进行分析,由于非线性分析,多重的混合机制同样可被识别,例如可以帮助谐波终端阻抗的设计等.因此, Volterra分析是少数可以帮助理解记忆效应和帮助设计优化的方法之一.尽管如此,仍需承认多项式模型存在一些缺点.首先,多项式模型要遭受在适宜的带宽范围外,其响应接近无穷大这一事实.传统的非线性建模函数与此正好相反,它在整个偏置范围内平滑,有限的表现是我们设计的特性,因为它帮助使信号收敛,并且信号摆动不必要进行推理的了解.因此, Volterra分析并不是一个非常普通的工具.由于速度原因, Volterra分析被用于快速失真分析和模拟器中的低噪放型小信号电路(例如Voltaire XL 22 和SPICE的早期版本)中,或者甚至做为独立的模拟器使用23. 然而,为了功放能被成功地进行分析,可靠的早期信息仍是必需的.第二, 预先得需要实际的大信号直流偏置电压.大信号动作经常会引起直流工作点的移位,它同时影响增益和非线性的数量.此信号感应引起的直流移位会减缓谐波平衡模拟中收敛的速度,并且在非反复Volterra计算程序中,只能对它进行估计,而非完全地预测.为了克服这点,我们需要检查直流移位是不是很大,或者在实际的大信号工作点使得多项式模型合适.第三,在多项式函数的装配中,需要知道输入和输出电压摆动的范围.多项式模型的实际功率是除开失真成分的其它部分.适宜的范围越大,低阶多项式的精确度越小.因此,沿着最大信号振幅安装是合适的,为确保多项式模型的精度,不能太超过此范围,并且由于多项式响应可能在合适的范围外是完全非物理的,也不能超过一个较小的范围.在这种情况下,就需要对输入输出轨道有较好地评估.总之, Volterra分板并不是一种简单使用的独立的仿真方法,但当它用在与其它仿真方法(例如谐波平衡)并联使用时,此方法提供了更多调试功能.在本书中,研究的案例仅限于单级晶体管放大器,并且对Volterra分析半解析地计算(象征性地来源于每一个失真源到所有结点电压的转移函数). 象征性的分析并不是必需的,它限制了对CE或CS放大器固定的结构以及双音测试信号的分析.而Volterra分析却能达到,通过在(用标准修改结分析矩阵以及非线性电流源表示的)任何电路上运用通常非线性交流分析方法.4.2非线性I-V和Q-V特性大多数的晶体管模型是以模型或T模型为基础.这里使用的是模型,本节中描述了用BJT,异质结BJT(HBT)和场效应管(FET)的模型表示的典型传导(I-V)和电容(Q-V)的非线性特性.在这里将BJT作为一个案例,但同样的模型也可用于FET晶体管,只是多项式系数设置不同.前面已经讲过, Volterra模型是以I-V和Q-V曲线的多项式建模为基础.测量这些曲线也许会有些困难,详见第五章.这样的电荷不能直接进行测量,我们必须依靠交流测量的电容以及对所得电容值得到的电荷等式求积分.用类似的方法,I-V曲线可以通过由S参数测量得到的和值进行大部分重造,但是实际的I-V曲线是一个更安全的出发点.这里介绍的模型是电热模型,这意味着其结温是一自由变量.然而,直流温度上升包含在偏置点中,并且只考虑由动态自我加热引起的温度变化.由于功耗是电压和电流的产物,我们认为结温中的交流成分已经是一个二阶现象.因此,一个三阶的模型仅仅包括温度的一次方,这意味着电容元件的温度依靠性被认为是线性的.4.2.1 特性在大多数被报导的BJT/HBT Volterra级数分析中,集电极电流被认为只是基极电压的函数25-27,此考虑方法抓住了主要指数的输入输出非线性但是认为输出电导是常数.在MESFET Volterra级数分析中,漏电压的效应通常用的一个多项式来实现, (参照28),但即使如此,也难以捕捉所有的非线性特性.在(4.1)式中,等式是,和结温T的一个三维简单函数，就像.通过扩展大信号I-V函数到一个三输入的泰勒级数(在直流工作点,和周围),很容易得到一个多项式模型.因此,交流电流的电热三阶级数展开可以写作:其中, , 并且Kixxx是元素xxx的i阶非线性系数.( 可以用来标志).由等式可见,第一行只受影响,第二行只受影响(例如非线性输出电导).尽管如此,第三行又列出了和的向量积.最后,第四行列出了与两个终端电压混合在一起的温度变化.图4.3中证明了电非线性的影响,其中,绘制了在三个基极电压处的集电极电流,它是三个不同基极电压处集电极电压的函数.如果除外的所有系数都是零,我们可以得到如图4.3(a) 所示的三条等间距的水平线.由于线精确地保持水平,输出电导为零,且集电极电压不影响电流数量.此外,由于线之间等间距,跨导是线性的.然而,如果或偏离了零,在I-V平面的线距离将会变得不等,这表明跨导是非线性的.图4.3 证明集电级电流非线性.垂直的轴是集电极电流,水平轴是电压.(a)线性响应(b)非零 (c)非零 (d) 非零 (e) 非零 (f) 非零图4.3(b)证明了的影响,仅仅存在和.与图4.3(a)相比,图4.3(b)中的线有一个非零的斜率,它与成比例且不依赖与. 图4.3(b)仍是完全线性的, 图4.3(c)证实了输出电导的非线性,其电流的斜率随而变化.在这种情况下,仅有一个非零值, 和可被用于模拟输出电导的曲线效应，例如饱和和击穿.图4.3(d-f)分别图解说明了,和的截项,它模拟了基极和集电极非线性物性的交互作用.为了帮助比较,图4.3(d-f)中的稍细线是临摹图(c)的( 和都有非零值). (对应于项)在图4.3(d)中是非零的,这是由于其线的斜率变化不仅仅受图4.3(c)中集电极电压的作用,也受基极电压的作用.这对于图4.2所示的模拟早期效应是十分必需的.相似的推理也可应用于和,如图4.3(e, f)所示,确定输出电导的形状,分别是和的函数.图4.4对不同建模方法的I-V曲线做了更多的比较.如果集电极电流被模拟为基极电压和线性的一维函数，就产生了一条直的I-V线,如图4.4中细虚线所示.用SPICE Gummel-Poon模型模拟的I-V曲线同样也是直的细的线,但是其斜率和输出电导随集电极电流变化,如图4.2所示.实际上,由于准饱和和截止影响,在大信号或半大信号的情况下,BJT的I-V曲线决不是直线.曲率可以通过使用和的一维多项式模拟,如图4.4中粗实线所示.然而,初步的现象(例如早期效应)在没有引起斜率决定于的值截项时不能被模拟.如图中粗虚线所示,并对应于(4.3)的完全级数展开.饱和和截止的开关同样取决于基极电压,这使得截项的使用强制地避免了I-V平面角落处的重大误差,如图4.4所示.图4.4 三个Volterra模型和Gummel-Poon SPICE模型的I-V特性最后讨论了集电极电流的电热效应,如(4.3)中最后三项所示.在图4.5(a, b)中,描述了一个二次项 ,它模拟了电流中由温度决定的移位.值得注意的是, 不能由小信号参数和得到,相反的,需要实际的电流测量. 是一个包含温度和集电极电压影响的三次项,如图4.5(c)所示.它在本质上模拟了温度对输出电导的依靠性.同样的,如图4.5(d)所示, 模拟了温度和基极电压的结合效应.由于曲线的斜率反应了跨导，可被认为是受温度影响的跨导的一个变化. 图4.5 电热非线性系数的影响. 非零在(a) 轴(b) 轴.(c)非零 影响(d)非零影响特性是FET型晶体管中唯一重要的传导性非线性.在BJT中,存在另外的两个非线性:由指数引起的非线性和非线性.电导的影响通常更重大,并且也容易模拟.理论上, 等式可以粗略地用电流增益除，但可用一些方式简化.由于基极电流并不是强烈地依赖于集电极电压,我们可以用一个仅由和决定的两维模型:这里,系数与之前有着相似的含义.线性项通过进行模拟, 和模拟其指数曲率.此外, 模拟了由自我加热产生的移位, 可以看成线性项的温度依靠.本征基极电阻较难模拟.它是内部基极点和外在基极点之间的串联电阻,它的值取决于基极区的电流拥挤,也取决于内部值.因此,它可以模拟为一个由电阻器电压(),内部基极电压和结温控制的三维电导.所有的K项(k=1,2,.)都是零,但是电流拥挤效应是用和间的截项模拟的,如(4.5)所示.不论如何, 通常较小,且在下面例子中被模拟为一个线性电导.4.2.3电容模型如前面解释,将电容建模成多项式电荷,然后将其关于时间进行区分以得到位移电流.电荷可能并且经常是由多于一个的端口电压所控制,这使得我们必须使用一个类似于(4.3)的多维多项式.电荷同样可以模拟为一个电容,在这种情况下,电荷不出现在控制结点之间,而出现在一些其它的结点间.在下面的例子中,只假定了一个控制电压,式(4.6)描述了基极到发射极的电荷,它是基极到发射极的电压以及温度的函数. 从这个等式中,可以轻松地得到对应测量电荷Cpi和非线性电流源.只需将电荷等式(4.6)分别关于和时间进行区分即可.在(4.8)式中, 仅是失真音调的频率;因此,电容并不会引起直流失真电流但是在谐波频率处失真最严重.等式(4.7)指出由温度决定的电荷项K2CPIT不能来源于电荷测量;尽管如此,一个时变的结温可能引起一个与它成比例的电流.另外, (4.6)式中的第一项Cpi描述了小信号电容, K2CPI和K3CPI定义了它的有关电的非线性. K3CPIT描述了是控制电压和结温函数的电荷,由于C = dQ/dv, K3CPIT的作用可以看成是电荷值的温度决定性.如(4.6)所示,一个线性的C-V趋势K2CPI引起了二次电荷非线性.同样的,与v2 (K3CPI)成比例的电荷引起立方的非线性.不同类型的电容有着不同的特性,如图4.6(a)所示.如 (4.27)所示,基极-射极电容Cpi是指数的,因此它是高度的非线性的.BJT和FET中有偏的P-N结或肖特基结仅是稍微的非线性,它们可以通过增加反偏压进行更深一层的线性化. MOSFET型晶体管有着特殊的栅电容,例如, CGS在门限电压的周围dip.如果MOSFET动作接近于关断,此dip会引起大量的二阶非线性.图4.6 (a)归一化的电容(b) 和的电荷4.3共射极BJT/HBT放大器模型 现在我们使用直接的方法来计算一个共射极BJT/HBT放大器的IM3成分,使用第2.5.2节所列出的步骤.这样进行分析:首先为电路建立一个模型,通过一个线性的交流分析建立基本的幅度.然后,通过使用第4.3.2节所示的步骤计算二阶电流电压以及三阶电流电压.4.3.1线性分析图4.7所示的是一个共射极BJT放大器,它包括输入阻抗ZIN(混合匹配网络和偏置电路),基极-射极电导gpi和电容Cpi,反馈电容CBC,输出电容CCE,输出电导跨导,负载阻抗ZL以及发射极阻抗ZE.输入和负载阻抗不仅包含匹配网络的阻抗,也包括偏置网络和包寄生的阻抗, ZIN由前级的输出阻抗和本征基极电阻rbb组成,如图4.7所示.图4.7 共射极BJT放大器线性化一阶电路为减少等式的数量,输入电压源可以用诺顿等效源来代替 且用下列简化符号通过替换图4.7中所有阻抗并在结点1至3应用基尔霍夫电流定律,可以得到如下矩阵等式. 通过使用Cramer法则,可以得到结果以及对的响应.因此,在基极,发射极和集电极的电压如下所示:导纳矩阵的行列式写作:基极到发射极,集电极到发射极的电压分别是和.最后,由于和经常用于计算失真,例如由gm成分产生的失真,很容易得到它们的比值: 线性化分析的目的是为了获得所有非线性元件的基本电压幅度,这样我们就可以继续计算这些元件内部产生的非线性电流.在此之前,我们需要对信号摆动进行一些观察.BJT的指数响应是极端的非线性,并且在没有过度失真的情况下,不能承受高于10到30 mV的信号幅度.这听起来不像一个功率放大器,但是两件事情恰好帮助改变此情况.首先,器件并不是完全指数的,但是当驱动到高注入时,BJT线性化可用(4.1)中的参数IKF来模拟.第二,放大器有一些反馈机制来减小BE结中的信号电平.串联发射极阻抗引起一个线性化的串联反馈,CBC引起一个并联反馈.CBC的作用十分重大,这是由于强烈的电容性反馈降低了基极阻抗,因此也减小了BE电压摆动和从驱动激励产生的失真数量.4.3.2非线性分析在本节中展示了一个CE BJT放大器的非线性模型,并由它得到IM3失真.该电路有三个两输入和一个三输入的I-V和Q-V非线性,通过鉴定7个一阶系数,二阶系数和三阶系数模拟得到,其中18个是电系数 ,其它9个与动态温度变化相关 .最后,此分析将介绍IM3音调,它是一个矢量和,由以下组成:7个由立方电非线性引起的项,21个由级联二次方非线性(修正包络信息向上转换到IM3中)引起的项,21个二次谐波向下混合到IM3的项,最后,5个立方的和24个级联的二阶电热项.这些看起来也许很多,但它描述了产生失真的不同机制的真实幅度;它同样清楚地证明了,只要立方项是解析的,大量的信息就会失去.若电路较大,分析的阶数越高,则需要对数据进行压缩,但是原理还是一样的:我们希望知道,通过从直流或谐波波段混合失真并使总失真最小化(或最小化其记忆效应),能产生多少IM3总数;我们希望知道在这些谐波波段，由失真电压引起了什么样的非线性和实际阻抗. 由于项数众多,我们不单个地对这些项进行讨论.完整的分析见附件C,接下来用一些例子讲述计算步骤.4.3.2.1二阶失真电流 图4.8所示的电路用于解决二阶响应,图4.7中的线性输入电压在此被短路, 添加二阶失真电流源与所有非线性电路元件并行.以T结束的电流是电热电流,将在第4.3.2.5节中讨论.如同以前, ZIN, ZE和ZL将包寄生,偏置阻抗和匹配阻抗结合在一起. 为了计算自我加热效应,瞬时功耗用计算,第3.4节所示的热阻抗用于计算频率21处的瞬时温度波动.可以对不同的电路元件使用不同的温度,但是它们在物理上靠近基极区,此处使用共同的温度.然而对于大型设备,将此设备分成较小的并行设备是十分有利的,这样可以看出不同的温度变化.非线性被模拟为,和温度组成的三维函数,它包括和非线性以及所有高达三阶的交叉项. 和是基极到射极电压和温度的函数,非线性由集电极到基极电压和温度控制.图4.8 含电流源电路的二阶响应表示我们通过计算二阶失真电流开始进行分析.举一个例子,在21处由引起的二阶包络电流是:使用表2.5 举另一个例子,由非线性引起的二阶包络电流是: 它结合了二阶输入非线性,输出非线性和输入输出交叉项的作用,见I-V模型(4.3).从表2.5中可以看出,相量频率和可能的常量项值的选择取决于音频:例如, 的乘积在21处产生一个音调.上述的相量音调被选中,所以能在包络频率21产生失真.计算基频1和2的相量和用(4.12)-(4.14)式.4.3.2.2跨导倒数转移函数和二阶电压接下来,我们需要把不同结点的失真电流转换为失真电压.此处,我们选用了一个象征性的分析,因此很容易得到从结点X和Y到结点Z之间的非线性电流源的转移函数。大概的想法是:在每个非线性元件中,失真电流的幅度用较低阶的电压相量计算,并使用转移函数,然后在所选择的结点上,所产生的失真电流被转换为失真电压. 转移函数可从(4.11)中得到,只需将用结点X和Y之间的一个测试电流源代替即可.例如, 转移函数的形式为:det(s)由(4.15)得到.附件C中给出了一整套转移函数.通过使用这些符号,基极结点处完整的二阶包络电压为:其中,每一个失真电流源乘以合适的跨导倒数(在基极将电流转换为电压).同时需注意,式中有8个不同的电流源(基中的4个是电热的电流源,用T标识),每一个电流源都有一个等式,类似于(4.17) 或(4.18).为了解决二次谐波电压,我们需要将需要的谐波的源的电流等式重写,并在相对频率下重新计算(4.20)式.在此步骤之后,基本包络和二次谐波音调是八个不同成分的总和.通过对这些成分分别存储,我们可以看出哪个是主要的,哪些互相抵消.4.3.2.3 解三阶电压接下来,我们要计算IM3在频率为212时的集电极电压.三阶分析采用与二阶分析完全相同的等效电路,集电极电压用下式计算:其中,音调212的失真电流被计算, 转移函数(同样在212频率点计算)被用来将X-Y端口的非线性电流iNL转换为集电极电压.然而,与二阶分析相比,非线性电流源的等式更加杂乱,这是由于IM3电流不仅由立方非线性引起,同样由级联的二阶非线性引起.例如,根据表2.6,IM3电流中出现的包络电压和二阶谐波是由非线性引起的. 相似的响应也会产生,例如通过系数对和非线性的.除开这些之外,输入输出交叉项给带来下列的附加项: , 和 其中,所有线性和二阶输入输出电压的结合如上式所示,且它们的产物在21-2处形成一个音调.注意到,在交叉项中,所有可能的排列是必要的.例如,等式(4.23)中的最后一项由在频率1, 1和2处的一个VBE和两个VCE电压组成,它们可以排列成下面的三个结合: (VBE(1), VCE(1), VCE(2), (VBE(1), VCE(2), VCE(1), and (VBE(2), VCE(1), VCE(1),其中,前面的两个的结果相同.数字频谱卷积可以自动地给出所有的组合. 现在,根据基本结点电压和二阶结点电压来描述IM3.接下来,我们更深一层地讨论失真,失真仅作为基本输入电压的函数.这使得表达式变得十分复杂,但也带来了一个好处,就是能维持二阶失真电压的原始信息.4.3.2.4 IM3仅表示为基本输入音调的函数为了将失真仅表示为输入音调的函数，我们需要做两件事.首先, 写作,TF可由(4.16)和附件C得到.其次,将所有的二阶音调根据基本输入写出来,这会产生总共42个级联的二阶项,都列在附件C中. (4.21)式的纯立方部分根据被写入到(4.24)式中.在此,非线性电流根据表2.6,作为和的函数被写出来.例如, (4.24)的第一项被的乘积所控制.输入非线性, 和仅被值所控制,交叉项被输入和输出电压所控制.对于,电压必须被表示为. 由级联的二次电非线性引起的IM3等式变得十分复杂,整个的等式包括21项从包络得到的混频产物,21项从二次谐波得到的产物,如附件C所示.这里列举这样的一个例子,由K2GM*K2GPI引起的双重混频.组成如下:此等式包括两种低频混频结构,如图4.9所示.图4.9(a)描述了第一种结构, 在中,和的乘积在集电极和发射极之间产生包络电流12,然后通过,被转回到基极到发射极电压.这些包络电压和基本电压和在中再次混合,在基极和发射极间212处产生IM3电流.通过转移函数,它们被转换为集电极电压.第二种结构如图4.9(b)所示,可以这样解释：和在K2GPI的基极直接产生包络电流12.此电流在基极和发射极之间的部分通过被转换为基极到射极的电压,因而产生的包络电压与基本基极到射极电压在中进行混合,因而在集电极和发射极之间产生了IM3电流.最后,该电流通过被转换为集电极电压. 图4.9 通过包络频率,由级联的二阶失真结构K2GPI和K2GM引起的IM3L 诸如此类的多重混合产物实在是常见.例如,在AB或B类放大器中,引起IM3的一个主要原因是:当消波不均匀时,晶体管会在输出产生一个高的二次谐波(由高来模拟).由于二次谐波的频率很高,通过CBC回到输入能很容易地耦合，并且在中与基波再次混合,导致输出端直接有IM3电流.这种结构(在附件C中称为项)能通过衰减集电极或基极的二次谐波来将其最小化.4.3.2.5电热项最后,描述了三阶电热失真结构.这由三阶项和级联二阶项组成,其中,热感应二阶失真与基频混合在电平方律非线性中.三阶项可表示如下:其中, 是结温,TF是比, 是从非线性源到集电极的跨导倒数. 需注意到,模式是一直不变的:低频温度变化调制电路元件值,使其与基频音调相混合.结温的计算是基于耗散功率,这将产生一阶和二阶音调,仅仅包络音调被精选下来,并与热阻相乘以得到结温的变化.耗散源是一直不变的,但是如果不同的电路元件需要不同的温度,热网络可以用Z矩阵来模拟. 级联的二阶非线性IM3成分同样很复杂,在此不详述,见附件C,并且它们的数字值在第4.4.2和4.5节中用矢量图表示.需注意,包含由温度决定的电荷项不能被计算,除非找到一个测量它的值的方法. 由上文和附录C可见,对一个简单的CE放大器的符号的Volterra分析变得十分棘手，许多复杂的拓扑很难对其解析地进行分析.然而, Volterra计算可用数字计算来进行. Nlsim软件24, 29能够用数字计算非线性电压元件,并且能对更复杂的拓扑进行分析.与完整的解析方法相比, Nlsim对失真的描述稍微粗略,且不分开级联的二次非线性,但是它能简单地显示每一个非线性的立方项以及向上,向下转换包络和二次谐波项.不论如何,二阶相量可以被划分为矢量的和,从而看出哪一个是主要的二阶成分.4.4 BJT CE放大器中的IM3 在这里,我们研究两种不同案例下的IM3失真:首先,使用一个将非线性输入和I-V曲线级联起来的简单模型,然后用全电路,包括反馈效应,采用前面章节所描述的全分析.4.4.1 BJT作为两个非线性方框的级联 如前文所讲,BJT放大器的失真成分十分复杂,因此,需要首先做些简化来找出失真成分的基本特性.之后将会给出一个完整的分析,但是暂时忽略发射极阻抗和反馈电容产生的反馈影响,并简单地认为集电极电流是一维的,仅受基极电压的作用.图4.10给出了简单的电路,由于所有的反馈效应被忽略，BJT的集电极电流可以被简单地认为是两个非线性方框的级联,如图3.5所示.第一个方框包含输入非线性Cpi和gpi,第二个方框包含一维跨导的非线性. 我们知道,当采用电压激励或电流激励时,CE BJT放大器的线性特性是不同的.在理想化的情况下,零的电压激励使得输入非线性可以忽略不计,这是因为输入和基极到射极电压是相等垢,并且电压源使得所有失真电流短路.于是图4.10中唯一有效的非线性成分是跨导.如果采用电流源激励,情况就会改变.图4.11(a)指出基极到射极电压是输入电流的函数，图4.11(b)描述了集电极电流,它是基极到射极电压的函数.图4.11(a)可以看成是一个对数函数，图4.11(b)是一个指数函数，作为它们的级联,集电极电流是输入电流的函数,是一条标准的直线,如图4.11(c)所示.因此,当晶体管受电流驱动时,被电压驱动的BJT的强大的指数非线性消失了.同样,在实际中,激励的类型可以通过适当调整ZIN值来改变: ZIN的值越高,CE BJT就越表现为由电流驱动.图4.10 简化的BJT模型,忽略了反馈的影响图4.11中,两个相反的非线性相互抵消.同样的现象也在图4.12Gummel图中被证实,其中,集电极和基极电流是的函数.由于采用了一个对数的Y轴,这些完全地指数非线性表现为直线的形式.可以观察到,线之间的距离(例如电流增益)是常数且不依赖于的值,这表明,非线性的形状是相似的.这种两个非线性相互抵消的现象通常称为跟踪非线性,结果导致非线性元件线性工作.然而,在实际中,非性线特性不能完全地进行跟踪,结果是一些非线性经常存在.例如,图4.12中线的虚线部分表示了实际情况:跨导在高值时不再是纯指数的,这是由于在基极有一个高注入电平,因而减小了电流增益.同样,在低值处,一些基极泄漏电流经常存在. 图4.11 跟踪非线性的描述(a) 是 的函数(b) 是 的函数(c) 是的函数接下来,将分析图4.10所示的电路的交流特性.第一个方框的非线性是由gpi 和 Cpi引起的, gpi被认为是完全的指数的, Cpi也认为是指数的,从前向传输时间( )和跨导gm来计算: 后面的方框描述了非线性跨导,它的非线性可以用(4.1)来计算.如果我们忽略早期效应并仅使用一维的集电极电流,就可以得到如表4.2所示的非线性系数.表中第二列对应于严格的指数低注入的情况,第四列出示了一种高注入的情况,在这种情况下, 跨导的非线性减小,见图4.12中虚线部分.图4.12 基极和集电极电流,作为基极射极间电压的函数.曲线的虚线部分表明高注入和漏电流效应表4.2 跨导的非线性系数在第三章中已经讨论过级联的非线性失真成分,并在图3.6中加以描述.级联的IM3L集电极电流为:IM3L由4项组成,前两个分别由第一第二个方框内部直接产生.后两个涉及到二阶交感,通过方框间的包络和二次谐波频率产生.在第一个方框中,失真是由输入阻抗的二阶非线性产生, (4.28)中基极的频谱成分可用表2.6计算.首先研究图4.10电路中基本的作用.非线性系数用等式(4.1)和(4.27)计算,基于BFG11射频功率BJT32的GP模型SPICE参数.在中心频率1.8GHz和音频间距1MHz处计算IM3电平.如果与内部基极电阻相比,输入阻抗的值较高,输入将表现为一个电流源,并且输入输出非线性将会部分地进行互相抵消. 在整个合理的值上,在基波的 被扫描,用以检查电压/电流激励的作用.BJT的输入是变化的匹配,这说明输入电抗已被确定,所以基极电抗关断.在谐波和包络处的值被设置为无限大,这说明在这些频率处的基极阻抗仅由内部基极到射极阻抗组成.图4.13中显示出在集电极电流两个值处的IM3失真成分,它是基波的函数. 图4.13中同样显示出IM3的不对称性(例如,低边带和高边带之间的矢量误差) 在低注入的情况下,通过将值增加到20 到30 ohms来提高IM3值.继续增加值,并不再减小IM3,因为输入非线性和输出非线性之间的不完整跟踪,将IM3限制在57 dBc,如图4.13所示.在高注入的情况下,情况有所不同:尽管在此情况下,线性并不十分依赖于高值的,在一些相关的低值处,仍可以达到线性的重大提升.与拐点电流IKF相比,较高的的优点是在最适宜的处,线性得到较好提高. 当基波的虚部开始从共轭匹配的情况下增加时,线性开始恶化,即使它可能稍微地减小,IM3边带间的矢量差(例如不对称性)可能减小.图4.13中较低的曲线表明了低IM3音调和高IM3音调之间的不对称性.通过使输入匹配稍微是感应的,在IM3边带对称性上可以有多于10 dB的提高. 33中也有相似的观察,其中研究了输入阻抗对相位失真的影响.对称性的提高对于包括线性在内的应用而言,是一个非常重大的提高.图4.13 集电极电流IM3边带的幅度,它是基波输入阻抗的函数由于大量的输出三阶失真是通过级联的二阶非线性产生的,所以对带外的仔细优化能提高线性.三阶项不会被滤波影响太多,这是因为它们的功率与基波信号交迭,但是二阶信号的功率位于基波较远的地方,且可以通过使用滤波来达到最佳可能的线性27, 34-36. 同样,例如增益和效率的基波匹配也有许多要求,因此基波阻抗的选择,不能只基于线性特性.然而,带外匹配仅对增益和效率产生次要的影响,因此,有时可主要依靠线性来调谐带外匹配.现在,我们来研究二阶信号成分的作用.当在包络被扫描时,基波周围的阻抗保持常量.在图4.14(a)中,较高的八段向量表示由输入非线性( and )引起的输出IM3产物,而低三段向量的前两个向量表明输出三阶IM3产物是由二阶输入输出非线性引起的.这两个中的第一个是通过基极的包络产生,另一个是通过二次谐波产生.低三段向量中的第三个表示跨导的立方非线性.有趣地注意到:由二次非线性引起的IM3向量部分,与由立方非线性引起的向量部分相反.这表明,非线性间的互相跟踪有两种方法:第一种是通过前面讲述的输入输出跟踪法,这种方法表明,基极的失真电压波形抵消了由非线性跨导引起的失真;第二种方法是通过二阶和三阶非线性间的抵消.由于使用了大量的转移函数，后面的这种方法在本书中较难用等式来表示.然而,如果我们忽略Cpi,并根据(4.29)中的电路元件和系数写下三次谐波电流的表达式,可以清楚地看到,二阶和三阶系数的符号是相反的.图4.14 (a)部分跟踪非线性的表示(b)向量结果. 两个输出IM3信号由于11部分组成.(e表示包络,h表示二次谐波) 图4.14(b)描述了包络处四个阻抗值的IM3结果(由部分跟踪非线性引起).如果阻抗幅度高,输出IM3信号将不被其相位所影响,但是如果阻抗幅度相对较小,至多比基频处的高10,其相位将会起着重要的作用.为什么仅在较小时,包络处的对IM3有影响的原因十分简单:如果高,基极结点的总阻抗受晶体管内阻抗的控制,但是当小时,它却影响整个结点阻抗.通常建议用最小化低频的方法来减小总体失真.从上面可以看出,这并不常用;然而,可以用一个较小的假定值,或者提高IM3边带间的平衡来减小总体失真.既然失真电流与 (21)相乘，而 (21)又混合到不同边带中,且它们的阻抗相位相反在高IM3边带和低IM3边带间,当纠正相位错误时就会得到一个小的反应基带偏置阻抗.4.4.2 详细的BJT分析 现在,我们使用完整的Volterra模型来研究单个失真结构的作用.在这种情况下,模型的非线性系数是通过实际测量得到,其采用的步骤在第五章中将会有详细的解释.在本节中,我们研究CE BJT放大器线性上不同频率处的偏置点和优化终端阻抗的作用. 大家都知道,CE放大器的最佳阻抗随偏置情况而变化.如果我们用实验的方法来检查所有可能的基波输入和负载阻抗在不同偏压点的结合,并且也考虑包络和谐波阻抗(对线性影响很大),那么,单个CE级的优化都会变成一项十分冗长的工作. Volterra模型(假设它足够精确) 通过在不同偏置情况下设计最佳输入和负载阻抗,被用来优化CE放大器的线性.一个基于BFG11晶体管的放大器32被建造,并且在基频1.8 GHz处的输入阻抗被调谐成共轭匹配以用于最大功率转换.负载阻抗已确定,因此输出电抗的虚部和匹配网络在外部相互抵消, 且的实部由期望的I-V特性所决定.可以通过降低值来提升线性,这是因为集电极的电压摆动减少了,但不幸的是,同时效率也有所减小.所以在线性和效率之间,选择20 ohms作为的平衡值.零频率附近的负载阻抗很小,这样可以从电流源提供直流功率给集电极且损耗最小.放大器在二次谐波处的输入和负载阻抗分别是0.1+j76和31+j17,在包络频率为2MHz时, 输入和负载阻抗分别是13j0.2 和0.2j1.4.这些数据都是由实际的放大器测量得来. 首先扫描基极和集电极偏置电压,并且监测线性以便找出偏置的一些基本特性.为了使仿真之间有可比性,输入电压摆动和负载阻抗仅被稍微调谐以保证在变化的偏置情况下,输出电压和电流摆动是常量.选择输出电压摆动为1.5 Vpp,这意味着在集电极电源附近的IM3值低于1V是不精确的.图4.15(a)描述了计算的IM3L曲线和测量的IM3L点,可以看出,它们相互之间有着很好的相关性.在偏置电流为75 mA时,线性最大,当偏置电流减小时,线性开始恶化.当偏置电流降低到40 mA时,IM3边带增加约10 dB.集电极偏置电压同样也影响线性,因此在电压值为3.5V时,线性最大.图4.15(a)中没有显示出超过4V的集电极电压,因为高的集电极电压仅仅减小了效率并没有更远地提高线性.电流较低时,线性彻底不依赖于集电极电压,但在高电流值时,集电极电压却起着非常重要的作用.这是显而易见的,因为在低电流值时,由gpi, Cpi和gm引起的非线性比由 和 交叉项引起的非线性要强.此外,在高电流值时,非gpi, Cpi和gm引起的非线性较弱,这是因为跨导的原因,例如,由于高注入作用产生的电流线性化.同时,既然和其非线性在高集电极电流值的情况下十分强大,对于总体失真来讲, 起着更主要的作用.图4.15 (a)计算的和测量的(网点)IM3L(b)测量的非对称IM3L-IM3H IM3H边带的轮廓点图与IM3L的十分相似,如图4.15(a)所示.边带间的向量差用dBc描绘出来,以便与基波信号作对比, 如图4.15(b)所示.需要重点强调,此图形不仅取决于偏置值和匹配阻抗,它也取决于调制频率.如果采用预失真的线性化方法,边带间的非对称性是一个重要的品质因数,如第三章所讨论.在前面的例子中,选择基波输入和负载阻抗的值,用来达到需要的功率和有着合理效率的增益特性.然而,为了达到可能的最佳优化,必须对带外包络和谐波终端进行优化.通过调谐带外终端来提高线性的一个最常用的方法是,使得二次谐波处的负载阻抗最小化.既然部分的IM3成分是由二次谐波电压引起的,在此频率处的阻抗也影响IM3.而这些是否有助于线性的提高取决于非线性系数和其它的阻抗.为了检查二次谐波匹配的效果,在那点频率上的负载阻抗的实部被减小到6 ohms.比较的结果见图4.16,它指出了在所有偏置情况下从1 dB 到 5 dB的改进.这些计算指出,为了达到最佳性能,带外阻抗需要进行优化.这里仅证明了二次谐波负载阻抗的影响,但是其它的带外影响同样重要.经选择的最优带外终端阻抗可以将线性提高几分贝，而不减小基波的功率和效率性能. 如第三章所述,IM3边带间的不对称性受包络阻抗的严重影响.在多载波发射机中,信号的带宽可能很宽,例如,在直流和20 MHz间很难设计常量阻抗.输入和负载包络阻抗通常不是常量,由于IM3边带是这些阻抗的函数，它们随调制频率而变化,从而引起记忆效应.通过扫描一个双音信号的音频间距(集电极电压是3V,基极偏置电压是740 mV),我们来研究记忆效应.用Volterra计算的IM3L的相位如图4.17所示,它是音频间距的函数，并且符合三种不同类型的记忆效应:低频处的热记忆效应,共振型的记忆效应以及高频记忆效应,后两者皆由偏置电路引起.在1 MHz处的谐振由一个谐振集电极阻抗引起.使用Gummel-Poon (GP)模型不能观察到谐波平衡仿真,因为其过分简单的输出阻抗掩饰了集电极谐振的效果.在高调制频率处的平滑相位偏移是由包络频率处的输入阻抗引起的,仍然是使用GP模型进行模拟.由于动态的自我加热效应在基本的GP模型中不被执行,就不能预测由热效应引起的低频记忆效应.Volterra模拟适合所测量的结果,如图4.17所示,第六章会有更详细的说明.因此, Volterra模型似乎是一个更好的工具，用来确认功率放大器的记忆效应.图4.16 在二次谐波不同负载阻抗处计算的IM3L(细线是35欧,粗线是6欧) 接下来,我们研究IM3相图的微细结构.此信息可以用来进行设计优化,此处所画的IM3是作为十个组成项的矢量和,以便用来研究为什么IM3L的相位取决于调制频率.我们选择三个频率点来画矢量图,分别是100 kHz, 1 MHz,和1.1 MHz,并研究1 MHz处的谐振和热记忆效应. 图4.17 总IM3L计算的,模拟的,测量的相位,相位是音频间距的函数 我们首先来看看,在音频间距为1.1 MHz的谐振上发生了什么.在图4.18(a)描述了IM3L相量,它是实轴虚轴上一系列相量的和,从图中项端的中心开始.此相量由49个纯电气项组成,前面的7个由立方非线性引起,后面的42个由级联的二阶非线性通过包络和二次谐波频率引起.电热项几乎是零,因为1.1 MHz的差频频率已经位于热滤波器的衰减带中.前面的7个点(1-7)是立方失真机制,其中 (6)最大.接下来的21个点 (8-28)是由包络频率得