高中数学 第二章 解三角形章末复习课课件 北师大版必修5

第二章解三角形 章末复习课 1 整合知识结构 梳理知识网络 进一步巩固 深化所学知识 2 能灵活 熟练运用正弦 余弦定理解三角形 3 能解决三角形与三角变换的综合问题及实际问题 学习目标 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 设 ABC的外接圆半径为R 则 1 2 a b c 3 sinA sinB sinC 4 在 ABC中 A B 知识点一正弦定理及其推论 2R 2RsinA 2RsinB 2RsinC a b sinA sinB 知识点二余弦定理及其推论 1 a2 b2 c2 2 cosA cosB cosC 3 在 ABC中 c2 a2 b2 C为 c2 a2 b2 C为 c2 a2 b2 C为 b2 c2 2bccosA c2 a2 2cacosB a2 b2 2abcosC 直角 钝角 锐角 知识点三三角形面积公式 题型探究 类型一利用正弦 余弦定理解三角形 例1如图 在 ABC中 AB AC 2 BC 点D在BC边上 ADC 45 求AD的长度 解答 反思与感悟 解三角形的一般方法 1 已知两角和一边 如已知A B和c 由A B C 求C 由正弦定理求a b 2 已知两边和这两边的夹角 如已知a b和C 应先用余弦定理求c 再应用正弦定理先求较短边所对的角 然后利用A B C 求另一角 3 已知两边和其中一边的对角 如已知a b和A 应先用正弦定理求B 由A B C 求C 再由正弦定理或余弦定理求c 要注意解可能有多种情况 4 已知三边a b c 可应用余弦定理求A B C 跟踪训练1如图 在 ABC中 B AB 8 点D在BC边上 CD 2 cos ADC 1 求sin BAD 解答 所以sin BAD sin ADC B sin ADCcosB cos ADCsinB 2 求BD AC的长 解答 在 ABD中 由正弦定理 得 在 ABC中 由余弦定理 得AC2 AB2 BC2 2AB BC cosB 82 52 2 8 5 49 所以AC 7 类型二三角变换与解三角形的综合问题 命题角度1三角形形状的判断例2在 ABC中 若 a2 b2 sin A B a2 b2 sin A B 试判断 ABC的形状 解答 a2 b2 sin A B a2 b2 sin A B b2 sin A B sin A B a2 sin A B sin A B 2b2sinAcosB 2a2cosAsinB 即a2cosAsinB b2sinAcosB 方法一由正弦定理知a 2RsinA b 2RsinB sin2AcosAsinB sin2BsinAcosB 又sinAsinB 0 sinAcosA sinBcosB sin2A sin2B 在 ABC中 0 2A 2 0 2B 2 2A 2B或2A 2B ABC为等腰三角形或直角三角形 方法二由正弦定理 余弦定理 得 a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 a2 b2 a2 b2 c2 0 a2 b2 0或a2 b2 c2 0 即a b或a2 b2 c2 ABC为等腰三角形或直角三角形 命题角度2三角形边 角 面积的求解例3 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 已知a bcosC csinB 1 求B 解答 由正弦定理a 2RsinA b 2RsinB c 2RsinC 得2RsinA 2RsinBcosC 2RsinCsinB即sinA sinBcosC sinCsinB 又A B C sin B C sin B C sinBcosC sinCsinB 即sinBcosC cosBsinC sinBcosC sinCsinB cosBsinC sinCsinB sinC 0 cosB sinB且B为三角形内角 2 若b 2 求 ABC的面积的最大值 解答 反思与感悟 该类问题以三角形为载体 在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系 由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式 通过定理的运用能够实现边角互化 在边角互化时 经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等 解答 类型三正弦 余弦定理在实际中的应用 例4某气象仪器研究所按以下方案测试一种 弹射型 气象观测仪器的垂直弹射高度 A B C三地位于同一水平面上 在C处进行该仪器的垂直弹射 观测点A B两地相距100米 BAC 60 在A地听到弹射声音的时间比在B地晚秒 在A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30 求该仪器的垂直弹射高度CH 声音的传播速度为340米 秒 解答 由题意 设AC x 在 ABC中 由余弦定理 得BC2 BA2 AC2 2 BA AC cos BAC 即 x 40 2 10000 x2 100 x 解得x 420 在Rt ACH中 AC 420 CAH 30 所以CH AC tan CAH 所以该仪器的垂直弹射高度CH为米 反思与感悟 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步 1 分析题意 准确理解题意 分清已知与所求 尤其要理解题中的有关名词 术语 如坡度 仰角 俯角 视角 方位角等 2 根据题意画出示意图 并将已知条件在图形中标出 3 将所求问题归结到一个或几个三角形中 通过合理运用正弦 余弦定理等有关知识正确求解 4 检验解出的结果是否具有实际意义 对结果进行取舍 得出正确答案 跟踪训练3甲船在A处 乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处 乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶 而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60 方向行驶 问经过多少小时后 甲 乙两船相距最近 解答 设甲 乙两船经t小时后相距最近且分别到达P Q两处 因乙船到达A处需2小时 当0 t 2时 如图 1 在 APQ中 AP 8t AQ 20 10t 当t 2时 PQ 8 2 16 当t 2时 如图 2 在 APQ中 AP 8t AQ 10t 20 当堂训练 1 在 ABC中 关于x的方程 1 x2 sinA 2xsinB 1 x2 sinC 0有两个不等的实根 则A为A 锐角B 直角C 钝角D 不存在 答案 解析 1 2 3 由方程可得 sinA sinC x2 2xsinB sinA sinC 0 方程有两个不等的实根 4sin2B 4 sin2A sin2C 0 1 2 3 代入不等式中得b2 a2 c2 0 再由余弦定理 有2bccosA b2 c2 a2 0 0 A 90 答案 解析 2 在 ABC中 AB 3 BC AC 4 则边AC上的高为 1 2 3 1 2 3 由余弦定理 得 3 如图所示 在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15 向山顶前进100米后到达点B 又从点B测得斜度为45 建筑物的高CD为50米 求此山对于地平面的倾斜角 的余弦值 1 2 3 解答 在 ABC中 BAC 15 AB 100米 ACB 45 15 30 1 2 3 1 2 3 CBD 45 CDB 90 规律与方法 1 在三角形中 大角对大边 大边对大角 大角的正弦值也较大 正弦值较大的角也较大 即在 ABC中 A B等价于a b等价于si