（新课标）高考数学5年真题备考题库 第八章 第7节 抛物线 理（含解析）.doc

第8章 平面解析几何第7节 抛物线1（2014湖南，5分）如图，正方形abcd和正方形defg的边长分别为a，b(a0)经过c，f两点，则_.解析：由正方形的定义可知bccd，结合抛物线的定义得点d为抛物线的焦点，所以|ad|pa，d，f，将点f的坐标代入抛物线的方程得b22pa22ab，变形得210，解得1或1(舍去)，所以1.答案：12（2014新课标全国，5分）已知抛物线c：y28x的焦点为f，准线为l，p是l上一点，q是直线pf与c的一个交点，若4，则|qf|()a. b.c3 d2解析：过点q作qql交l于点q，因为4，所以|pq|pf|34，又焦点f到准线l的距离为4，所以|qf|qq|3.故选c.答案：c3（2014新课标全国，5分）设f为抛物线c：y23x的焦点，过f且倾斜角为30的直线交c于a，b两点，o为坐标原点，则oab的面积为()a. b.c. d.解析：易知抛物线中p，焦点f，直线ab的斜率k，故直线ab的方程为y，代入抛物线方程y23x，整理得x2x0.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2.由抛物线的定义可得弦长|ab|x1x2p12，结合图象可得o到直线ab的距离dsin 30，所以oab的面积s|ab|d.答案：d4（2014辽宁，5分）已知点a(2,3)在抛物线c：y22px的准线上，过点a的直线与c在第一象限相切于点b，记c的焦点为f，则直线bf的斜率为()a. b.c. d.解析：a(2,3)在抛物线y22px的准线上，2，p4，y28x，设直线ab的方程为xk(y3)2，将与y28x联立，即得y28ky24k160，则(8k)24(24k16)0，即2k23k20，解得k2或k(舍去)，将k2代入解得，即b(8，8)，又f(2,0)，kbf，故选d.答案：d5（2014山东，14分）已知抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，a为c上异于原点的任意一点，过点a的直线l交c于另一点b，交x轴的正半轴于点d，且有|fa|fd|.当点a的横坐标为3时，adf为正三角形(1)求c的方程；(2)若直线l1l，且l1和c有且只有一个公共点e，证明直线ae过定点，并求出定点坐标；abe的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由解：由题意知f.设d(t,0)(t0)，则fd的中点为.因为|fa|fd|，由抛物线的定义知3，解得t3p或t3(舍去)由3，解得p2.所以抛物线c的方程为y24x.(2)由(1)知f(1,0)，设a(x0，y0)(x0y00)，d(xd,0)(xd0)，因为|fa|fd|，则|xd1|x01，由xd0得xdx02，故d(x02,0)故直线ab的斜率kab.因为直线l1和直线ab平行，设直线l1的方程为yxb，代入抛物线方程得y2y0，由题意0，得b.设e(xe，ye)，则ye，xe.当y4时，kae，可得直线ae的方程为yy0(xx0)，由y4x0，整理可得y(x1)，直线ae恒过点f(1,0)当y4时，直线ae的方程为x1，过点f(1，0)，所以直线ae过定点f(1,0)由知直线ae过焦点f(1,0)，所以|ae|af|fe|(x01)x02.设直线ae的方程为xmy1，因为点a(x0，y0)在直线ae上，故m.设b(x1，y1)直线ab的方程为yy0(xx0)，由于y00，可得xy2x0，代入抛物线方程得y2y84x00.所以y0y1，可求得y1y0，x1x04.所以点b到直线ae的距离为d4.则abe的面积s4x0216，当且仅当x0，即x01时等号成立所以abe的面积的最小值为16.6（2014陕西，13分）如图，曲线c由上半椭圆c1：1(ab0，y0)和部分抛物线c2：yx21(y0)连接而成，c1与c2的公共点为a，b，其中c1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点b的直线l与c1，c2分别交于点p，q(均异于点a，b)，若apaq，求直线l的方程解：(1)在c1，c2的方程中，令y0，可得b1，且a(1，0)，b(1,0)是上半椭圆c1的左、右顶点设c1的半焦距为c，由及a2c2b21得a2.a2，b1.(2)由(1)知，上半椭圆c1的方程为x21(y0)易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)，代入c1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)设点p的坐标为(xp，yp)，直线l过点b，x1是方程(*)的一个根由根与系数的关系，得xp，从而yp，点p的坐标为.同理，由得点q的坐标为(k1，k22k)(k，4)，k(1，k2)apaq，0，即k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得k.经检验，k符合题意，故直线l的方程为y(x1)7（2013新课标全国，5分）设抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，点m在c上，|mf|5.若以mf为直径的圆过点(0,2)，则c的方程为()ay24x或y28xby22x或y28x cy24x或y216x dy22x或y216x解析：本题考查抛物线与圆的有关知识，意在考查考生综合运用知识的能力由已知得抛物线的焦点f，设点a(0,2)，抛物线上点m(x0，y0)，则，.由已知得，0，即y8y0160，因而y04，m.由|mf|5得， 5，又p0，解得p2或p8，故选c.答案： c8（2013北京，5分）若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_，准线方程为_解析：本题主要考查抛物线的方程及其简单的几何性质，意在考查考生的运算求解能力因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以1，p2，准线方程为x1.答案：2x19（2013江西，5分）抛物线x22py(p0)的焦点为f，其准线与双曲线1相交于a，b两点，若abf为等边三角形，则p_.解析：本题考查抛物线、双曲线的标准方程及简单的几何性质，意在考查考生的数形结合思想以及转化与化归的能力由x22py(p0)得焦点f，准线l为y，所以可求得抛物线的准线与双曲线1的交点a，b，所以|ab| ，则|af|ab| ，所以sin ，即，解得p6.答案：610（2013湖南，13分）过抛物线e：x22py(p0)的焦点f作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1k22，l1与e相交于点a，b，l2与e相交于点c，d，以ab，cd为直径的圆m，圆n(m，n为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k10，k20，证明：0，k20，k1k2，所以0k1k221.故0，所以点m到直线l的距离d.故当k1时，d取最小值.由题设，解得p8.故所求的抛物线e的方程为x216y.11（2012山东，5分）已知双曲线c1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线c2：x22py(p0)的焦点到双曲线c1的渐近线的距离为2，则抛物线c2的方程为()ax2ybx2ycx28y dx216y解析：双曲线的渐近线方程为yx，由于 2，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx.抛物线的焦点坐标为(0，)，所以2，所以p8，所以抛物线方程为x216y.答案：d12（2011新课标全国，5分）已知直线l过抛物线c的焦点，且与c的对称轴垂直，l与c交于a，b两点，|ab|12，p为c的准线上一点，则abp的面积为()a18 b24c36 d48解析：设抛物线方程为y22px，则焦点坐标为(，0)，将x代入y22px可得y2p2，|ab|12，即2p12，p6.点p在准线上，到ab的距离为p6，所以pab的面积为61236.答案：c13（2011辽宁，5分）已知f是抛物线y2x的焦点，a，b是该抛物线上的两点，|af|bf|3，则线段ab的中点到y轴的距离为()a. b1c. d.解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段ab中点到y轴的距离为：(|af|bf|).答案：c14（2012天津，5分）已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p0，焦点为f，准线为l.过抛物线上一点m作l的垂线，垂足为e.若|ef|mf|，点m的横坐标是3，则p_.解析：由题意知，抛物线的普通方程为y22px(p0)，焦点f(，0)，准线x，设准线与x轴的交点为a.由抛物线定义可得|em|mf|，所以mef是正三角形，在直角三角形efa中，|ef|2|fa|，即32p，得p2.答案：215.（2012陕西，5分）右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x22py，则点(2，2)在抛物线上，代入可得p1，所以x22y.当y3时，x26，所以水面宽为2.答案：216（2010浙江，4分）设抛物线y22px(p0)的焦点为f，点a(0,2)若线段fa的中点b在抛物线上，则b到该抛物线准线的距离为_解析：抛物线的焦点f的坐标为(，0)，线段fa的中点b的坐标为(，1)，代入抛物线方程得12p，解得p，故点b的坐标为(，1)，故点b到该抛物线准线的距离为.答案：17(2011新课标全国，12分)在平面直角坐标系xoy中，已知点a(0，1)，b点在直线y3上，m点满足，m点的轨迹为曲线c.(1)求c的方程；(2)p为c上的动点，l为c在p点处的切线，求o点到l距离的最小值解：(1)设m