高中数学必修二第四章圆与方程知识点与常考题(附解析).doc

必修二第四章圆与方程知识点与常考题(附解析)知识点：4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程2、点与圆的关系的判断方法：（1），点在圆外（2）=，点在圆上（3），点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：，圆心为，半径为为半径长的圆2、圆的一般方程的特点：(1)x2和y2的系数相同，不等于0没有xy这样的二次项 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当时，直线与圆相离；（2）当时，直线与圆相切； （3）当时，直线与圆相交；直线、圆的位置关系注意：1.直线与圆的位置关系 直线与圆相交，有两个公共点方程组有两组不同实数解 直线与圆相切，只有一个公共点方程组有唯一实数解 直线与圆相离，没有公共点方程组无实数解2.求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减。3.求经过两圆交点的圆系方程：4.2.2 圆与圆的位置关系两圆的位置关系设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆与圆外切；（3）当时，圆与圆相交；（4）当时，圆与圆内切；（5）当时，圆与圆内含；常考题：一选择题（共25小题）1已知圆x2+y2+2x2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A2B4C6D82一条光线从点（2，3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A或B或C或D或3圆x2+y22x8y+13=0的圆心到直线ax+y1=0的距离为1，则a=（）ABCD24平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A2x+y+5=0或2x+y5=0B2x+y+=0或2x+y=0C2xy+5=0或2xy5=0D2xy+=0或2xy=05直线x+y=1与圆x2+y22ay=0（a0）没有公共点，则a的取值范围是（）A（0，）B（，）C（，）D（0，）6圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y25=0的距离的最小值是（）A6B4C5D17已知圆M：x2+y22ay=0（a0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x1）2+（y1）2=1的位置关系是（）A内切B相交C外切D相离8已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）ABCD9设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A4BC8D10圆（x1）2+（y2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（）A（x2）2+（y1）2=1B（x+1）2+（y2）2=1C（x+2）2+（y1）2=1D（x1）2+（y+2）2=111若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y26x8y+m=0外切，则m=（）A21B19C9D1112过点P（，1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A（0，B（0，C0，D0，13如果实数x，y满足（x2）2+y2=3，那么的最大值是（）ABCD14设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得OMN=45，则x0的取值范围是（）A1，1B，C，D，15已知圆C：（x3）2+（y4）2=1和两点A（m，0），B（m，0）（m0），若圆C上存在点P，使得APB=90，则m的最大值为（）A7B6C5D416从圆x22x+y22y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）ABCD017已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A（x+2）2+（y+1）2=5B（x2）2+（y1）2=10C（x2）2+（y1）2=5D（x+2）2+（y+1）2=1018已知圆C1：（x2）2+（y3）2=1，圆C2：（x3）2+（y4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A1B54C62D19设m，nR，若直线（m+1）x+（n+1）y2=0与圆（x1）2+（y1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A1，1+B（，11+，+）C22，2+2D（，222+2，+）20在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y4=0相切，则圆C面积的最小值为（）ABC（62）D21若圆C：x2+y2+2x4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A2B3C4D622过点（3，1）作圆（x1）2+y2=r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（）A2x+y5=0B2x+y7=0Cx2y5=0Dx2y7=023若直线y=k（x4）与曲线y=有公共点，则（）Ak有最大值，最小值Bk有最大值，最小值Ck有最大值0，最小值D.k有最大值0，最小值24若圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）ABCD25已知圆的方程为x2+y26x8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A10B20C30D40二填空题（共8小题）26在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mxy2m1=0（mR）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 27若直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）相交于A，B两点，且AOB=120，（O为坐标原点），则r= 28已知aR，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 29已知直线l：mx+y+3m=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|= 30动点P在平面区域C1：x2+y22（|x|+|y|）内，动点Q在曲线C2：（x4）2+（y4）2=1上，则平面区域C1的面积为 ；|PQ|的最小值为 31点P是直线x+y2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小值为 32若实数x，y满足x2+x+y2+y=0，则x+y的范围是 33在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x+1）2+（y6）2=25，圆C2：（x17）2+（y30）2=r2若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A、B，满足PA=2AB，则半径r的取值范围是 三解答题（共17小题）34已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x2）2+（y3）2=1交于点M、N两点（1）求k的取值范围；（2）若=12，其中O为坐标原点，求|MN|35已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y26x+5=0相交于不同的两点A，B（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由36已知点P（2，2），圆C：x2+y28y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及POM的面积37已知，圆C：x2+y28y+12=0，直线l：ax+y+2a=0（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程38在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x26x+1与坐标轴的交点都在圆C上（）求圆C的方程；（）若圆C与直线xy+a=0交与A，B两点，且OAOB，求a的值39已知圆M过C（1，1），D（1，1）两点，且圆心M在x+y2=0上（）求圆M的方程；（）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值40已知圆C：x2+y2+2x3=0（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使CDE的面积最大41如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y212x14y+60=0及其上一点A（2，4）（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围42已知圆C的方程为x2+（y4）2=4，点O是坐标原点直线l：y=kx与圆C交于M，N两点（）求k的取值范围；（）设Q（m，n）是线段MN上的点，且请将n表示为m的函数43已知圆C：x2+（y2）2=5，直线l：mxy+1=0（1）求证：对mR，直线l与圆C总有两个不同交点；（2）若圆C与直线相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程44在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y1）2=4和圆C2：（x4）2+（y5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标45已知圆满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；圆心到直线l：x2y=0的距离为求该圆的方程46已知点G（5，4），圆C1：（x1）2+（y4）2=25，过点G的动直线l与圆C1相交于E、F两点，线段EF的中点为C（1）求点C的轨迹C2的方程；（2）若过点A（1，0）的直线l1与C2相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M；又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，求证|AM|AN|为定值47已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l1：xy2=0相切，点R（1，1）（）过点G（1，3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N，求直线MN的方程；（）若与直线l1垂直的直线l与圆C交于不同的两点P，Q，且PRQ为钝角，求直线l的纵截距的取值范围48已知圆C的圆心在直线y=x2上（）若圆经过A（3，2）和B（0，5）两点（i）求圆C的方程；（ii）设圆C与y轴另一交点为P，直线l过点P且与圆C相切设D是圆C上异于P，B的动点，直线BD与直线l交于点R试判断以PR为直径的圆与直线CD的位置关系，并说明理由；（）设点M（0，3），若圆C半径为3，且圆C上存在点N，使|MN|=2|NO|，求圆心C的横坐标的取值范围49在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，3）为OAB的直角顶点已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零（1）求向量的坐标；（2）求圆x26x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程；（3）是否存在实数a，使抛物线y=ax21上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围50已知直线l：y=x+2被圆C：（x3）2+（y2）2=r2（r0）截得的弦AB的长等于该圆的半径（1）求圆C的方程；（2）已知直线m：y=x+n被圆C：（x3）2+（y2）2=r2（r0）截得的弦与圆心构成三角形CDE若CDE的面积有最大值，求出直线m：y=x+n的方程；若CDE的面积没有最大值，说明理由必修二第四章圆与方程知识点与常考题(附解析)参考答案与试题解析一选择题（共25小题）1已知圆x2+y2+2x2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A2B4C6D8【解答】解：圆x2+y2+2x2y+a=0 即 （x+1）2+（y1）2=2a，故弦心距d=再由弦长公式可得 2a=2+4，a=4，故选：B2一条光线从点（2，3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A或B或C或D或【解答】解：点A（2，3）关于y轴的对称点为A（2，3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x2），化为kxy2k3=0反射光线与圆（x+3）2+（y2）2=1相切，圆心（3，2）到直线的距离d=1，化为24k2+50k+24=0，k=或故选：D3圆x2+y22x8y+13=0的圆心到直线ax+y1=0的距离为1，则a=（）ABCD2【解答】解：圆x2+y22x8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y1=0的距离d=1，解得：a=，故选：A4平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A2x+y+5=0或2x+y5=0B2x+y+=0或2x+y=0C2xy+5=0或2xy5=0D2xy+=0或2xy=0【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y5=0故选：A5直线x+y=1与圆x2+y22ay=0（a0）没有公共点，则a的取值范围是（）A（0，）B（，）C（，）D（0，）【解答】解：把圆x2+y22ay=0（a0）化为标准方程为x2+（ya）2=a2，所以圆心（0，a），半径r=a，由直线与圆没有公共点得到：圆心（0，a）到直线x+y=1的距离d=r=a，当a10即a1时，化简为a1a，即a（1）1，因为a0，无解；当a10即0a1时，化简为a+1a，即（+1）a1，a=1，所以a的范围是（0，1）故选：A6圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y25=0的距离的最小值是（）A6B4C5D1【解答】解：圆的圆心坐标（0，0），到直线3x+4y25=0的距离是，所以圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y25=0的距离的最小值是51=4故选：B7已知圆M：x2+y22ay=0（a0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x1）2+（y1）2=1的位置关系是（）A内切B相交C外切D相离【解答】解：圆的标准方程为M：x2+（ya）2=a2 （a0），则圆心为（0，a），半径R=a，圆心到直线x+y=0的距离d=，圆M：x2+y22ay=0（a0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，2=2=2=2，即=，即a2=4，a=2，则圆心为M（0，2），半径R=2，圆N：（x1）2+（y1）2=1的圆心为N（1，1），半径r=1，则MN=，R+r=3，Rr=1，RrMNR+r，即两个圆相交故选：B8已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）ABCD【解答】解：因为ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P（1，p），由PA=PB得|p|=，得p=圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|=，故选：B9设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A4BC8D【解答】解：两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内，设两个圆的圆心的坐标分别为（a，a），（b，b），由于两圆都过点（4，1），则有=|a|，|=|b|，故a和b分别为（x4）2+（x1）2=x2 的两个实数根，即a和b分别为x210x+17=0 的两个实数根，a+b=10，ab=17，（ab）2=（a+b）24ab=32，两圆心的距离|C1C2|=8，故选：C10圆（x1）2+（y2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（）A（x2）2+（y1）2=1B（x+1）2+（y2）2=1C（x+2）2+（y1）2=1D（x1）2+（y+2）2=1【解答】解：点P（x，y）关于直线y=x对称的点为P（y，x），（1，2）关于直线y=x对称的点为（2，1），圆（x1）2+（y2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（x2）2+（y1）2=1故选：A11若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y26x8y+m=0外切，则m=（）A21B19C9D11【解答】解：由C1：x2+y2=1，得圆心C1（0，0），半径为1，由圆C2：x2+y26x8y+m=0，得（x3）2+（y4）2=25m，圆心C2（3，4），半径为圆C1与圆C2外切，解得：m=9故选：C12过点P（，1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A（0，B（0，C0，D0，【解答】解：由题意可得点P（，1）在圆x2+y2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为 y+1=k（x+），即 kxy+k1=0根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得 1，即 3k22k+1k2+1，解得0k，故直线l的倾斜角的取值范围是0，故选：D13如果实数x，y满足（x2）2+y2=3，那么的最大值是（）ABCD【解答】解：设=k，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角EOC的正切值易得|OC|=2，|CE|=，可由勾股定理求得|OE|=1，于是可得到k=，即为的最大值故选：C14设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得OMN=45，则x0的取值范围是（）A1，1B，C，D，【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得OMN=45，则OMN的最大值大于或等于45时一定存在点N，使得OMN=45，而当MN与圆相切时OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M到M之间的区域满足MN=1，x0的取值范围是1，1故选：A15已知圆C：（x3）2+（y4）2=1和两点A（m，0），B（m，0）（m0），若圆C上存在点P，使得APB=90，则m的最大值为（）A7B6C5D4【解答】解：圆C：（x3）2+（y4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，圆心C到O（0，0）的距离为5，圆C上的点到点O的距离的最大值为6再由APB=90可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m6，故选：B16从圆x22x+y22y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）ABCD0【解答】解：圆x22x+y22y+1=0的圆心为M（1，1），半径为1，从外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于，每条切线与PM的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为，该角的余弦值等于，故选：B17已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A（x+2）2+（y+1）2=5B（x2）2+（y1）2=10C（x2）2+（y1）2=5D（x+2）2+（y+1）2=10【解答】解：圆的直径为线段PQ，圆心坐标为（2，1）半径r=圆的方程为（x2）2+（y1）2=5故选：C18已知圆C1：（x2）2+（y3）2=1，圆C2：（x3）2+（y4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A1B54C62D【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|31=4=4=54故选：B19设m，nR，若直线（m+1）x+（n+1）y2=0与圆（x1）2+（y1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A1，1+B（，11+，+）C22，2+2D（，222+2，+）【解答】解：由圆的方程（x1）2+（y1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，直线（m+1）x+（n+1）y2=0与圆相切，圆心到直线的距离d=1，整理得：m+n+1=mn，设m+n=x，则有x+1，即x24x40，x24x4=0的解为：x1=2+2，x2=22，不等式变形得：（x22）（x2+2）0，解得：x2+2或x22，则m+n的取值范围为（，222+2，+）故选：D20在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y4=0相切，则圆C面积的最小值为（）ABC（62）D【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y4=0于F，则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y4=0的距离为：d=，此时r=圆C的面积的最小值为：Smin=（）2=故选：A21若圆C：x2+y2+2x4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A2B3C4D6【解答】解：圆C：x2+y2+2x4y+3=0化为（x+1）2+（y2）2=2，圆的圆心坐标为（1，2）半径为圆C：x2+y2+2x4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，所以（1，2）在直线上，可得2a+2b+6=0，即a=b+3点（a，b）与圆心的距离，所以点（a，b）向圆C所作切线长：=4，当且仅当b=1时弦长最小，为4故选：C22过点（3，1）作圆（x1）2+y2=r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（）A2x+y5=0B2x+y7=0Cx2y5=0Dx2y7=0【解答】解：如图，过点（3，1）作圆（x1）2+y2=r2的切线有且只有一条，点（3，1）在圆（x1）2+y2=r2上，连接圆心与切点连线的斜率为k=，切线的斜率为2，则圆的切线方程为y1=2（x3），即2x+y7=0故选：B23若直线y=k（x4）与曲线y=有公共点，则（）Ak有最大值，最小值Bk有最大值，最小值Ck有最大值0，最小值D.k有最大值0，最小值【解答】解：由题意，直线y=k（x4）与曲线y=相切时，=2，即k=时，k取到最小值；当k=0时，直线方程为y=0，此时k取到最大值故选：C24若圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）ABCD【解答】解：圆x2+y24x4y10=0整理为，圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，直线l的倾斜角的取值范围是，故选：B25已知圆的方程为x2+y26x8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A10B20C30D40【解答】解：圆的标准方程为（x3）2+（y4）2=52，由题意得最长的弦|AC|=25=10，根据勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且ACBD，四边形ABCD的面积S=|AC|BD|=104=20故选：B二填空题（共8小题）26在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mxy2m1=0（mR）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x1）2+y2=2【解答】解：圆心到直线的距离d=，m=1时，圆的半径最大为，所求圆的标准方程为（x1）2+y2=2故答案为：（x1）2+y2=227若直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）相交于A，B两点，且AOB=120，（O为坐标原点），则r=2【解答】解：若直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）交于A、B两点，O为坐标原点，且AOB=120，则圆心（0，0）到直线3x4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案为：228已知aR，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是（2，4），半径是5【解答】解：方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，a2=a+20，解得a=1或a=2当a=1时，方程化为x2+y2+4x+8y5=0，配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（2，4），半径为5；当a=2时，方程化为，此时，方程不表示圆，故答案为：（2，4），529已知直线l：mx+y+3m=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4【解答】解：由题意，|AB|=2，圆心到直线的距离d=3，=3，m=直线l的倾斜角为30，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，|CD|=4故答案为：430动点P在平面区域C1：x2+y22（|x|+|y|）内，动点Q在曲线C2：（x4）2+（y4）2=1上，则平面区域C1的面积为8+4；|PQ|的最小值为【解答】解：C1：由x2+y22|x|2|y|0，得，或，或，或C1面积为=8+4AB=，PQ最小值为故答案为：8+4，231点P是直线x+y2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小值为【解答】解：圆心（0，0）到直线x+y2=0的距离d=再由dr=1，知最小距离为1故答案为：32若实数x，y满足x2+x+y2+y=0，则x+y的范围是2，0【解答】解：实数x，y满足x2+x+y2+y=0，（x+）2+（y+）2=，即2（x+）2+2（y+）2=1，令（x+）=cos，（y+）=sin，x=，y=，x+y=sin（）12，0，故x+y的范围是2，0，故答案为：2，033在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x+1）2+（y6）2=25，圆C2：（x17）2+（y30）2=r2若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A、B，满足PA=2AB，则半径r的取值范围是5，55【解答】解：圆C1：（x+1）2+（y6）2=25，圆心（1，6）；半径为：5圆C2：（x17）2+（y30）2=r2圆心（17，30）；半径为：r两圆圆心距为：=30如图：PA=2AB，可得AB的最大值为直径，此时C2A=20，r0当半径扩大到55时，此时圆C2上只有一点到C1的距离为25，而且是最小值，半径再大，没有点满足PA=2ABr5，55故答案为：5，55三解答题（共17小题）34已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x2）2+（y3）2=1交于点M、N两点（1）求k的取值范围；（2）若=12，其中O为坐标原点，求|MN|【解答】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kxy+1=0由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1故由1，故当k，过点A（0，1）的直线与圆C：（x2）2+（y3）2=1相交于M，N两点（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x2）2+（y3）2=1，可得 （1+k2）x24（k+1）x+7=0，x1+x2=，x1x2=，y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=k2+k+1=，由=x1x2+y1y2=12，解得 k=1，故直线l的方程为 y=x+1，即 xy+1=0圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径所以|MN|=235已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y26x+5=0相交于不同的两点A，B（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由【解答】解：（1）圆C1：x2+y26x+5=0，整理，得其标准方程为：（x3）2+y2=4，圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x26x+5=0，由=364（1+k2）50，可得k2由韦达定理，可得x1+x2=，线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中k，线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x）2+y2=，其中x3；（3）结论：当k（，），时，直线L：y=k（x4）与曲线C只有一个交点理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2（3+8k2）x+16k2=0，令=（3+8k2）24（1+k2）16k2=0，解得k=，又轨迹C的端点（，）与点（4，0）决定的直线斜率为，当直线L：y=k（x4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为，36已知点P（2，2），圆C：x2+y28y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及POM的面积【解答】解：（1）由圆C：x2+y28y=0，得x2+（y4）2=16，圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4设M（x，y），则，由题意可得：即x（2x）+（y4）（2y）=0整理得：（x1）2+（y3）2=2M的轨迹方程是（x1）2+（y3）2=2（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPMkON=3，直线l的斜率为直线PM的方程为，即x+3y8=0则O到直线l的距离为又N到l的距离为，|PM|=37已知，圆C：x2+y28y+12=0，直线l：ax+y+2a=0（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程【解答】解：将圆C的方程x2+y28y+12=0配方得标准方程为x2+（y4）2=4，则此圆的圆心为（0，4），半径为2（1）若直线l与圆C相切，则有解得（2）联立方程并消去y，得（a2+1）x2+4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）=0设此方程的两根分别为x1、x2，所以x1+x2=，x1x2=则AB=2两边平方并代入解得：a=7或a=1，直线l的方程是7xy+14=0和xy+2=0另解：圆心到直线的距离为d=，AB=2=2，可得d=，解方程可得a=7或a=1，直线l的方程是7xy+14=0和xy+2=038在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x26x+1与坐标轴的交点都在圆C上（）求圆C的方程；（）若圆C与直线xy+a=0交与A，B两点，且OAOB，求a的值【解答】解：（）法一：曲线y=x26x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（32，0）可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t1）2=（2）2+t2，解得t=1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x3）2+（y1）2=9法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0x=0，y=1有1+E+F=0y=0，x2 6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=6，F=1，E=2，即圆方程为x2+y26x2y+1=0（）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程2x2+（2a8）x+a22a+1=0，由已知可得判别式=5616a4a20在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2=4a，x1x2=，由于OAOB可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0由可得a=1，满足=5616a4a20故a=139已知圆M过C（1，1），D（1，1）两点，且圆心M在x+y2=0上（）求圆M的方程；（）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值【解答】解：（1）设圆M的方程为：（xa）2+（yb）2=r2（r0），根据题意得，解得：a=b=1，r=2，故所求圆M的方程为：（x1）2+（y1）2=4；（2）由题知，四边形PAMB的面积为S=SPAM+SPBM=（|AM|PA|+|BM|PB|）又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，而|PA|2=|PM|2|AM|2=|PM|24，即S=2因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min=3，所以四边形PAMB面积的最小值为2=240已知圆C：x2+y2+2x3=0（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使CDE的面积最大【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，当且仅当，即时，CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=1，故所求直线方程为xy+3=0或xy1=0解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以2，当且仅当CDCE时，CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=1，故所求直线方程为xy+3=0或xy1=041如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y212x14y+60=0及其上一点A（2，4）（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围【解答】解：（1）N在直线x=6上，设N（6，n），圆N与x轴相切，圆N为：（x6）2+（yn）2=n2，n0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y212x14y+60=0，即圆M：（x6）2+（x7）2=25，|7n|=|n|+5，解得n=1，圆N的标准方程为（x6）2+（y1）2=1（2）由题意得OA=2，kOA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d=，则|BC|=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=15，直线l的方程为：y=2x+5或y=2x15（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（2，4），T（t，0），点Q在圆M上，（x26）2+（y27）2=25，将代入，得（x1t4）2+（y13）2=25，点P（x1，y1）即在圆M上，又在圆x（t+4）2+（y3）2=25上，从而圆（x6）2+（y7）2=25与圆x（t+4）2+（y3）2=25有公共点，555+5解得22t，实数t的取值范围是22，2+242已知圆C的方程为x2+（y4）2=4，点O是坐标原点直线l：y=kx与圆C交于M，N两点（）求k的取值范围；（）设Q（m，n）是线段MN上的点，且请将n表示为m的函数【解答】解：（）将y=kx代入x2+（y4）2=4中，得：（1+k2）x28kx+12=0（*），根据题意得：=（8k）24（1+k2）120，即k23，则k的取值范围为（，）（，+）；（）由M、N、Q在直线l上，可设M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），|OM|2=（1+k2）x12，|ON|2=（1+k2）x22，|OQ|2=m2+n2=（1+k2）m2，代入=+得：=+，即=+=，由（*）得到x1+x2=，x1x2=，代入得：=，即m2=，点Q在直线y=kx上，n=km，即k=，代入m2=，化简得5n23m2=36，由m2=及k23，得到0m23，即m（，0）（0，），根据题意得点Q在圆内，即n0，n=，则n与m的函数关系式为n=（m（，0）（0，）43已知