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两点之间线段最短的探究与再思考初一上学期,我们学习了两点之间线段最短的知识,并利用它作了一节课,相信大家对它还是记忆犹新的。自从那次课后,不知大家有没有进行更深的思考,小人不才,愿用这贫乏的文字,说一说我的想法。探究问题一:已知,A,B在直线L的两侧,在L上求一点,使得PA+PB最小。(如图所示)解:根据两点之间线段最短的基本概念,只用连接AB即可轻松的得到答案。如图所示。线段AB与直线L的交点,就是题目要求的点P。总结:本题虽然十分简单,但却是所有有关本类题目难题的基础,是必须要牢记与掌握的。下面一题,就是上一题的变形,你还会做吗?探究问题二:已知,A,B在直线L的同一侧,在L上求一点,使得PA+PB最小。(如图所示)解:本题的难点不在于解题过程,而在于解题的思想,往往大家不能正确的找到解题的思路。那么,我就在此抛砖引玉,说说我的看法。首先,作点B关于L的对称点B,(如图所示),因为OB=OB,BOP=B,OP=OP,所以OPBOPB。所以,PB=PB。因此,求AP+BP就相当于求AP+PB。这样,复杂的问题便通过转化变得简单,成了探究问题一。因此只用连接AB即可,与直线L的交点,就是题目要求的点P。结论:我们完全也可以把以上的结论当作一个模块牢记下来,成为自己解题的方法之一。探究问题三:A是锐角MON内部任意一点,在MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形,使三角形周长最小。(如图所示)解:利用探究问题二的结论,作A与OM的对称点D,再作A与ON的对称点E。连接DE(如图所示),据上题铺垫,我们可得,AB=BD,AC=CE,又因为D,B,C,E在一条直线上,所以,这时的周长是最短的。总结:本题可总结为“三角形的一点决定”。下面我们看一看四边形一边确定。探究问题四:AB是锐角MON内部一条线段,在角MON的两边OM,ON上各取一点C,D组成四边形,使四边形周长最小。(如图所示)解:有了上一题的铺垫,本题似乎简单了许多,作A关于OM的对称点E,再作B关于ON的对称点F,连接EF即可。如图。ABCD便是周长最小的。(2)下面我把上一题简单变形,把锐角变为直角,大家再看,本图有没有似曾相识之感?对了,我们见过的,只用把两条直角边所在直线看作是一个平面直角坐标系,再把AB两点固定位置,这样,就变为了月考附加题中的最后一题。原题:在直角坐标系中,有四个点A(-8,3)、B(-4,5)、C(0, n)、D(m,o),当四边形ABCD的周长最短时,求m/n的值。解:依题意画图得:由探究问题四得知,作B关于Y轴的对称点B,A关于X轴的对称点A。连接AB,他们与X轴,Y轴的交点便为所求。如图所示,过A与B两点的直线的函数解析式可求。设过A与B两点的直线的函数解析式为y=kx+b.依题意得:-8k+b=-3,
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