高考数学一轮复习 第六章 不等式 6.5 绝对值不等式课件.ppt

第六章不等式 6 5绝对值不等式 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想与方法系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 绝对值三角不等式 1 定理1 如果a b是实数 则 a b 当且仅当时 等号成立 2 定理2 如果a b c是实数 那么 当且仅当时 等号成立 a b ab 0 a c a b b c a b b c 0 知识梳理 1 答案 2 绝对值不等式的解法 1 含绝对值的不等式 x a的解集 a a 答案 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c ax b c 3 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法 利用绝对值不等式的几何意义求解 体现了数形结合的思想 利用 零点分段法 求解 体现了分类讨论的思想 通过构造函数 利用函数的图象求解 体现了函数与方程的思想 c ax b c ax b c或ax b c 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 x 2 的几何意义是数轴上坐标为x的点到点2的距离 2 x a的解集是 x x a或x a b 成立 思考辨析 答案 1 2015 山东 不等式 x 1 x 5 2的解集是 a 4 b 1 c 1 4 d 1 5 解析 当x 1时 原不等式可化为1 x 5 x 2 4 2 不等式恒成立 x 1 当1 x 5时 原不等式可化为x 1 5 x 2 x 4 1 x 4 当x 5时 原不等式可化为x 1 x 5 2 该不等式不成立 综上 原不等式的解集为 4 a 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 不等式 x 1 x 2 k的解集为r 则实数k的取值范围为 a 3 b 3 c 1 d 0 解析根据绝对值的几何意义 设数x 1 2在数轴上对应的点分别为p a b 则原不等式等价于 pa pb k恒成立 ab 3 即 x 1 x 2 3 故当k 3时 原不等式恒成立 b 解析答案 1 2 3 4 5 3 若存在实数x使 x a x 1 3成立 则实数a的取值范围是 a 2 4 b 1 2 c 2 4 d 4 2 解析 x a x 1 x a x 1 a 1 要使 x a x 1 3有解 可使 a 1 3 3 a 1 3 2 a 4 c 解析答案 1 2 3 4 5 4 2015 重庆 若函数f x x 1 2 x a 的最小值为5 则实数a 解析由于f x x 1 2 x a 当a 1时 作出f x 的大致图象如图所示 由函数f x 的图象可知f a 5 即a 1 5 a 4 同理 当a 1时 a 1 5 a 6 4或 6 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 返回 解析设y 2x 1 x 2 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 例1 2015 课标全国 已知函数f x x 1 2 x a a 0 1 当a 1时 求不等式f x 1的解集 解当a 1时 f x 1化为 x 1 2 x 1 1 0 当x 1时 不等式化为x 4 0 无解 当x 1时 不等式化为 x 2 0 解得1 x 2 绝对值不等式的解法 题型一 解析答案 2 若f x 的图象与x轴围成的三角形面积大于6 求a的取值范围 所以a的取值范围为 2 解析答案 思维升华 解绝对值不等式的基本方法有 1 利用绝对值的定义 通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式 2 当不等式两端均为正号时 可通过两边平方的方法 转化为解不含绝对值符号的普通不等式 3 利用绝对值的几何意义 数形结合求解 思维升华 1 不等式 x 1 x 2 5的解集为 跟踪训练1 解析答案 解析方法一要去掉绝对值符号 需要对x与 2和1进行大小比较 2和1可以把数轴分成三部分 当x 2时 不等式等价于 x 1 x 2 5 解得x 3 当 2 x 1时 不等式等价于 x 1 x 2 5 即3 5 无解 当x 1时 不等式等价于x 1 x 2 5 解得x 2 综上 不等式的解集为 x x 3或x 2 方法二 x 1 x 2 表示数轴上的点x到点1和点 2的距离的和 如图所示 数轴上到点1和点 2的距离的和为5的点有 3和2 故满足不等式 x 1 x 2 5的x的取值为x 3或x 2 所以不等式的解集为 x x 3或x 2 答案 x x 3或x 2 又 a n a 1 1 解析答案 例2 1 对任意x y r x 1 x y 1 y 1 的最小值为 a 1b 2c 3d 4解析 x y r x 1 x x 1 x 1 y 1 y 1 y 1 y 1 2 x 1 x y 1 y 1 1 2 3 x 1 x y 1 y 1 的最小值为3 c 利用绝对值不等式求最值 题型二 解析答案 2 对于实数x y 若 x 1 1 y 2 1 则 x 2y 1 的最大值为 解析 x 2y 1 x 1 2 y 1 x 1 2 y 2 2 1 2 y 2 2 5 即 x 2y 1 的最大值为5 5 解析答案 思维升华 求含绝对值的函数最值时 常用的方法有三种 1 利用绝对值的几何意义 2 利用绝对值三角不等式 即 a b a b a b 3 利用零点分区间法 思维升华 1 关于x的不等式 2014 x 2015 x d有解时 d的取值范围是 解析 2014 x 2015 x 2014 x 2015 x 1 关于x的不等式 2014 x 2015 x d有解时 d 1 1 跟踪训练2 解析答案 又 siny的最大值为1 有 a 2 1 解得a 1 3 1 3 解析答案 例3设函数f x x 3 x 1 x r 1 解不等式f x 1 解 函数f x x 3 x 1 绝对值不等式的综合应用 题型三 解析答案 2 设函数g x x a 4 且g x f x 在x 2 2 上恒成立 求实数a的取值范围 解析答案 思维升华 解函数g x f x 在x 2 2 上恒成立 即 x a 4 x 3 x 1 在x 2 2 上恒成立 在同一个坐标系中画出函数f x 和g x 的图象 如图所示 故当x 2 2 时 若0 a 4时 则函数g x 在函数f x 的图象的下方 g x f x 在x 2 2 上恒成立 求得 4 a 0 故所求的实数a的取值范围为 4 0 思维升华 1 解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值 化为分段函数来解决 2 数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法 思维升华 已知函数f x x a x 2 1 当a 3时 求不等式f x 3的解集 当x 2时 由f x 3得 2x 5 3 解得x 1 当2 x 3时 f x 3无解 当x 3时 由f x 3得2x 5 3 解得x 4 所以f x 3的解集为 x x 1或x 4 跟踪训练3 解析答案 2 若f x x 4 的解集包含 1 2 求a的取值范围 解f x x 4 x 4 x 2 x a 当x 1 2 时 x 4 x 2 x a 4 x 2 x x a 2 a x 2 a 由条件得 2 a 1且2 a 2 即 3 a 0 故满足条件的a的取值范围为 3 0 解析答案 返回 思想与方法系列 典例不等式 x 1 x 1 3的解集为 思维点拨本题不等式为 x a x b c型不等式 解此类不等式有三种方法 几何法 分区间 分类 讨论法和图象法 思想与方法系列 13 绝对值不等式的解法 思维点拨 解析答案 返回 温馨提醒 解析方法一如图所示 设数轴上与 1 1对应的点分别为a b 那么a b两点的距离和为2 因此区间 1 1 上的数都不是不等式的解 设在a点左侧有一点a1 到a b两点的距离和为3 a1对应数轴上的x 从数轴上可看到 点a1 b1之间的点到a b的距离之和都大于3 点a1的左边或点b1的右边的任何点到a b的距离之和都大于3 解析答案 方法二当x 1时 原不等式可化为 当 1 x 1时 原不等式可以化为x 1 x 1 3 即2 3 不成立 无解 当x 1时 原不等式可以化为 解析答案 方法三将原不等式转化为 x 1 x 1 3 0 构造函数y x 1 x 1 3 作出函数的图象 如图所示 解析答案 即 x 1 x 1 3 0 温馨提醒 这三种方法是解 x a x b c型不等式常用的方法 方法一中关键是找到特殊点 方法二中的分类讨论要遵循 不重不漏 的原则 方法三则要准确画出函数图象 并准确找出零点 返回 温馨提醒 思想方法感悟提高 1 绝对值不等式的三种常用解法 零点分段法 数形结合法 构造函数法 2 可以利用绝对值三角不等式定理 a b a b a b 求函数最值 要注意其中等号成立的条件 3 不等式恒成立问题 存在性问题都可以转化为最值问题解决 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 不等式 2x 1 3的解集是 a 1 2 b 1 2 c 2 1 d 2 2 解析 2x 1 3 3 2x 1 3 1 x 2 b 解析答案 2 不等式 2x 1 x 2 1 d x x1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析方法一原不等式即为 2x 1 x 2 4x2 4x 1 x2 4x 4 3x2 3 1 x 1 方法二原不等式等价于不等式组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 综上得 1 x 1 所以原不等式的解集为 x 1 x 1 答案a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 函数y x 1 x 3 的最小值为 a 1b 2c 3d 4解析y x 1 x 3 1 x x 3 1 x x 3 4 当且仅当 1 x x 3 0 即 3 x 1时取 当 3 x 1时 函数y x 1 x 3 取得最小值为4 d 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 在实数范围内 不等式 x 2 1 1 x r 的解集是 a 0 4 b 0 2 c 0 4 d 2 2 解析由 x 2 1 1 得 1 x 2 1 1 即0 x 2 2 2 x 2 2 0 x 4 c 解析答案 5 若不等式 x 1 x 2 a无实数解 则a的取值范围是 解析由绝对值的几何意义知 x 1 x 2 的最小值为3 而 x 1 x 2 a无解 a 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 不等式log3 x 4 x 5 a对于一切x r恒成立 则实数a的取值范围是 解析由绝对值的几何意义知 x 4 x 5 9 则log3 x 4 x 5 2 所以要使不等式log3 x 4 x 5 a对于一切x r恒成立 则需a 2 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 已知f x x 3 g x x 7 m 若函数f x 的图象恒在函数g x 图象的上方 则m的取值范围是 解析由题意 可得不等式 x 3 x 7 m 0恒成立 即 x 3 x 7 min m 由于x轴上的点到点 3 0 和点 7 0 的距离之和的最小值为4 所以要使不等式恒成立 则m 4 4 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 若不等式 3x b 4的解集中的整数有且仅有1 2 3 则b的取值范围为 解析由 3x b 4得 4 3x b 4 不等式 3x b 4的解集中的整数有且仅有1 2 3 5 7 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 设函数f x 2x 1 x 4 1 解不等式f x 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法二f x 2x 1 x 4 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 画出f x 的图象 如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求函数y f x 的最小值 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 已知函数f x x 3 x 2 1 求不等式f x 3的解集 解f x x 3 x 2 3 当x 2时 有x 3 x 2 3 解得x 2 当x 3时 x 3 x 2 3 解得x 当 3 x 2时 有2x 1 3 解得1 x 2 综上 f x 3的解集为 x x 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若f x a 4 有解 求a的取值范围 解由绝对值不等式的性质可得 x 3 x 2 x 3 x 2 5 则有 5 x 3 x 2 5 若f x a 4 有解 则 a 4 5 解得 1 a 9 所以a的取值范围是 1 9 解析答案 11 若不存在实数x使 x 3 x 1 a成立 则实数a的取值集合是 a 1 3 b 2 c 0 2 d 1 解析 x 3 x 1 的几何意义为数轴上表示x的点到表示3和1的点的距离之和 所以函数y x 3 x 1 的最小值为2 实数a的取值集合是 a a 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 若不等式 kx 4 2的解集为 x 1 x 3 则实数k等于 a 1b 2c 3d 4解析 kx 4 2 2 kx 4 2 2 kx 6 不等式的解集为 x 1 x 3 k 2 b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 设函数f x 2