2019版高考数学复习第七章立体几何第41讲直线平面平行的判定及其性质学案.docx

第41讲直线、平面平行的判定及其性质考纲要求考情分析命题趋势1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题.2017江苏卷，152016全国卷，142016四川卷，18与直线、平面平行有关的命题判断；线线平行的证明；线面平行的证明；面面平行的证明；由线面平行或面面平行探求动点的位置.分值：46分1直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与_此平面内_的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)_la_，_a_，_l_l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的_交线_与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)_l_，_l_，_b_lb2平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条_相交直线_与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)_a_，_b_，_abP_，_a，_b_性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面_相交_，那么它们的_交线_平行_，_a_，_b_ab1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()(3)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.()(4)平行于同一平面的两条直线平行()(5)若，且直线a，则直线a.()解析 (1)错误当这两条直线为相交直线时，才能保证这两个平面平行(2)正确如果两个平面平行，则在这两个平面内的直线没有公共点，则它们平行或异面(3)错误若直线a与平面内无数条直线平行，则a或a.(4)错误两条直线平行或相交或异面(5)错误直线a或直线a.2下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是(D)A一个平面内的一条直线平行于另一个平面B一个平面内的两条直线平行于另一个平面C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析 由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故D正确3(2016全国卷)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为(A)ABCD解析 如图，延长B1A1至A2，使A2A1B1A1，延长D1A1至A3，使A3A1D1A1，连接AA2，AA3，A2A3，A1B，A1D易证AA2A1BD1C，AA3A1DB1C平面AA2A3平面CB1D1，即平面AA2A3为平面.于是mA2A3，直线AA2即为直线n.显然有AA2AA3A2A3，于是m，n所成的角为60，其正弦值为.选A4已知直线a，b，平面，则以下三个命题：若ab，b，则a；若ab，a，则b；若a，b，则ab.其中真命题的个数是(A)A0B1C2D3解析 对于命题，若ab，b，则应有a或a，所以不正确；对于命题，若ab，a，则应有b或b，因此也不正确；对于命题，若a，b，则应有ab或a与b相交或a与b异面，因此也不正确5在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_平行_.解析 如图连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OEBD1，而OE平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1平面ACE.一直线与平面平行的判定与性质判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)(3)利用面面平行的性质定理(，aa)(4)利用面面平行的性质(，a，a，aa)【例1】 (2017江苏卷)如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC解析 (1)在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC(2)因为平面ABD平面BCD，平面ADB平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD因为AD平面ADB，所以BCAD又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC又因为AC平面ABC，所以ADAC二平面与平面平行的判定与性质判定面面平行的四种方法(1)利用定义，即证两个平面没有公共点(不常用)(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)【例2】 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明 (1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)E，F分别是AB，AC的中点，EFBCEF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1GEB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGBA1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.三空间平行关系的探索性问题解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个等分点，然后给出符合要求的证明【例3】 如图所示，四边形ABCD为矩形，DA平面ABE, AEEBBC2，BF平面ACE于点F，且点F在线段CE上(1)求证：AEBE；(2)设点M在线段AB上，且满足AM2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN平面ADE.解析 (1)证明：由DA平面ABE及ADBC，得BC平面ABE，又AE平面ABE，所以AEBC，因为BF平面ACE，AE平面ACE，所以BFAE，又BCBFB，BC，BF平面BCE，所以AE平面BCE.因为BE平面BCE，故AEBE.(2)在ABE中，过点M作MGAE交BE于点G，在BEC中，过点G作GNBC交CE于点N，连接MN，则由，得CNCE.因为MGAE，AE平面ADE，MG平面ADE，所以MG平面ADE，又GNBC，BCAD，AD平面ADE，GN平面ADE，所以GN平面ADE，又MGGNG，所以平面MGN平面ADE，因为MN平面MGN，所以MN平面ADE.故当点N为线段CE上靠近C的一个三等分点时，MN平面ADE.1有下列命题：若直线l平行于平面内的无数条直线，则直线l；若直线a在平面外，则a；若直线ab，b，则a；若直线ab，b，则a平行于平面内的无数条直线其中真命题的个数是(A)A1B2C3D4解析 命题，l可以在平面内，不正确；命题，直线a与平面可以是相交关系，不正确；命题，a可以在平面内，不正确；命题正确2已知m，n是两条直线，是两个平面，给出下列命题：若n，n，则；若平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则；若m，n为异面直线，n，n，m，m，则.其中正确命题的个数是(B)A3B2C1D0解析 若n，n，则n为平面与的公垂线，则，故正确；若平面上有不共线的三点到平面的距离相等，三点可能在平面的异侧，此时与相交，故错误；若n，m为异面直线n，n，m，m，根据面面平行的判定定理，可得正确故选B3如图，已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABCD，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDCAB1，M是PB的中点(1)求证：AMCM；(2)若N是PC的中点，求证：DN平面AMC证明 (1)在直角梯形ABCD中，ADDCAB1，AC，BC，AB2，则AC2BC2AB2，BCAC，又PA平面ABCD，BC平面ABCD，BCPA，又PAACA，BC平面PAC，BCPC在RtPAB中，M为PB的中点，则AMPB，在RtPBC中，M为PB的中点，则CMPB，AMCM.(2)如图，连接DB交AC于点F，DCAB，DFFB取PM的中点G，连接DG，FM，则DGFM，又DG平面AMC，FM平面AMC，DG平面AMC连接GN，则GNMC，GN平面AMC，MC平面AMCGN平面AMC，又GNDGG，平面DNG平面AMC，又DN平面DNG，DN平面AMC4如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO?解析 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.证明如下：Q为CC1的中点，P为DD1的中点，QBPAP，O分别为DD1，DB的中点，D1BPO.又D1B平面PAO，PO平面PAO，QB平面PAO，PA平面PAO，D1B平面PAO，QB平面PAO，又D1BQBB，D1B，QB平面D1BQ，平面D1BQ平面PAO.易错点忽视判定定理和性质定理的使用条件错因分析：如下面的例子中，已知，a，b，那么a与b不一定平行，还可能异面【例1】 已知三个平面，满足，直线a与这三个平面依次交于点A，B，C，直线b与这三个平面依次交于点E，F，G，求证：.证明 (1)当a，b共面时，设a，b共面，连接AE，BF，CG.，AE，BF，CG，AEBFCG.据平行线分线段成比例可知；(2)当a，b异面时，如图(1)，连接AG交于点O，连接OB，OF.，面ACGOB，面ACGCG，OBCG，同理可得OFAE，.【跟踪训练1】 (2016四川卷)如图，在四棱锥PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由；(2)证明：平面PAB平面PBD解析 (1)取棱AD的中点M(M平面PAD)，点M即为所求的一个点理由如下：连接CM.因为ADBC，BCAD，所以BCAM，且BCAM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CMAB又AB平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB(2)证明：连接BM，由已知得，PAAB，PACD，因为ADBC，BCAD，所以直线AB与CD相交，所以PA平面ABCD从而PABD，因为ADBC，BCAD，所以BCMD，且BCMD所以四边形BCDM是平行四边形所以BMCDBC，BCDM是菱形，BDMC，又MCAB，所以BDAB又ABAPA，所以BD平面PAB又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD课时达标第41讲解密考纲对直线、平面平行的判定与性质定理的初步考查一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；综合应用直线、平面平行的判定与性质，常以解答题为主，难度中等一、选择题1(2018广东揭阳模拟)设两个不同的平面，两条不同的直线 a，b，且a，b，则“a，b”是“”的(B)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 因为“a，b”，若ab，则与不一定平行，反之若“”，则一定“a，b”，故选B2如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AEEBAFFD14，又H，G分别为BC，CD的中点，则(B)ABD平面EFGH，且四边形EFGH是矩形BEF平面BCD，且四边形EFGH是梯形CHG平面ABD，且四边形EFGH是菱形DEH平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形解析 由AEEBAFFD14知EFBD，所以EF平面BCD又H，G分别为BC，CD的中点，所以HGBD，所以EFHG且EFHG，所以四边形EFGH是梯形3设a，b表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题中正确的是(D)A若a且ab，则bB若且，则C若a且a，则D若且，则解析 对于A项，若a且ab，则b或b，故A项不正确；对于B项，若且，则或与相交，故B项不正确；对于C项，若a且a，则或与相交，故C项不正确排除A，B，C项，故选D4下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB 平面MNP的图形是(A)ABCD解析 由线面平行的判定定理知图可得出AB平面MNP.5已知a，b表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是(C)A若a，b，则 abB若ab，a，b，则C若ab，a，则b或bD若直线a与b异面，a，b，则解析 对于A项，a与b还可能相交或异面，此时a与b不平行，故A项不正确；对于B项，与可能相交，此时设m，则am，bm，故B项不正确；对于D项，与可能相交，如图所示，故D项不正确，故选C6已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列命题：n；mn；mn.其中所有正确命题的序号是(B)ABCD解析 不正确，n可能在内正确，垂直于同一平面的两直线平行正确，垂直于同一直线的两平面平行不正确，m，n可能为异面直线故选B二、填空题7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_.解析 因为直线EF平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C平面ABCDAC，所以EFAC，又E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EFAC，又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，所以AC2，所以EF.8(2018北京模拟)设，是三个不同平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：a，b；a，b；b，a.如果命题“a，b，且_，则ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_(把所有正确的题号填上)解析 可以，由a得a与没有公共点，由b，a，b知，a，b在面内，且没有公共点，故平行a，b不可以举出反例如下：使，b，a，则此时能有a，b，但不一定ab.这些条件无法确定两直线的位置关系可以，由b，a知，a，b无公共点，再由a，b，可得两直线平行9在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，Q为AD的中点，点M在线段PC上，PMtPC，PA平面MQB，则实数t_.解析 连接AC交BQ于N，交BD于O，连接MN，如图，则O为BD的中点又BQ为ABD边AD上中线，N为正ABD的中心令菱形ABCD的边长为a，则ACa，ANa.PA平面MQB，PA平面PAC，平面PAC平面MQBMNPAMN，PMPCANAC，即PMPC，t.三、解答题10如图，P是ABC所在平面外一点，A，B，C分别是PBC，PCA，PAB的重心求证：平面 A B C平面 ABC证明 连接PA，PC并延长，分别交BC，AB于M，N.A，C分别是PBC，PAB的重心，M，N分别是BC，AB的中点连接MN，由知ACMN，MN平面ABC，AC平面ABC同理，AB平面ABC，而AC和AB是平面ABC内的相交直线，平面ABC平面ABC11如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论解析 当点F为棱C1D1中点时，可使B1F平面A1B