陕西省西安一中高考数学自主命题模拟试卷 理（含解析）.doc

2015年陕西省西安一中高考 数学自主命题模拟试卷（理科）（二）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1设i为虚数单位，若=bi（a，br），则a+b=（） a 1 b 2 c 3 d 42若p，q都为命题，则“p或q为真命题”是“p且q为真命题”的（） a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件3已知三点a（1，1），b（3，1），c（1，4），则向量在向量方向上的投影为（） a b c d 4若一个底面是正三角形的三棱柱的正（主）视图如图所示，则其侧面积等于（） a 3 b 4 c 5 d 65如图程序框图中，若输入m=4，n=10，则输出a，i的值分别是（） a 12，4 b 16，5 c 20，5 d 24，66已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为（） a b c d 7如图，在等腰直角abo中，oa=ob=1，c为ab上靠近点a的四等分点，过c作ab的垂线l，p为垂线上任一点，则等于（） a b c d 8若函数，且f（）=2，f（）=0，|的最小值是，则f（x）的单调递增区间是（） a b c d 9设偶函数f（x）对任意xr都有f（x）=且当x时f（x）=4x，则f（119.5）=（） a 10 b 10 c d 10设f（x）是展开式的中间项，若f（x）mx在区间上恒成立，则实数m的取值范围是（） a （，5） b （，5 c （5，+） d 上的最大值（）当m=0时，试比较ef（x2）与g（x）的大小，并证明四、选做题【选修4-1：几何证明选讲】22如图，在abc中，cd是acb的角平分线，adc的外接圆交bc于点e，ab=2ac（）求证：be=2ad；（）当ac=3，ec=6时，求ad的长【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线c：sin2=2acos（a0），已知过点p（2，4）的直线l的参数方程为：，直线l与曲线c分别交于m，n（）写出曲线c和直线l的普通方程； （）若|pm|，|mn|，|pn|成等比数列，求a的值【选修4-5：不等式选讲】24已知函数f（x）=|x1|，（1）解关于x的不等式f（x）+x210（2）若g（x）=|x+3|+m，f（x）g（x）的解集非空，求实数m的取值范围2015年陕西省西安一中高考数学自主命题模拟试卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1设i为虚数单位，若=bi（a，br），则a+b=（） a 1 b 2 c 3 d 4考点： 复数相等的充要条件专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数的运算法则、复数相等即可得出解答： 解：=bi（a，br），a+2i=bi+1，a=1，2=b，则a+b=3故选：c点评： 本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题2若p，q都为命题，则“p或q为真命题”是“p且q为真命题”的（） a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 简易逻辑分析： 从两个方向来判断：先看p或q为真命题能否得到p且q为真命题，然后看p且q为真命题能否得到p或q为真命题，这样即可得出p或q为真命题是p且q为真命题的什么条件解答： 解：（1）若p或q为真命题，则：p，q中至少一个为真命题；可能是p为真命题，q为假命题；这时p且q为假命题；p或q为真命题不是p且q为真命题的充分条件；（2）若p且q为真命题，则：p假q真；p或q为真命题；p或q为真命题是p且q为真命题的必要条件；综上得“p或q为真命题”是“p且q为真命题”的必要不充分条件故选b点评： 考查p或q，p且q，p的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念3已知三点a（1，1），b（3，1），c（1，4），则向量在向量方向上的投影为（） a b c d 考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 先求出向量的坐标，由投影的定义便得到向量在向量方向上的投影为，从而根据向量的坐标求向量长度，求数量积即可解答： 解：=（2，3），；向量在向量方向上的投影为：cos=故选a点评： 考查投影的定义，及求投影的公式，向量夹角的余弦公式，根据向量的坐标求向量的长度，以及数量积的坐标运算4若一个底面是正三角形的三棱柱的正（主）视图如图所示，则其侧面积等于（） a 3 b 4 c 5 d 6考点： 由三视图求面积、体积专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 根据题意，知该三棱柱是直三棱柱，底面正三角形的边长为2，高为1，由此求出三棱柱的侧面积解答： 解：根据题意，得该三棱柱是直三棱柱，且底面正三角形的边长为2，三棱柱的高为1；所以，该三棱柱的侧面积为：321=6故选：d点评： 本题考查了利用几何体的三视图求侧面积的应用问题，是基础题目5如图程序框图中，若输入m=4，n=10，则输出a，i的值分别是（） a 12，4 b 16，5 c 20，5 d 24，6考点： 程序框图专题： 图表型；算法和程序框图分析： 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，a的值，当a=20时，满足条件n整除a，退出循环，输出a的值为20，i的值为5解答： 解：模拟执行程序，可得m=4，n=10，i=1a=4，不满足条件n整除a，i=2，a=8不满足条件n整除a，i=3，a=12不满足条件n整除a，i=4，a=16不满足条件n整除a，i=5，a=20满足条件n整除a，退出循环，输出a的值为20，i的值为5故选：c点评： 本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的i，a的值是解题的关键，属于基本知识的考查6已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为（） a b c d 考点： 古典概型及其概率计算公式专题： 概率与统计分析： 把本题转化为古典概率来解，他第2次抽到时，盒子中还有2只螺口灯泡与7只卡口灯泡，根据古典概率计算公式求得他第2次抽到的是卡口灯泡的概率解答： 解：在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，这时盒子中还有2只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这时，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 =，故选d点评： 本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题7如图，在等腰直角abo中，oa=ob=1，c为ab上靠近点a的四等分点，过c作ab的垂线l，p为垂线上任一点，则等于（） a b c d 考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 将，带入，然后根据条件进行数量积的运算即可求得答案解答： 解：由已知条件知，ab=，oab=45；又，；=故选a点评： 考查向量加法、减法的几何意义，两向量垂直时数量积为0，向量数量积的运算及计算公式8若函数，且f（）=2，f（）=0，|的最小值是，则f（x）的单调递增区间是（） a b c d 考点： 正弦函数的单调性专题： 三角函数的图像与性质分析： 由条件求得的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间解答： 解：由题意可得 =，=1，f（x）=2sin（2x+）令2k2x+2k+，kz，求得kxk+，故函数的增区间为，kz，故选：a点评： 本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的单调性，属于基础题9设偶函数f（x）对任意xr都有f（x）=且当x时f（x）=4x，则f（119.5）=（） a 10 b 10 c d 考点： 函数的周期性专题： 函数的性质及应用分析： 先根据条件求出函数的周期，然后根据周期进行化简得f（119.5）=f（0.5），再根据奇偶性和条件将0.5转化到区间上，代入解析式可求出所求解答： 解：函数f（x）对任意xr都有f（x）=，f（x+3）=，则f（x+6）=f（x），即函数f（x）的周期为6，f（119.5）=f（2060.5）=f（0.5）=，又偶函数f（x），当x时，有f（x）=4x，f（119.5）=故选：c点评： 本题主要考查了函数的奇偶性和周期性，要特别利用好题中有f（x）=的关系式在解题过程中，条件f（x+a）=通常是告诉我们函数的周期为2a属于中档题10设f（x）是展开式的中间项，若f（x）mx在区间上恒成立，则实数m的取值范围是（） a （，5） b （，5 c （5，+） d 上恒成立mx在区间上恒成立m在区间上恒成立上的最大值当x=时，有最大值5m5故选项为d点评： 二项式定理通项及其展开式是高考常考知识点，1高考不排除与其他知识点结合应用属于基础知识、基本运算的考查11已知抛物线y2=8x的焦点f到双曲线c：=1（a0，b0）渐近线的距离为，点p是抛物线y2=8x上的一动点，p到双曲线c的上焦点f1（0，c）的距离与到直线x=2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（） a b c d 考点： 双曲线的标准方程专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得b=2a，再利用抛物线的定义，结合p到双曲线c的上焦点f1（0，c）的距离与到直线x=2的距离之和的最小值为3，可得ff1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论解答： 解：抛物线y2=8x的焦点f（2，0），双曲线c：=1（a0，b0）的一条渐近线的方程为axby=0，抛物线y2=8x的焦点f到双曲线c：=1（a0，b0）渐近线的距离为，b=2ap到双曲线c的上焦点f1（0，c）的距离与到直线x=2的距离之和的最小值为3，ff1=3c2+4=9c2=a2+b2，b=2aa=1，b=2双曲线的方程为故选b点评： 本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12设函数y=f（x）在（0，+）内有定义，对于给定的正数k，定义函数fk（x）=，取函数f（x）=，恒有fk（x）=f（x），则（） a k的最大值为 b k的最小值为 c k的最大值为2 d k的最小值为2考点： 函数恒成立问题专题： 函数的性质及应用分析： 由已知条件可得kf（x）max，用导数确定函数函数的单调性，求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果解答： 解：函数fk（x）=，等价为kf（x）max，f（x）=，f（x）=，设g（x）=，则g（x）在（0，+）单调递减，且g（1）=0，令f（x）=0，即，解出x=1，当0x1时，f（x）0，f（x）单调递增，当x1时，f（x）0，f（x）单调递减故当x=1时，f（x）取到极大值同时也是最大值f（1）=故当k时，恒有fk（x）=f（x）因此k的最小值为故选：b点评： 本题考查与函数有关的新定义题目，利用导数求闭区间上函数的最值，考查运算求解能力，推理论证能力，解题时要认真审题，仔细解答综合性较强，有一定的难度二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知等差数列an中，a1+a3+a8=，那么cos（a3+a5）=考点： 等差数列的性质专题： 等差数列与等比数列分析： 由已知结合等差数列的性质求得a4，则a3+a5可求，其余弦值可求解答： 解：在等差数列an中，由a1+a3+a8=，得，即，a3+a5=，则cos（a3+a5）=故答案为：点评： 本题考查等差数列的性质，考查了三角函数的值，是基础题14设f（x）=，若f（f（1）=1，则a=1考点： 函数的值专题： 计算题分析： 先根据分段函数求出f（1）的值，然后将0代入x0的解析式，最后根据定积分的定义建立等式关系，解之即可解答： 解：f（x）=f（1）=0，则f（f（1）=f（0）=1即0a3t2dt=1=t3|0a=a3解得：a=1故答案为：1点评： 本题主要考查了分段函数的应用，以及定积分的求解，同时考查了计算能力，属于基础题15在三棱锥abcd中，侧棱ab、ac、ad两两垂直，abc，acd，adb的面积分别为，则三棱锥abcd的外接球的体积为考点： 球内接多面体；球的体积和表面积专题： 空间位置关系与距离分析： 利用三棱锥侧棱ab、ac、ad两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，从而求出对角线长，即可求解外接球的体积解答： 解：三棱锥abcd中，侧棱ab、ac、ad两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为a，b，c，则由题意得：ab=，ac=，bc=，解得：a=，b=，c=1，所以球的直径为：=所以球的半径为，所以三棱锥abcd的外接球的体积为=故答案为：点评： 本题考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在16在平面直角坐标系xoy中，圆c的方程为x2+y28x+15=0，若直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆c有公共点，则k的最大值是考点： 圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系专题： 直线与圆分析： 由于圆c的方程为（x4）2+y2=1，由题意可知，只需（x4）2+y2=1与直线y=kx2有公共点即可解答： 解：圆c的方程为x2+y28x+15=0，整理得：（x4）2+y2=1，即圆c是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆c有公共点，只需圆c：（x4）2+y2=1与直线y=kx2有公共点即可设圆心c（4，0）到直线y=kx2的距离为d，则d=2，即3k24k0，0kk的最大值是故答案为：点评： 本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x4）2+y2=4与直线y=kx2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17数列an的各项均为正数，sn为其前n项和，对于任意nn*，总有an，sn，an2成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设，数列bn的前n项和为tn，求证：考点： 数列与不等式的综合；等差数列的性质；数列递推式专题： 计算题分析： （1）根据an=snsn1，整理得anan1=1（n2）进而可判断出数列an是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案（2）由（1）知，因为，所以，从而得证解答： 解：（1）由已知：对于nn*，总有2sn=an+an2成立（n2）得2an=an+an2an1an12，an+an1=（an+an1）（anan1）an，an1均为正数，anan1=1（n2）数列an是公差为1的等差数列又n=1时，2s1=a1+a12，解得a1=1，an=n（nn*）（2）解：由（1）可知点评： 本题主要考查了等差数列的通项公式和等差数列的性质，考查放缩法从而综合考查了学生分析问题的能力18如图1，在矩形abcd中，ab=2，bc=1，将acd沿矩形的对角线ac翻折，得到如图2所示的几何体dabc，使得bd=（1）求证：adbc；（2）若在cd上存在点p，使得vpabc=vdabc，求二面角pabc的余弦值考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质专题： 空间位置关系与距离；空间角；立体几何分析： （1）通过勾股定理可得adbd，利用线面垂直的判定定理即得结论；（2）过d作dqab交ab于q点，则能以q为原点，以qb、qd所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系，则所求值为平面pab的法向量与平面abc的一个法向量的夹角的余弦值解答： （1）证明：在矩形abcd中，ab=2，bc=1，bd=，ad=2，ab2=ad2+bd2，adbd，又adcd，ad平面bcd，adbc；（2）解：由（1）知adbc，又abbc，bc平面abd，过d作dqab交ab于q点，则dq平面abc，以q为原点，以qb、qd所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系如图，则dq=，bq=，q（0，0，0），b（，0，0），c（，1，0），d（0，0，），vpabc=vdabc，p为cd的中点，p（，），=（，0，0），=（，），设平面pab的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=，得=（0，1），而=（0，0，）是平面abc的一个法向量，=，所求二面角pabc的余弦值为点评： 本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的计算，考查空间想象能力、计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题19为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度不超过22公里的地铁票价如下表：乘坐里程x（单位：km） 0x6 6x12 12x22票价（单位：元） 3 4 5现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里已知甲、乙乘车不超过6公里的概率分别为，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为，（）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列专题： 概率与统计分析： （）求出甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为，求出甲、乙两人所付乘车费用相同的概率，即可求解甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率（）求出=6，7，8，9，10，求出概率，得到的分布列，然后求解期望即可解答： （本小题满分12分）解：（）由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为，则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率（2分）所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率（4分）（）由题意可知，=6，7，8，9，10则（10分）所以的分布列为 6 7 8 9 10p 则（12分）点评： 本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，考查计算能力20已知点p为y轴上的动点，点m为x轴上的动点点f（1，0）为定点，且满足+=，=0（）求动点n的轨迹e的方程（）a，b是e上的两个动点，l为ab的中垂线，求当l的斜率为2时，l在y轴上的截距m的范围考点： 直线与圆锥曲线的综合问题专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （）设出n点的坐标，由已知条件可知p为mn的中点，由题意设出p和m的坐标，求出和的坐标，代入可求动点n的轨迹e的方程；（）设a（x1，y1），b（x2，y2），l方程为y=2x+m，则ab的方程为：，直线与圆锥曲线联立求得中点坐标，继而求出答案解答： 解：（）设动点n的坐标为（x，y），p（0，b）m（a，0）则，由，可得，y2=4x；（）设a（x1，y1），b（x2，y2），l方程为y=2x+m，则ab的方程为：，由可得：x24（b+4）x+4b2=0，=16（b+4）216b20，b2，x1+x2=4（b+4），ab的中点坐标为（2b+8，4），4=4b+16+mm=4b20，故：m（，12）点评： 本题考查了轨迹方程的求法，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的关系问题是考查的中点，常和弦长问题、存在性问题结合考查，解答时往往采用“设而不求”的解题方法，借助于一元二次方程的根与系数关系解题，该种类型的问题计算量较大，要求学生有较强的运算能力，是难题21已知f（x）=ex，g（x）=xm（mr），设h（x）=f（x）g（x）（）求h（x）在上的最大值（）当m=0时，试比较ef（x2）与g（x）的大小，并证明考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性专题： 分类讨论；导数的综合应用；不等式的解法及应用分析： （）求出h（x）的导数，讨论m的范围，若m1，若1m2时，若m2时，求出函数的单调性，即可得到最大值；（）当m=0时，求得g（x），对x讨论，当x0时，当x0时，求出单调性，结合零点存在定理和对数的运算性质，即可判断大小解答： 解：（）h（x）=（xm）ex，h（x）=（xm+1）ex，由0x1，h（x）0可得0x1且xm1；若m1，h（x）在递增，h（x）max=h（1）=（1m）e；若1m2时，h（x）在递增，h（x）max=maxh（0），h（1），而h（1）h（1）=m（1e）+e，当1m时，h（x）max=（1m）e，当m2时，h（x）max=m；若m2时，h（x）在递减，h（x）max=h（0）=m综上可得h（x）max=；（）当m=0时，ef（x2）=，g（x）=x，当x0时，显然有ef（x2）g（x）；当x0时，lnef（x2）=ex2，lng（x）=lnx，设（x）=ex2lnx，（x）=ex2，（x）在（0，+）递增，而（1）0，（2）0，（x）在（0，+）有唯一的实数根x0，且1x02，ex02=，（x）在（0，x0）递减，在（x0，+）递增，（x）（x0）=ex02lnx0=+x02=0，即有（x）=ex2lnx0，即ex2lnx，即有ef（x2）g（x）综上可得，ef（x2）g（x）点评： 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查构造函数运用导数判断单调性，运用分类讨论的思想方法是解题的关键四、选做题【选修4-1：几何证明选讲】22如图，在abc中，cd是acb的角平分线，adc的外接圆交bc于点e，ab=2ac（）求证：be=2ad；（）当ac=3，ec=6时，求ad的长考点： 与圆有关的比例线段专题： 选作题；立体几何分析： （）连接de，证明dbecba，利用ab=2ac，结合角平分线性质，即可证明be=2ad；（）根据割线定理得bdba=bebc，从而可求ad的长解答： （）证明：连接de，aced是圆内接四边形，bde=bca，又dbe=cba，dbecba，即有，又ab=2ac，be=2de，cd是acb的平分线，ad=de，be=2ad；（5分）（）解：由条件知ab=2ac=6，设ad=t，则be=2t，bc=2t+6，根据割线定理得bdba=bebc，即（6t）6=2t（2t+6），即2t2+9t18=0，解得或6（舍去），则（10分）点评： 本题考查三角形相似，考查角平分线性质、割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题【选修4-4：坐标系与参