高三数学 章末综合测试题（7）平面向量、数系的扩充与复数的引入（2）.doc

2013届高三数学章末综合测试题（7）平面向量、数系的扩充与复数的引入 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1如图，在平行四边形abcd中，o是对角线ac，bd的交点，n是线段od的中点，an的延长线与cd交于点e，则下列说法错误的是()a.b.c. d.解析：排除法如题图，故a正确而，故b正确 ()，故c正确，所以选d. 答案：d2若i为虚数单位，则复数等于()a.ib.ic1i d.i解析：i. 答案：a3已知复数z1i，则等于()a2i b2ic2d2解析：将已知代入得： (i)(1i)22(1i)(i)(2i22i)2i，故选a. 答案：a4若|a|1，|b|2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为()a60 b90 c120 d150解析：(ab)a0，a2ab0，cos，120 答案：c5设复数(ai)2对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是()a1 b1 c d.解析：(ai)2a212ai，解得a1. 答案：a6已知点p为abc所在平面上的一点，且t，其中t为实数，若点p落在abc的内部，则t的取值范围是()a0t b0tc0t d0t解析：如图，e、f分别为ab、bc的三等分点，点p在e点时，t=0，点p在f点时，t.而p在abc的内部，0t. 答案：d7已知|a|2|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()a0， b， c， d，解析：方程x2|a|xab0有实根，|a|24ab0ab|a|2. cos.a、b夹角的取值范围是.故选b. 答案：b8已知向量复数a、b的夹角为60，|a|3，|b|2，若(3a5b)(mab)，则m的值是()a. b. c. d.解析：(3a5b)(mab)， (3a5b)(mab)0， 即3ma25b2(5m3)ab0， 27m20(5m3)32cos600，解得m. 答案：c9已知向量a，b，c满足|a|1，|b|2，|c|4，且a，b，c，两两夹角均为120，则|abc|() a. b7 c. d7或解析：|abc|2a2b2c22ab2bc2ac|a|2|b|2|c|22|a|b|cos120 2|b|c|cos1202|a|c|cos1201416212224214212847|abc| 答案：a10已知两点m(1,0)，n(1,0)，若直线3x4ym0上存在点p满足0，则实数m的取值范围是()a(，55，)b(，2525，)c25,25d5,5解析：设p(x，y)，则(1x，y)，(1x，y)， (1x)(1x)(y)(y)x2y210.x2y21，因此p的轨迹为单位圆，又p点在直线3x4ym0上原点到直线的距离d1，|m|5.5m5，实数m的取值范围是5,5. 答案：d11已知o是abc所在平面内一点，且满足|2|2，则点o()a在ab边的高所在的直线上b在c平分线所在的直线上c在ab边的中线所在的直线上d是abc的外心解析：由已知条件|2|2可得()()()()，即()(2)0，所以点o在ab边的高所在的直线上. 答案：a12已知o是abc内部一点，0，2，且bac30，则aob的面积为()a2 b1 c. d.解析：由0得o为abc的重心saobsabc，又|cos302，得|4.sabc|sin301.saob.答案：d第卷(非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13已知复数z1cosi，z2sini，则z1z2的实部最大值为_，虚部最大值为_解析：z1z2(cossin1)i(cossin)实部为cossin11sin2，所以实部的最大值为. 虚部为cossinsin，所以虚部的最大值为.答案：14已知平面上不共线的四点o，a，b，c，若320，则等于_解析：2()，2， |2|，2.答案：215已知a、b是圆心为c，半径为的圆上两点，且|，则_.解析：如图所示，abc为等边三角形16已知a与b夹角为，定义ab为a与b的“向量积”，ab是一个向量，它的长度|ab|a|b|sin.若u(2,0)，uv(1，)，则|u(uv)|_.三、解答题：本大题共6小题，共70分17(10分)已知z(a0)，复数z(zi)的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数.解析：由已知得，z，i，.a24，a2或a2(舍)，3i18(12分)设a(1,1)，b(4,3)，c(5，2)，(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；(2)求c在a方向上的投影；(3)求1和2，使c1a2b.解析：(1)a(1,1)，b(4,3)，且1314，a与b不共线又ab14131，|a|，|b|5，cos.(2)ac151(2)7，c在a方向上的投影为.(3)c1a2b，(5，2)1(1,1)2(4,3)(421，132)，解得.19(12分)已知m(cosx,2sinx)，n(2cosx，sinx)，f(x)mn.(1)求f的值；(2)当x时，求g(x)f(x)sin2x的最大值和最小值解析：(1)f(x)mn2cos2x2sin2x2cos2x，f2cos2cos2cos2cos1.(2)由(1)得g(x)cos2xsin2xsin.x，2x，当x时，g(x)max；当x时，g(x)min1.20(12分)已知平面向量a，b.(1)证明：ab；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使xa(t2k)b，ysatb，且xy，试求sf(t)的函数关系式；(3)若sf(t)在1，)上是增函数，试求k的取值范围解析：(1)由题知|a|b|1，且ab0，所以ab.(2)由于xy，则xy0，从而s|a|2(tskst2)abt(t2k)|b|20，故sf(t)t3kt，(3)st3kt在1，)上是增函数，s3t2k0在1，)上恒成立，即k3t2在1，)上恒成立，而3t23，只需k3，k的取值范围是(，321(12分)已知abc的面积s满足s3，且6，与的夹角为.(1)求的取值范围；(2)求函数f()sin22sincos3cos2的最小值解析：(1)由题意知：|cos6s|sin()|sin得tan，即3tans.由s3，得3tan3，即tan1.为与的夹角，(0，)，.(2)f()sin22sincos3cos21sin22cos22sin2cos22sin.，2.当2，即时，f()有最小值为3.22(12分)已知向量m，n.(1)若mn1，求cos的值；(2)记f(x)mn，在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cosbbcosc，求函数f(a)的取值范围解析：(1)mn1，即sincoscos21，即sincos1，sin1.coscoscos221.(2)(2ac)cosbbcos