极限与探索性问题的解题技巧.doc

赛德学校 专题九 极限与探索性问题的解题技巧【命题趋向】综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对极限的考查有以下一些知识类型与特点：1数学归纳法客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)解答题大多以考查数学归纳法内容为主，并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法. 在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时，要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧，这一点要高度注意2. 数列的极限客观性试题主要考查极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，直接运用四则运算法则求极限解答题大多结合数列的计算求极限等，涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.数列与几何：由同样的方法得到非常有规律的同一类几何图形，通常相关几何量构成等比数列，这是一类新题型3函数的极限此部分为新增内容，本章内容在高考中以填空题和解答题为主应着重在概念的理解，通过考查函数在自变量的某一变化过程中，函数值的变化趋势，说出函数的极限利用极限的运算法则求函数的极限进行简单的运算利用两个重要极限求函数的极限函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.4.在一套高考试题中，极限一般分别有1个客观题或1个解答题，分值在5分12分之间5.在高考试题中，极限题多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，因而极限题是高考中的得分点6.注意掌握以下思想方法 极限思想：在变化中求不变，在运动中求静止的思想； 数形结合思想，如用导数的几何意义及用导数求单调性、极值等.此类题大多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生的综合应用能力，分析问题和学生解决问题的能力，对运算能力要求较高【考点透视】1理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题2了解数列极限和函数极限的概念3掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限4了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质【例题解析】考点1 数列的极限1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限地趋近于某个常数a（即|ana|无限地接近于0），那么就说数列an以a为极限.注意：a不一定是an中的项.2.几个常用的极限：C=C（C为常数）;=0;qn=0（|q|1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列an、bn，当an=a, bn=b时， （anbn）=ab; 例1. ( 2006年湖南卷）数列满足:,且对于任意的正整数m,n都有,则 ( )A. B. C. D.2考查目的本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式 的应用.解答过程由和得故选A.例2（2006年安徽卷）设常数，展开式中的系数为，则_.考查目的本题考查利用二项式定理求出关键数, 再求极限的能力.解答过程 ，由，所以，所以为1.例3. （2007年福建卷理）把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于( )（ ）ABCD2考查目的本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式 的应用.解答过程 故选D例4. (2007年天津卷理)设等差数列的公差是2，前项的和为，则思路启迪：由等差数列的公差是2，先求出前项的和为和通项解答过程 故填3小结:1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：（1）各数列的极限必须存在；（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算.2.熟练掌握如下几个常用极限：（1） C=C（C为常数）;（2） （）p=0（p0）;（3） =（kN *,a、b、c、dR且c0）;（4） qn=0（|q|1）.例5. (2007年重庆卷理)设正数a, b满足则（ ）（A）0（B）（C）（D）1解:故选B 小结:重视在日常学习过程中运用化归思想.考点2 函数的极限1.函数极限的概念：（1）如果f（x）=a且f（x）=a,那么就说当x趋向于无穷大时，函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,也可记作当x时，f（x）a.（2）一般地，当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,也可记作当xx0时，f（x）a.（3）一般地，如果当x从点x=x0左侧（即xx0无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的左极限，记作f （x）=a.如果从点x=x0右侧（即xx0）无限趋近于x0时，函数f （x）无限趋近于常数a,就说a是函数 f （x）在点x0处的右极限，记作f（x）=a.2.极限的四则运算法则：如果f （x）=a, g（x）=b,那么f（x）g（x）=ab; f（x）g（x）=ab; =（b0）.例6(2007年江西卷理) =( ) A等于0 B等于l C等于3 D不存在考查目的本题主要考查利用同解变形求函数极限的能力.解答过程 故选B例7(2007年四川卷理) ( )（A）0（B）1（C）（D）考查目的本题主要考查利用分解因式同解变形求函数极限的能力.解答过程 故选D例8.若f （x）=在点x=0处连续，则f （0）=_.思路启迪：利用逆向思维球解.解答过程：f（x）在点x=0处连续，f （0）=f （x）,f （x）= = =.答案: 例9.设函数f （x）=ax2+bx+c是一个偶函数,且f （x）=0,f （x）=3,求这一函数最大值.思路启迪：由函数f （x）=ax2+bx+c是一个偶函数,利用f （x）=f （x）构造方程,求出b的值.解答过程：f （x）=ax2+bx+c是一偶函数,f （x）=f （x）,即ax2+bx+c=ax2bx+c.b=0.f （x）=ax2+c.又f （x）= ax2+c=a+c=0, f（x）=ax2+c=4a+c=3,a=1,c=1.f （x）=x2+1.f （x）max=f（0）=1.f （x）的最大值为1.例10.设f（x）是x的三次多项式，已知=1.求的值（a为非零常数）.解答过程：由于=1,可知f（2a）=0. 同理f（4a）=0. 由，可知f（x）必含有（x2a）与（x4a）的因式，由于f（x）是x的三次多项式，故可设f（x）=A（x2a）（x4a）（xC）.这里A、C均为待定的常数.由=1,即=A（x4a）（xC）=1,得A（2a4a）（2aC）=1,即4a2A2aCA=1. 同理，由于=1,得A（4a2a）（4aC）=1,即8a2A2aCA=1. 由得C=3a,A=,因而f（x）=（x2a）（x4a）（x3a）.=（x2a）（x4a）=a（a）=.例11 a为常数，若（ax）=0,则a的值是_.思路启迪：先对括号内的的式子变形.解答过程：（ax）= =0,1a2=0.a=1.但a=1时，分母0,a=1.考点3.函数的连续性及极限的应用1.函数的连续性.一般地，函数f（x）在点x=x0处连续必须满足下面三个条件：（1）函数f（x）在点x=x0处有定义；（2）f（x）存在；（3）f（x）=f（x0）.如果函数y=f（x）在点x=x0处及其附近有定义，而且f（x）=f（x0）,就说函数f（x）在点x0处连续.2.如果f（x）是闭区间a,b上的连续函数，那么f（x）在闭区间a,b上有最大值和最小值.3.若f（x）、g（x）都在点x0处连续,则f（x）g（x）,f（x）g（x）,（g（x）0）也在点x0处连续.若u（x）在点x0处连续,且f（u）在u0=u（x0）处连续,则复合函数fu（x）在点x0处也连续.例12.f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的_条件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分又不必要思路启迪：说明问题即可.解答过程：f（x）在x=x0处有定义不一定连续.答案：A例13.f（x）=的不连续点为( )A.x=0 B.x=（k=0,1,2,）C.x=0和x=2k（k=0,1,2,） D.x=0和x=（k=0,1,2,）思路启迪：由条件出发列方程解之.解答过程：由cos=0,得=k+（kZ）,x=.又x=0也不是连续点,故选D答案：D例14. 设f（x）=当a为_时,函数f（x）是连续的.解答过程：f（x）= （a+x）=a, f（x）=ex=1,而f（0）=a,故当a=1时, f（x）=f（0）,即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时, f（x）在（,+）内是连续的.小结：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.例15.已知函数f（x）=函数f（x）在哪点连续( )A.处处连续 B.x=1 C.x=0 D.x=思路启迪：考虑结果的启发性.解答过程：f（x）= f（x）=f（）.答案：D例16.抛物线y=b（）2、x轴及直线AB:x=a围成了如图（1）的阴影部分,AB与x轴交于点A,把线段OA分成n等份,作以为底的内接矩形如图（2）,阴影部分的面积为S等于这些内接矩形面积之和当n时的极限值,求S的值.思路启迪：先列出式子.解答过程：S=b（）2+b（）2+b（）2+b（）22=ab=ab=ab.例17.如图，在边长为l的等边ABC中，圆O1为ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB、BC相切,圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去,记圆On的面积为an（nN*）. （1）证明an是等比数列；（2）求（a1+a2+an）的值.解答过程：（1）证明:记rn为圆On的半径，则r1=tan30=l.=sin30=,rn=rn1（n2）.于是a1=r12=,=（）2=,an成等比数列.（2）解：因为an=（）n1a1（nN*）,所以（a1+a2+an）=.例18. 一弹性小球自h0=5 m高处自由下落,当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的,不计每次碰撞时间,则小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间分别是多少?解答过程：设小球第一次落地时速度为v0,则有v0=10（m/s）,那么第二,第三,第n+1次落地速度分别为v1=v0,v2=（）2v0,vn=（）nv0,小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为h0=5 m,小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是L1=2=10（.小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为L2,则L2=2=10（）4.由数学归纳法可知,小球第n次到第n+1次与地面碰撞经过路程为Ln=10（）2n.故从第一次到第n+1次所经过的路程为Sn+1=h0+L1+L2+Ln,则整个过程总路程为S=Sn+1=5+10=5+10=20.3（m）,小球从开始下落到第一次与地面相碰经过时间t0=1（s）.小球从第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间t1=2=2,同理可得tn=2（）n,tn+1=t0+t1+t2+tn,则t=tn+1=1+2=8（s）.考点4.新考题例19（2007年辽宁卷理）（本小题满分12分）已知数列、与函数、，满足条件： （I）若，且存在，求的取值范围，并求（用表示）（II）若函数在上是增函数，证明对任意的，考查目的本小题主要考查数列的定义，数列的递推公式，等比数列，函数，不等式等基础知识，考查运用数学归纳法解决问题的能力. 解答过程（）解法一：由题设知，可得 由是等比数列，其首项为，于是 又 解法二：由题设知，可得 由，公比为的等比数列. 由 所以 解法三：由题设知，即 ， 于是有 得，得 由 所以的等比数列，于是 又 说明：数列an通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以上评分标准. （）证明：因为 下面用数学归纳法证明 （1）当，得 即，结论成立. （2）假设n = k时结论成立，即为增函数，得 ， 进而得 这就是说当n = k +1时，结论也成立. 根据（1）和（2）可知，对任意的例20.(2006年广东卷）已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为.()求数列的首项和公比；()对给定的,设是首项为，公差为的等差数列.求数列的前10项之和；()设为数列的第项，求，并求正整数，使得存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷数列前n项和的极限)考查目的本题考查运用等比数列的前n项和公式，从已知的条件入手列方程组求出等比数列的公比和首项.解答过程 ()依题意可知,()由()知,所以数列的的首项为,公差,即数列的前10项之和为155.() =，=当m=2时，=，当m2时，=0，所以m=2.专题训练与高考预测一.选择题 1.下列极限正确的个数是=0（0）;qn=0;=1 ; C=C（C为常数）A.2B.3会 C.4 D.都不正确2.下列四个命题中正确的是A.若an2A2，则anA B.若an0，anA，则A0C.若anA，则an2A2 D.若（anb）0，则anbn3.f（x）=f（x）=a是f（x）在x0处存在极限的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.f（x）=下列结论正确的是( )A.=f（x） B.=2，不存在C.f （x）=0, 不存在 D.f （x）f （x）5.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是( )A. B. C. D.6.若f（x）在定义域a,b上有定义,则在该区间上( )A.一定连续 B.一定不连续 C.可能连续也可能不连续 D.以上均不正确7.已知，如果bc0，那么=( )A、 15 B、 C、 D、8.若r为实常数，则集合A、恰有一个元素B、恰有两个元素 C、恰有三个元素 D、无数多个元素9. （C）A1 B1 C D10. 已知，下面结论正确的是（ ）A.在处连续 B. C. D.二.填空题11.四个函数:f（x）=;g（x）=sinx;f（x）=|x|;f（x）=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是_.（把你认为正确的代号都填上）12.下四个命题:f（x）=在0,1上连续;若f（x）是（a,b）内的连续函数,则f（x）在（a,b）内有最大值和最小值;=4;若f（x）=则f（x）=0.其中正确命题的序号是_.