武汉大学868线性代数专业课基础班次讲义.doc

武汉大学868线性代数（基础课程内部讲义）海文考研专业课教研中心目 录第一部分 前言1第二部分 专业与就业解析22.1数学专业综合介绍22.2数学专业就业分析62.3武汉大学数学专业就业情况7第三部分 武汉大学数学专业内部信息深度解析83.1报考数据分析83.2复试信息分析93.3导师信息分析11第四部分 武汉大学数学专业初试专业课复习资料分析124.1线性代数参考书目124.2海文专业课标准课程内部讲义海文专业课学员享有124.3考前三套模拟试题及其解析124.4典型与重点题及其解析124.5真题及其解析125.1真题分析135.2参考书目知识点分析135.3重点知识点汇总分析（大纲）14第六部分 武汉大学数学专业初试专业课整体复习规划23第七部分 武汉大学数学专业基础知识点框架梳理及其解析24第一章 多项式24第二章 行列式24第三章 线性方程组27第四章 矩阵31第五章二次型39第六章线性空间42第七章线性变换48第八章入-矩阵与约当标准型52第九章欧几里得空间53第十章双线性函数与辛空间56第八部分 结束语（祝福语）17 804高等代数 海文专业课基础课程讲义第一部分 前言从2009年开始，国家教育部正式将硕士学位分为学术型和专业型两种类型的硕士学位，并且，在3月中旬公布的国家复试分数线中，第一次分学术型和专业型进行复试划线。这一现象深刻反映了研究生招生单位对考生专业能力的真实需求，也充分说明了专业课对每一个考研人的重大意义。从重要性角度来讲，在考研竞争中，专业课对于考生的重要性远远大于任何一门公共课，专业课在初试和最终录取时的权重：最终录取时高达51%（考数学）、72%（不考数学）；考研考试与录取规则发生根本变化：专业课统考趋势加强、复试更加看重专业课，毕竟老师所看重的一定是学生的专业知识储备和科研能力。从专业课本身特点考虑，专业课学习起来相比公共课要复杂得多。首先没有明确的学习范围，不容易确定复习的范围和重难点，也就说考生在学习的时候没有明确的学习范围，也不知道老师的命题范围和命题要求是什么，这对专业课学习来说，非常致命。每年很多同学都会遭遇专业课的黑洞效应，公共课只要多学一点，就能考好一点，只是程度不同而已，但专业课却经常会出现学的越多，却考的越差的怪现象。其次考研基本上都是跨档次考，因而专业课复习更难，几乎所有参加考研的学生都是以本校本专业为逻辑起点，要么选择更好的学校，要么选择更好的专业，要么选择更好的地区。因此，对考生来说，考研的专业课就一定比考生原来本科所学的专业课要难，哪怕他是考本校本专业，他的竞争对手也是来自全国各地，不再是同班同学的竞争，他的竞争环境变得更为复杂，专业课复习也变得更难。最后专业课的复习资源比公共课的复习资源稀缺，如果让考生自己搜集，不一定能收集齐全，并且还不一定能收集的准确和真实，更何况还浪费了考研复习的宝贵时间。综上所述，考研专业课重要性、复杂性及在复习过程中出现的黑洞效应均增加了考研专业课复习的难度。在该基础讲义中，从第二部分到第七部分，依次深入剖析了专业课对应的专业就业、内部信息、复习资料、必考知识点和现阶段学习内容等，其目的就是帮助考生降低考研专业课的复习难度。建议考生在使用本讲义时要多动脑，通过对题目的练习、比较、思考，并发现题目设置和解答的规律性，掌握题目对应的知识点和熟悉解题的金钥匙，从而迅速提高基础阶段知识水平和为下一阶段的强化学习做好储备与铺垫。第二部分 专业与就业解析2.1数学专业综合介绍1专业内涵分析0701 数学070101基础数学070102 计算数学070103概率论与数理统计070104应用数学070105运筹学与控制论数学一共包括5个二级学科。数学是一门在非常广泛的意义下研究自然现象和社会现象中的数量关系和空间形式的科学。它的根本特点是从各种自然现象和社会现象的量的侧面抽象出一般性的规律，预见事物的发展并指导人们能动地认识和改造世界。数学是各门科学的基础，在自然科学、社会科学、工程技术等方面起着思想库的作用；作为20世纪中影响最为深远的科技成就，电子计算机发明的本身就是抽象数学成果对人类文明的最辉煌的贡献之一。电子计算机与数学的关系一直处于一种相互依存、相互促进的良性循环之中。从计算机的发明直到它的最新的进展，无不有数学在起着关键性的作用；同时，在计算机的设计、制造、改进和使用过程中，也向数学提出了大量带有挑战性的间题，推动着数学本身的发展。计算机和软件技术已成为数学研究的新的强大手段，其飞速进步正在改变传统意义下的数学研究模式，并将为数学的发展带来难以预料的深刻变化。数值模拟、理论分析和科学实验鼎足而立，已成为当代科学研究的三大支柱。数学科学是一个范围广阔、分支众多、应用广泛的科学体系，一般分成如下五个紧密联系的二级学科。（1）基础数学，又称纯粹数学，是数学的核心和灵魂。它的思想、方法和结论是整个数学科学的基础，是自然科学、社会科学、工程技术等方面的思想库。基础数学包含数理逻辑、数论、代数、几何、拓扑、函数论、泛函分析、微分方程等众多的分支学科，并还在源源不断地产生新的研究领域，范围异常广泛，就总体而言，远远超出了一般意义下的一个“二级学科”的研究范畴。学科研究范围数理逻辑与数学基础，组合数学，数论，代数（群论、环、格与代数、同调代数），李群、李代数及其表示，微分几何，代数几何，拓扑学（代数拓扑、微分拓扑、一般拓扑），动力系统，复分析和复几何，实分析（调和分析、位势论），几何分析，微分方程（常微分方程、偏微分方程），泛函分析（算子论与算子代数、非线性泛函分析、无限维分析），非线性分析，计算机科学中的数学，数学史等。（2）计算数学是研究用电子计算机数值求解科学和工程问题的理论和算法，其目标是高效、稳定地求解各类科学技术领域中产生的数学问题。研究高效的计算方法与发展高速的计算机处于同等重要的地位；此外，数值模拟已能够用来减少乃至代替耗资巨大甚至难以实现的某些大型实验。近年来，随着电子计算机的飞速发展，产生了符号演算、机器证明、计算机辅助设计、数学软件等新的学科分支，并与其它领域结合形成了计算力学、计算物理、计算化学、计算生物学等交叉学科。学科研究范围数值代数（矩阵计算、非线性方程数值解法），微分方程数值解法（常微分，方程数值分析、偏微分方程数值分析、有限元、积分方程数值分析），数值逼近与函数逼近，算法设计与分析，数学规划算法，小波分析及其应用，概率统计计算，控制系统计算，计算复杂性，新型算法（并行算法、区域分解法、多格子方法等），符号计算与机器证明，科学工程计算及软件，计算机图形学等。（3）应用数学是联系数学与现实世界的重要桥梁，主要研究自然科学、工程技术、信息、经济、金融、管理、社会与人文科学中的数学问题，包括建立相应的数学模型，利用数学方法解决实际问题，研究具有实际背景和应用前景的数学理论等。第二次世界大战以来，应用数学得到了迅猛的发展，其思想和方法深刻地影响着其它科学的发展，并促进了某些重要的综合性学科（如非线性科学）的诞生和成长。同时，在研究解决实际问题的过程中，新的重要的数学问题不断产生，有力地推动着数学本身的发展。学科研究范围凡对有实际背景或应用前景的数学理论或方法开展研究，或是具体针对自然科学、工程技术、经济、金融、信息、管理、社会和人文等领域中的某些实际问题用数学方法进行研究，均可认为属于应用数学的研究方向，例如数学物理、计算几何、应用偏微分方程、生物数学、组合数学、数理经济学、数学金融学、数理语言学、现代力学中的数学问题、计算机科学中的数学问题、工程中的数学问题、神经网络的数学方法等。（4）概率论与数理统计是研究随机现象内在规律性的学科。概率论旨在从理论上研究随机现象的数量规律，是数理统计的基础。数理统计是研究如何有效地收集、分析和使用随机性数据的学科，为概率论的实际应用提供了广阔的天地。概率论和数理统计相互依存，相互推动，借助计算机技术，正在科学技术、工农业生产、经济金融、人口健康、环境保护等方面发挥重要的作用。概率统计思想渗人各个学科已成为近代科学发展的明显特征之一。学科研究范围马氏过程，平稳过程，鞅论与独立增量过程（点过程），随机分析，随机场，概率极限理论（大偏差理论），巴氏空间上的概率论，应用概率，时间序列分析，多元分析（多元离散数据分析），回归分析与方差分析，试验设计，序贯分析，非参数统计（半参数统计），数据处理与统计建模，随机过程统计，抽样调查（重抽样方法），统计计算，统计决策，生物统计与生存分析，质量管理与可靠性分析，数理金融等。（5）运筹学和控制论以数学和计算机为主要工具，从系统和信息处理的观点出发，研究解决社会、经济、金融、军事、生产管理、计划决策等各种系统的建模、分析、规划、设计、控制及优化问题，是一个包括众多分支的学科。运筹学结合数学、计算机科学、管理科学，通过对建模方法和最优化方法的研究，为各类系统的规划设计、管理运行和优化决策提供理论依据。控制理论目前处于数学、计算机科学、工程学等学科交叉发展的前沿，是以自动化、机器人、计算机和航天技术为代表的新技术革命的一个理论基础。学科研究范围线性及非线性优化，网络优化，组合优化，大系统优化，随机优化，半定规划，多层规划，互补规划，图论与网络，排队论，排序论，可靠性理论，对策论，决策论，线性和非线性系统控制，最优控制，随机控制，分布参数控制，控制系统的稳定性和稳健性，辨识和适应控制，控制中的计算方法，智能控制，离散事件动态系统等。2武汉大学数学专业的专业结构设置武汉大学现设基础数学系、应用数学系、信息与计算科学系、统计与概率系、数学公共课部等教学科研机构。现有三个本科专业：数学与应用数学、信息与计算科学、统计学，并设有国家理科基础科学研究与教学人才培养基地数学基地班，学院现是国家数学一级学科博士点，有四个二级学科具有博士和硕士学位授予权：基础数学、概率统计、应用数学、计算数学，其中基础数学是国家重点学科，。学院共有教师139人，其中教授42人(含博士生导师15人)，副教授66人，现有各类学生1791人。在武汉大学数学与统计学院学习的学生如果想继续深造，或出国留学的话是很容易的。在武大基础数学师资是最好的，但其他几个方向就业相对来说好一点。3武汉大学学数学专业培养体系武汉大学研究生现在任然是两年制的报考武汉大学的研究生基础知识一定要学好，在初试的时候会考数学分析和线性代数，这两门课是学习数学的基础课程，一定要掌握好，但出于对武大有史以来重视分析而不是非常重视代数的传统，在初试和复试中对数学分析的要求会比线性代数高一点。只要是数学分析和线性代数学的很好，考基础的再看一下常微分方程，考概率的看一下概率论与数理统计，考计算的看一下数值分析和程序设计，考应用的看一下线性规划或常微分方程，考武大是没问题的，但是毕竟考上研究生还是要学习的所以考生还是应该多看一些别的专业书籍，为以后的学习打下基础。专业课程一览表课程编号课 程 名 称课内学时学分任课老师开课学期（春/秋）备 注科学社会主义理论与实践201秋公共必修课自然辩证法概论361.5春硕士英语精读翻译与写作1444秋、春硕士英语听说641.5秋、春01007010101泛函分析603徐景实秋专业选修课任选三门课01007010102代数拓扑603郭瑞芝秋01007010103抽象代数603郭晋云秋01007010104复分析603董新汉秋01007010105常微分方程的稳定性理论603杜雪堂秋01007010106组合数学603李乔良秋01007010107环与代数603郭晋云欧阳柏玉春专业必修课01007010108群与代数表示论603郭晋云春01007010109交换代数603郭晋云秋01007010110李代数603郭晋云秋01007010111代数表示论（I）（II）1206郭晋云秋春01007010112代数几何初步603郭晋云春01007010113同调代数（I）（II）1206陈焕艮欧阳柏玉春秋01007010114环的结构603陈焕艮春01007010115正则环理论603陈焕艮秋01007010116模的分解理论603陈焕艮欧阳柏玉秋01007010117代数K理论603陈焕艮欧阳柏玉春01007010118环与模范畴603陈焕艮欧阳柏玉春01007010119环的同调维数603欧阳柏玉春01007010120实分析（II）603董新汉徐景实春01007010121Hp空间603董新汉春01007010122单叶函数603董新汉秋01007010123多叶函数603董新汉秋01007010124分形几何的数学基础603董新汉春01007010125Bergman空间及算子603张学军春01007010126Cn中单位球上的函数论603张学军春01007010127复合算子理论603张学军秋01007010128多复变中的乘子理论603张学军秋01007010129离散群几何（I）（II）1206王仙桃秋春01007010130平面拟共形映射（I）（II）1206王仙桃秋春01007010131空间拟共形映射603王仙桃秋01007010132连分式（I）（II）1206王仙桃秋春01007010133应用和计算复分析603王仙桃秋01007010134泛函分析（II）603朱起定春01007010135有限元超收敛理论603朱起定春01007010136傅立叶分析及应用603施咸亮春01007010137小波分析及应用603施咸亮秋01007010138框架理论603施咸亮秋01007010139奇点理论603郭瑞芝秋01007010140微分拓扑603郭瑞芝春01007010141分歧理论603郭瑞芝秋01007010142脉冲微分方程603申建华春01007010143泛函微分方程（I）603罗治国春01007010144差分方程及其应用603罗治国秋01007010145动力系统定性与分支理论603文贤章秋01007010146微分方程的泛函方法603李建利秋01007010147非线性泛函分析603李建利春01007010148神经网络动力系统603李雪梅秋01007010149二阶椭圆型方程603周树清秋01007010150二阶抛物型偏微分方程603谢资清秋01007010151粘弹性力学603李显方秋01007010152断裂与损伤力学603李显方秋01007010153计算理论603全惠云春01007010154演化计算603全惠云秋01007010155图论及其应用603邓汉元秋01007010156拟阵301.5邓汉元秋01007010157拓扑图论402黄元秋春01007010158图的嵌入理论603黄元秋春01007010159运筹学603黄元秋春01007010160组合矩阵论402侯耀平春01007010161图谱理论及其应用402侯耀平秋01007010162代数图论603侯耀平秋01007010163算法设计与分析402张远平秋01007010164组合优化603李乔良春01007010165组合设计理论402李乔良春01007010166密码学603李乔良秋论文选读402春教学实践101必修环节学术报告6-8次22.2数学专业就业分析1数学专业就业分析数学专业因为其本身理论性较强，本科学习的很多东西都非常基础，实用性不是很强相对来说就业有一定困难，所以读研究很有必要，在研究生期间我们可以学习一些比较实用的技能，这样在以后的就业中会有很大帮助，在武大这边数学的就业率还是很高的，最近几年有很多去了百度、谷歌、腾讯、华为等知名企业，也有去统计局等一些国有单位，还有去二本院校当教师，还有有一部分去了高中虽然是但待遇很好，武大这边的学生就业大多数是在南方工作，回北方的比较少，因为南方的企业在年前就来这边招聘大多数感觉待遇可以就签了，而北方的很多要年后招聘所以回去的人很少。2数学专业的杰出人才在这一百多年来，陈建功、肖君绛、李华宗、汤澡真、吴大任等一批知名数学家曾在武大数学与统计学院从事教学和科研工作。曾昭安、李国平、张远达、余家荣、路见可、齐民友等为我院的建设和发展作出了重要贡献。3数学专业相关的工作岗位数学专业的就业范围基本是IT行业、金融业、与统计相关的职位、教师、教务管理人员等，对于不同的就业方向学生需要学习的东西也是有所不同的，所以一定要认清自己的目标学好自己该学的课程，这对于以后的就业是很重要的。2.3武汉大学数学专业就业情况1历年就业数据分析专业名称就业城市就业单位工作岗位工作技能要求薪酬待遇2010基础数学广东等沿海城市教育教师教师资格证6000-70002010计算数学沿海城市企业编程具有扎实的计算知识8000-100002010数理统计沿海城市企业，银行职员具有丰富的金融知识6000-100002武汉大学数学专业的就业前景作为武汉大学的数学研究生，目前的就业情况还是很好的，可以进一些腾讯、百度、华为等这样的公司做开发，也可以做密码等一些比较急需的方向，还可以进一些事业单位，如果想当教师的话也是很容易的。对于那些立志继续深造的同学来说，在武大读研还是一个很好的选择，武汉大学每年都会有很多人获得留学的机会，只要是表现好了，都是有机会的，令外如果是考博得话只要是导师推荐基本就没问题了，非常容易。同时如果有兴趣的话也可以考我们学校与数学相关的一些其它专业比如计算机技术、金融学、数量经济学，这几个专业就业形势都是很好的。从以上情况分析得知，武汉大学数学专业的就业前景很好，在该学校完成研究生阶段的学习，能够帮助考生完成人生的一个重大转折。考生如何才能成功的考上武汉大学学数学专业的研究生，该校该专业每年的录取情况是怎么样的？招生人数是多少、分数线是多少？考研复习现阶段需要做什么等，后续部分会给大家详细介绍。第三部分 武汉大学数学专业内部信息深度解析3.1报考数据分析1、武汉大学基础数学专业报录比年份报名人数推免人数复试人数录取人数（含推免）报录比奖学金人数（或公费比例）20101029254124.5%一等（公费）40%二等（半公费）40%2009884284131.8%一等（公费）40%二等（半公费）40%2008768193725%一等（公费）40%二等（半公费）40%200711018294126.4%一等（公费）40%二等（半公费）40%武汉大学计算数学年份报名人数推免人数复试人数录取人数（含推免）报录比奖学金人数（或公费比例）2010539122622.6%一等（公费）40%二等（半公费）40%2009514112221.6%一等（公费）40%二等（半公费）40%2008729192319.4%一等（公费）40%二等（半公费）40%2007679172219.4%一等（公费）40%二等（半公费）40%武汉大学概率论与数理统计年份报名人数推免人数复试人数录取人数（含推免）报录比奖学金人数（或公费比例）20101161524258.6%一等（公费）40%二等（半公费）40%20091238272110.6%一等（公费）40%二等（半公费）40%200810510232211.4%一等（公费）40%二等（半公费）40%20071128252011.6%一等（公费）40%二等（半公费）40%武汉大学应用数学年份报名人数推免人数复试人数录取人数(含推免)报录比奖学金人数（或公费比例）20107212152315.3%一等（公费）40%二等（半公费）40%20099110182213.2%一等（公费）40%二等（半公费）40%20081066212517.9%一等（公费）40%二等（半公费）40%20071139232211.5%一等（公费）40%二等（半公费）40%注：报录比=录取人数/报名人数2、武汉大学数学专业复试分数线和实际录取分数线专业名称年份复试分数线该专业录取分数线（录取考生中最低分）政治外语专业课一专业课二总计数学201045458080295297200945458080300301200850508585305310200750508484315317经济、管理2010605510010036036220095555909034034120086060100903653692007555595100350353计算机2010454575752902952009504045453003022008505080903153152007505277903063063.2复试信息分析1复试流程与形式复试流程与形式请填写是或否考试时间（上午、下午、时长）要求（及格等）分数考试科目（填写书目名称或无）专业笔试是上午及格60基础：常微分方程同等学力加试科目：常微分方程数学基础综合计算：数值分析同等学力加试科目：常微分方程数学基础综合概率：概率论与数理统计同等学力加试科目：常微分方程数学基础综合应用：线性规划或常微分方程同等学力加试科目：常微分方程数学基础综合复试面试提交个人材料本科成绩单复试通知书专业课面试问与专业课有关的一些概念，都很基础下午自由提问随便问一些问题，比如你有什么爱好，你哪个学校的，可以随便回答不用太担心下午和专业课一起外语口语_英语_(外语名称)用英语作自我介绍就可以了下午和专业课面试一起外语听力_英语_(外语名称)听力一般不考，考的话就是老师用英语问几个问题下午和专业课面试一起心理测试无体检在武大校医院进行复试总分： 100 分说明：（1）提交个人材料包括身份证复印件、本科成绩单、个人简历、学生证或本科毕业证、学位证等；（2）专业课面试主要是在面试过程中老师所问的专业问题属于哪个考试科目的。2建议复试参考书目数学分析：数学分析 华东师范大学，高等教育出版社数学分析教程 常庚哲、史济怀著，高等教育出版社线性代数：高等代数与解析几何 陈志杰，高等教育出版社高等代数 北京大学，高等教育出版社常微分方程：常微分方程教程，丁同仁，李承志，高等教育出版社；常微分方程讲义，王柔怀等，高等教育出版社实分析：实变函数， 侯友良著，武汉大学出版社，复变函数论：复变函数， 路见可编著 武汉大学出版社，微分几何：微分几何讲义 陈维桓， 北京大学出版社点集拓扑学：基础拓扑学讲义（1-4 章）， 尤承业，北京大学出版社；基础拓扑学（1-5 章）， M.A. Armstrong著，称孙以，北京大学出版社泛函分析：泛函分析基础，刘培德，武汉大学出版社（修订版）近世代数：代数学，莫宗坚，北京大学出版社数值分析：数值计算方法，郑慧娆等，武汉大学出版社2002年版数值计算原理，李庆扬，清华大学出版社（2000年版）概率论与数理统计：概率论与数理统计 中山大学；概率论基础 复旦大学线性规划：最优化理论与方法，陈宝林，清华大学出版社；运筹学原理与方法，邓成梁，华工出版社3复试复习建议对于复试先把数学分析和高等代数、常微分方程复习好，然后看自己考的什么方向再根据自己的方向看基本相关的书籍就可以了，复试失眠时并不是很难，只要是能知道你这个方向基础课的一些基本定理，概念就没问题了，对于复试英语这不用浪费太多时间，因为你来武大是学数学的，所以老师对你的英语要求不高。3.3导师信息分析1导师信息武汉大学学校数学专业总共有136个导师，其中包括15名博士生导师，66名硕士生导师。该学校该专业的导师主要研究方向是偏微分方程、密码和概率论,研究生在读期间，和陈建华导师可以从事密码方面的研究，赵会江导师可以从事偏微分方程项目的研究，高付清导师可以从事概率论项目的研究等等。以下简单罗列出在校导师的相关信息，以供同学参考：姓 名性别职称（教授、副教授）在读博士生数量在读硕士生数量招收硕士生数量（推免数量）蔡东汉男教授174（1）陈化男教授374（1）陈群男教授232（1杜金元男教授484候友良男教授274陈建华男教授374（1）樊启斌男教授484（1）汪更生男教授121赵会江男教授384（1）冯慧女教授1642联系导师的方式方法联系方式是否需要联系最佳时间段联系最大次数注意事项Email联系是在成绩出来之后2不要练习次数太多老师如果想回的话联系一次就够了，他要是不想回邮件的话多少次都没用的电话联系是在复试完之后1短信联系否最好别发短信直接见面是在老师同意要了之后1第四部分 武汉大学数学专业初试专业课复习资料分析4.1参考书目参考书目名称书目属性（教材、练习册、）出版社作者是否招生 简章指定数学分析教材高等教育出版社华东师范大学是数学分析教程教材高等教育出版社常庚哲、史济怀著否高等代数教材高等教育出版社北京大学是高等代数与解析几何教材高等教育出版社陈志杰是高等代数新方法习题集中国矿业大学出版社王品超否高等代数解题法习题集安徽大学出版赵礼峰否4.2海文专业课标准课程内部讲义海文专业课学员享有班次讲义名称内容基础班基础讲义目标专业就业信息、考研专业内部信息、学科知识框架图及历年真题题型分值比例、全年专业课复习规划强化班强化讲义精细罗列各个考点、命题规律、知识点对应的重点习题和真题详细解析，并明确告知其专业课科学合理的复习方法冲刺班冲刺讲义梳理命题素材、各种题型精确解题方法和技巧、通过题目及知识点标注预测各种考点4.3考前三套模拟试题及其解析在距离考研将近30天左右的时间，将给学员下发三套模拟试题。4.4典型与重点题及其解析对于武汉大学的线性代数来说，首先是看完它所指定的教材，然后看高等代数新方法这本书，重是看它的第3,5,6,7这四章，第2和4章熟悉一下它的一般步骤和方法就行，但这两章每年一定会考题，难度不是很大，所以复习起来还是比较容易的。第1和8章就不用看了，这两章不在考试范围之内。4.5真题及其解析该专业课可以为考研学生提供10年历年真题，并在真题精讲班中讲解历年真题的各种题型科学解法，同时也告知学员如何分析真题、找出真题的考点、命题规律，如何通过相应题目练习达到掌握相关真题对应知识点的目的。第五部分 武汉大学数学专业初试线性代数考研知识点深度分析5.1真题分析年份题型分值考察范围考察难度（了解、理解、掌握、应用）2009计算40行列式计算，根据行列式的秩求未知数，求线性空间的一个基计算的题目都不是很难，只要是按定义来做都是可以做出来的证明110证明向量的线性相关性，证明与方程组解个数有关的不等式，特殊矩阵有关的证明，特征值的范围，矩阵相似，线性变换证明题中前面几个很简单属于理解定义就可以做的，后面关于线性变换的题目有一定难度2008计算70行列式求值球线性空间的位数和一组基，求满足条件的正交变换，求零化多项式，极小多项式，Jordan标准型，求双线性变换的矩阵。计算的题目都不是很难，只是有些计算起来有些复杂，只要细心就可以了，这基本属于理解定义就可以的题目 证明80证明满足某种条件矩阵存在性的问题，线性子空间的直和证明矩阵可逆，证明矩阵正定、合同，证明不变子空间，证明矩阵之间秩的关系前面两个证明存在性的问题看起来是比较新的题型，但具体分析一下就知道这都是很简单的，只是最后一个证明矩阵之间秩的不等式难度较大，是已有知识的一个应用2007计算70求满足一定条件的矩阵，求行列式的值，求线性方程组的基础解系，求不变因子，约当标准型，极小多项式，线性变换的基计算题的题目都不是很难，一般只要是考生能正确的应用定义就可以做出来。证明80线性方程组是否有公共解，关于代数余子式的证明，矩阵的秩，矩阵的正定，矩阵的相似，线性子空间的直和，线性变换的对角化问题，两个线性变换之间的关系证明题相对于计算题来说难度稍微大一些，但根据最近这些年武汉大学线性代数出题的规律来看，代数的题目都不难，所以基础一定要扎实。综合来说，高等代数专业课这几年的题型变化不大，主要有计算和证明题型，难度略有增加，侧重于对基础知识点的掌握，在复习时，对于了解的知识点，复习的时候，一定要搞清楚各个概念以及它们之间的关系，需要了解的只是大多数是定义之类的简单东西，我们必须看到定义之间的练习，才能在做题的时候不混淆，对于熟悉的知识点，这类知识我们应该找一部分习题进行一下简单训练，这类知识点一般不会出很难得题目，但肯定会在考试中涉及，所以进行一定的训练是很有必要的；对于掌握的知识点，这类知识点是考试的重点，一定要多花些时间来做，首先是看一遍课本，然后做完课本上相应的习题，对这类知识点先有个大体的了解，然后再做我们所推荐的那两本习题，将那上面的相关题目完成后对付考研是没问题的。 5.2参考书目知识点分析初试专业课 高等代数总共包括1本书下面我将主讲高等代数的复习概要，同学可以做个标注：高等代数章节章节名称重点难点必考点考试题型分值第1章多项式无第2章行列式计算行列式的值15第3章线性方程组求解题目中的参数15第4章矩阵求矩阵的逆或证明矩阵秩之间的关系25第5章二次型与正定矩阵、半正定矩阵、负定矩阵、半负定矩阵有关的证明15第6章线性空间证明线性空间同构，或求先行空间的维数15第7章线性变换求线性变换的特征向量特征值特征子空间，不变子空间等20第8章入-矩阵与约当标准型求约当标准型15第9章欧几里得空间对称变换，反对称变换，正交变换，正交矩阵有关的证明15第10章双线性函数与辛空间求双线性变换的矩阵155.3重点知识点汇总分析（大纲）序号知识点细分难易程度（最大为）1多项式多项式的概念两种不同的定义不定元的观点函数观点2多项式的运算加法、减法、乘法3多项式的次数不为零的项的最高次数为该多形式的次数4整除及其性质5最大公因式首项系数为1的最大公因式记为（，）6多项式互素7不可约多项式及其性质8因式分解定理9重因式不可约多项式称为多项式的重因式，如果而不整除10多项式的根11本原多项式12艾森施坦因判别法13多元多项式14对称多项式15行列式行列式的定义，逆序的定义为排列的逆序数。16行列式的性质转置以后其值不变，变换行列式的两行（列），行列式改变符号17按一行（列）展开18行列式的乘法19拉普拉斯定理 (laplace定理)20线性方程组克莱姆法则 （Cramer法则）设 ，且，则有唯一解，其解为21向量的线性相关性设，若方程组，在中有非零解，则称线性相关，否则称它们线性无关。22线性方程组解得情况分类非齐次线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩23矩阵矩阵及其运算矩阵的加法矩阵的数乘矩阵的乘法矩阵的转置24可逆矩阵与逆矩阵伴随矩阵及其性质逆矩阵及其性质求逆矩阵的两种方法I)用公式 II)初等变换法25初等变换与初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵26分块矩阵分块矩阵的运算分块矩阵的初等变换分块矩阵求逆的方法27矩阵的秩秩=秩();秩=秩，其中为非零常数秩秩秩秩28矩阵的分解矩阵的和分解矩阵的积分解29二次型二次型的标准形二次型的矩阵表示二次型与矩阵的合同30对称矩阵n阶对称矩阵合同于对角矩阵n阶实对称矩阵，都存在一个阶正交矩阵T 使31实二次型与复二次型的规范型复二次型经过适当的满秩线性变换（复）可变为实二次型经过适当的实满秩线性替换可变为32符号差p-q=S33对称矩阵的性质两个复对称矩阵合同的充要条件是他们的秩相等两个实对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩和相同的符号差34正定二次型判定条件A与E合同，A的一切顺序主子式全大于零。或A的特征值全为正。35二次型是负定二次型的充要条件是是正定二次型。36二次型是负定的充分必要条件是它的顺序主子式负、正相间。37n元实二次型正定二次型：正惯性指数秩n半正定二次型：正惯性指数秩负定二次型：负惯性指数秩n；半负定二次型：负惯性指数秩不定二次型：其他38线性空间线性空间的简单性质加法交换律加法结合律在中有一个元素0，对于中任一元素都有对于中每一个元素，都有中的元素，使得1=；39维数果在线性空间中有个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么就称为维的；如果在中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就称为无限维的.40基在维线性空间中，个线性无关的向量称为的一组基，41坐标设，其中系数是被向量和基唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标.42过渡矩阵43线性子空间数域上线性空间的一个非空子集合称为的一个线性子空间（或简称子空间），如果对于的两种运算也构成数域上的线性空间.44子空间的交与和，称为子空间的交；，称为子空间的和。45子空间的直和46同构47基本结论线性空间的非空子集是的子空间的充分必要条件是对于的两种运算是封闭的.向量组与向量组等价，且等于向量组的秩如果是线性空间的子空间，那么，都是的子空间.18数域上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.49线性变换线性映射的定义设为数域上的线性空间，为映射，且满足以下两个条件；，50单线性映射是单射51满线性映射是满射52同构映射既单又满，53的核（kernel）54的像（image），也记为55 和是的子空间56线性映射是单的当且仅当ker，是满的当且仅当coker57线性映射的运算的定义与性质加法与数域上的数量乘法58线性映射在一组基下的矩阵59线性变换线性空间到自身的线性映射称为线性变换60线性变换的矩阵61矩阵的相似二矩阵相似当且仅当它们是同一个线性变换在两组基下的矩阵。62线性变换的特征值与特征向量的定义若存在非零向量，使得对于某个，有，则称是的属于特征值的特征向量。63线性空间中属于确定的特征值的特征向量（添加上零向量）构成子空间特征子空间64特征值和特征子空间的计算、特征多项式被称为线性变换的特征多项式65线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关66维空间的具有 个不同特征值的线性变换的矩阵相似于对角矩阵.67维空间线性变换的矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件是该空间等于特征子空间的直和。68线性变换的不变子空间69如果维空间上的线性变换A的矩阵相似于对角矩阵，则A在任一不变子空间上（的限制）的矩阵相似于对角矩阵。70入-矩阵与约当标准型入-矩阵的可逆71入-矩阵的初等变换72入-矩阵等价的定义经一系列初等变换可以得到73入-矩阵的标准型 ,74入-矩阵的行列式因子75入-矩阵的不变因子入-矩阵的标准型对角线上的元素76两个入-矩阵等价的充分必要条件是他们有相同的不变因子77矩阵A的不变因子入E-A的不变因子78入-矩阵的初等因子所有次数大于等于1的因式79矩阵的Jordan标准型与A相似的Jordan型矩阵成为A的Jordan标准型80Ham