我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷1.doc

2000我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷12001我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷42002我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第一试）72004年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题112000我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第一试）一 已知m,n为整数，方程有两个不相等的实数根,方程有两个相等的实数根.求n的最小值，并说明理由。二已知M、N分别在正方形ABCD的边DA、AB上，且MN=AN，过A作BM的垂线，垂足为P。求证：APN=BNC三设N是正整数，如果存在大于1的正整数k，使得N-是k的正整数倍，则N称为一个“千禧数”，试确定在1，2，3，2000中“千禧数”的个数并说明理由。2000我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第二试）一给定四个命题：（1）sin15与sin75的平方和为1；（2）函数 y=x2-8x+6的最小值为 10；（3）；（4）若，则 x=10.其中错误的是 。二 如图，ABC中，AD和BE相交于F，已知AFB的面积=12平方厘米，BFD的面积=9平方厘米，AFE的面积=6平方厘米，那么，四边形CDEF的面积等于 平方厘米。三在ABC中，AB=，BC=2，ABC的面积为1，若B是锐角，则C的度数是 。四某自来水公司水费计算办法如下：每户每月用水不超过5吨的，每吨收费0。85元；超过5吨的，超出部分每吨收取较高的的定额费用。已知今年7月份张家用水量与李家用水量之比为2：3，其中张家当月水费是14.60元，李家当月水费是22.65元，那么，超出5吨部分的收费标准是每吨 元。五满足方程11x2+2xy+9y2+8x-12y+6=0的实数根对（x,y）的个数是 。六函数y=x2-3|x|+7的图象与函数y= x2-3x+| x2-3x |+6的图象的交点个数是 .七 已知抛物线y= x2+(k+1)x+1与x轴的两个交点A,B不全在原点左侧，抛物线的顶点为C，要使ABC恰为等边三角形，那么k的值为 .八如图，已知AB是圆O的直径，PQ是圆O的弦，PQ与AB不平行，R是PQ的中点。作PSAB,QTAB,垂足分别为S,T(ST)，并且SRT=60，则的值等于 .九满足方程 的实数x的值是 .十在四边形ABCD中，边AB=x，BC=CD=4, DA=5,它的对角线AC=y，其中x,y都是整数，BAC=DAC,那么，x= .2001我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第1试）一 在锐角ABC中，ADBC，D为垂足，DEAC，E为垂足，DFAB，F为垂足。O为ABC的外心。求证：（1）AEFABC；（2）AOEF。二 给定代数式 x3+100x2+x 中的字母 x只允许在正整数范围内取值。当这个代数式的值达到最大值时， x的值等于多少？并证明你的结论。三 （1）证明存在非零整数对（x,y）, 使代数式 11x2+5xy+37y2 的值为完全平方数；(2) 证明存在六个非零整数a1,b1,c1,a2,b2,c2, 其中a1:a2b1:b2,使得对于任意自然数n, 当x=a1n2+b1n+c1,y=a2n2+b2n+c2 时，代数式 11x2+5xy+37y2的值都是完全平方数。2001我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第二试）一 = 。二在长方形ABCD中，EFAB，GHAD，EF与GH相交于O，HC与EF相交于I。已知AH:HB=AE：ED=m:n, COI的面积为1平方厘米，那么矩形ABCD的面积等于 平方厘米。三将三个数： 用两个不等号“”连接起来，正确的结果应该是： 。四 点D，E分别在ABC的边AC和BC上，C为直角，DEAB，且3DE=2AB，AE=13，BD=9，那么AB的长等于 。五 已知：x,y,z是正整数，并且满足那么，x-y+z 的值等于 。六已知点D，E，F分别在ABC的三边BC，CA，AB上，G为BE与CF的交点，并且BD=DC=CA=AF，AE=EC=BF，那么的值等于 。七如果满足 |x2-6x-16|-10| = a的实数x 恰有6个，那么实数a的值等于 。八已知ABC为等腰直角三角形，C为直角，延长CA至D，以AD为直径作圆，连BD与圆O交于点E，连CE，CE的延长线交圆O于另一点F，那么的值等于 。九满足下列两个条件（1）对所有的自然数，x，x-2001x+n0;（2）存在自然数x0，使x02-2002 x0+n0.的正整数n的个数为 十一批救灾物资分别随16列货车从甲站紧急调运到三百多千米以外的乙站，已知每列货车的平均速度都相等，且记为v千米/小时。两列货车实在运行中的间隔不小于千米，这这批救灾物资全部运到目的地最快需要6小时，那么每隔 分钟从甲站向乙站发一趟货车才能使这批货物在6小时内运到。2002我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第一试）一已知a,b,c是三个两两不同的奇质数，方程有两个相等的实数根。（1）求a的最小值；（2）当a达到最小时，解这个方程。二设AB,CD为圆O的两直径，过B作PB垂直AB，并与CD延长线相交于点P，过P作直线PE，与圆分别交于E,F两点，连AE,AF分别与CD交于G,H两点（如图），求证：OG=OH.三已知a1,a2,a2002的值都是+1或-1，设S是这2002个数的两两乘积之和。（1）求S的最大值和最小值，并指出能达到最大值，最小值的条件；（2）求S的最小正值，并指出能达到最小正值的条件2002我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第二试）一 计算：20033-20013-620032+241001= 。二在ABC中，B的平分线与C的外角平分线相交于点D，如果A=27，那么BDC= 。三已知0a-b1,1a+b4，那么当a-2b达到最大值时，8a+2002b的值等于 。四如果一个正整数等于它的各位数字之和的4倍，那么，我们就把这个正整数叫做四合数。所有四合数的和等于 。五方程x-2|x+4|-27=0的所有根的和为 。六如果当m取不等于0和1的任意实数时，抛物线在平面直角坐标系上都过两个定点，那么这两个定点间的距离为 。七方程的三个根分别是 。八在RtABC中，A=30,A的平分线的长为1cm，那么ABC的面积为 。九 已知： 某商人经营甲乙两种商品，每件甲种商品的利润率为40%，每件乙种商品的利润率为60%，当售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多50%时，这个商人得到的总利润率为50%，那么当售出的甲，乙两种商品的件数相等时，这个商人的总利润率是 。十设计一把直尺ABC，BC在地面上，AB与地面垂直，并且AB=10cm，移动一个半径不小于10cm的圆形轮子，使轮子紧靠A点，且与BC相切于D点（如图）。设计要求在D处的刻度恰好显示这个轮子的半径（以厘米为单位）。那么，当BC的长度为1M时，BC上可标出的最大刻度是 2004年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题 第一试1求所有能使为正整数的正整数n2已知BE、CF是锐角ABC的两条高，求证ABE的平分线、ACF的平分线与线段 EF的垂直平分线相交于一点3在平面直角坐标系中，求同时满足下列两个条件的点的坐标； (1)直线y=-2x+3通过这样的点； (2)不论m取何值，抛物线y=mx2+(m-)-(2m-)都不通过这样的点第二试1.若，则= 2能使关于x的方程只有一个实数根的所有a的值的总和等于 3要使方程x4+(m-4)x2+2(1-m)=O恰有一个不小于2的实根，那么m的取值范围是 4在平面直角坐标系中，所有满足方程|x|+|y|=一|x|-|y|的点(x,y)所围成的图形的面积为 5已知，那么当-4x2+12y-8达到最大值时，22x-33y= 6已知y=100+10nx-10x-100，其中n为正整数要使0y300对于满足0x16的所有x都成立，那么n= 7设PO是边长为1的正ABC的外接圆内的一条弦。已知AB和AC的中点都在PQ上那么，PQ的长等于 8在RtA BC中，AB=3，BC=4，B=9 O，A D、BE、CF是ABC的三条内角平分线那么,DEF的面积等于 9在ABC中，AB=6，BC=5，AC=4，AP是它一条内角平分线，AP的垂直平分线EF与A P相交于点E，与BC的延长线相交于点F那么AF= 10如图，A、B两地相距600km,过A地的一条铁路AD笔直地沿东西方向向两边延伸点B到A D的最短距离为3 6 0km今计划在铁路线AD上修一个中转站C，再在BC间修一条笔直的公路如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么，为使通过铁路由A到C再通过公路由C到B的总运费达到最小值，中转站C的位置应使AC= km2004年我爱数学初中生夏令营数学竞赛答案 第一试1设=k，k为正整数则n2-200kn+999k=0设方程有正整数根n1，且另一根为n2 由韦达定理有n1+n2=200k。 n1n2=999k 因此，n2也是正整数，且n1、n2都满足题设条件。不妨设n1n2由得n1100k 由得n2=999k/n1999k/100k所以，n29经检验可知，只有n2=5符合条件，此时，k=25，n1=4995因此，所求n为5，49952如图。设ABE的平分线与ACF的平分线相交于点N，联结NE、NF由B、C、E、F四点共圆，则ABE=ACF，FBN=FCN所以，B、C、N、F四点共圆从而，B、C、E、N、F五点共圆于是由FBN=NBE 得NF=NE故N在EF的垂直平分线上3由(2)知mO设点(x0，y0)满足(1)和(2)，则y0=-2x0+3，且对任意非零实数m，都有y0mx02+(m-)x0-(2m-)将式代入式，并整理得(x0-1)(x0+2)m-x0+所以x0=1，-2或63/32代入式得同时满足条件(1)、(2)的点的坐标为(1，1)，(-2,7)，(63/32,-15/16) 第二试17/92 -1553m-l4 20045 12646 47 /2 提示：如图，设PQ与AB、AC的交点是D、E 由相交弦定理得810/7 提示：由内角平分线的性质求，9 6 提示：如图由海伦公式得SABC=15/4 AH=3/2，PC=