【备战】高考数学 高频考点归类分析 三角函数的综合问题（真题为例）.doc

三角函数的综合问题典型例题： 例1. （2012年全国大纲卷文5分）若函数是偶函数，则=【 】a. b. c. d. 【答案】c。【考点】偶函数的性质，和的三角函数公式。【解析】函数是偶函数，即。 展开，得， 即，即。 ，解得。 又，。故选c。例2. （2012年四川省理5分）如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则【 】a、 b、 c、 d、【答案】b。【考点】余弦定理，同角函数关系式。【解析】，正方形的边长为，。为钝角，为锐角。故选b。例3. （2012年天津市理5分）在中，内角，所对的边分别是，已知，则 =【 】（a） （）（）（）【答案】a 。【考点】正弦定理，二倍角的三角函数公式。【分析】，由正弦定理得。又，。，=。故选a 。例4. （2012年湖南省理5分）函数的值域为【 】 a b. c. d. 【答案】b。【考点】三角恒等变换。【解析】利用三角恒等变换把化成的形式，利用，求得的值域： ，。 函数的值域为。故选b。例5. （2012年全国大纲卷理5分）当函数取得最大值时， 。【答案】。【考点】三角函数性质的运用。【解析】求解值域的问题，首先化为单一三角函数，然后利用定义域求解角的范围，从而结合三角函数图像得到最值点。，。，当且仅当即时，函数取得最大值。例6. （2012年重庆市理5分）设的内角的对边分别为，且则 【答案】。【考点】同角三角函数的基本关系式，两角和的三角公式，正弦定理的应用。【分析】，。，。 。 由正弦定理得，。例7. （2012年重庆市文5分）设的内角 的对边分别为，且，则 源:21世纪教育网【答案】。【考点】同角三角函数间的基本关系，余弦定理应用，等腰三角形的性质。【分析】由为三角形的内角，及cos的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin的值，再由与的值，利用余弦定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，再由sin，及的值，利用正弦定理即可求出的值：为三角形的内角， ，。又，由余弦定理得：，解得：。又，由等腰三角形等边对等角的性质得：。（或用正弦定理求解）例8. （2012年全国大纲卷理10分）的内角的对边分别为，已知，求。【答案】解：，。由正弦定理及可得，。由得。将代入，得，。为三角形的内角且，。【考点】解三角形的运用，三角形的内角和定理，正弦定理，和与差的三角函数。【解析】给出两个公式，一个是边的关系，一个角的关系，而求解的为角，因此要找到角的关系式为好。先将三角函数关系式化简后，得到角关系，然后结合，得到两角的二元一次方程组，自然很容易得到角的值。例9. （2012年全国课标卷理12分）已知分别为三个内角的对边，（1）求 （2）若，的面积为；求。【答案】解：（1）由，根据正弦定理得： ，。或（不合题意，舍去）。 （2）由得， 由得， 解得：。【考点】正弦定理和余弦定理的应用，和与差的三角函数。【解析】（1）根据正弦定理可将已知等式化为，应用和与差的三角函数变形后可得，从而求出。 （2）根据已知和余弦定理，可得关于 的方程组，求解即可。例10. （2012年全国课标卷文12分）已知a，b，c分别为abc三个内角a，b，c的对边，c = asincccosa(1) 求a(2) 若a=2，abc的面积为，求b,c【答案】解：（1）由c = asincccosa得，根据正弦定理，得 ，即，。或（不合题意，舍去）。（2）由得， 由得， 解得：。【考点】正弦定理和余弦定理的应用，和与差的三角函数。【解析】（1）根据正弦定理可将已知等式化为，应用和与差的三角函数变形后可得，从而求出。 （2）根据已知和余弦定理，可得关于 的方程组，求解即可。例11. （2012年北京市理13分）已知函数。（1）求的定义域及最小正周期；（2）求的单调递增区间。【答案】解：（1）由解得， 的定义域为。 又 的最小正周期为。（2）， 根据正弦函数的增减性，得或，。 解得或，。的单调递增区间为。【考点】三角函数的定义域、最小正周期和单调增减性。【解析】（1）根据分式分母不为0的条件，结合正弦函数的零点得出的定义域。将变形，即可由求最小正周期的公式求得。 （2）根据正弦函数的增减性，结合的定义域，求出的单调递增区间。例12. （2012年四川省理12分）函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形。（）求的值及函数的值域；（）若，且，求的值。【答案】解：（）由已知可得：又正的高为2，bc=4。函数的同期，即，解得。函数的值域为。（），由（）有，即。 由得x0。 。【考点】三角函数的图像与性质，同角三角函数的关系、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式。【解析】（）将）化简为，利用正弦函数的周期公式与性质可求的值及函数的值域。（）由，知 ，由，可求得即，利用两角和的正弦公式即可求得。例13. （2012年四川省文12分）已知函数。（）求函数的最小正周期和值域；（）若，求的值。【答案】解：（），的最小正周期为2，值域为。（）由（）知，=， cos。 。【考点】三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式。【解析】（）将化为 即可求得的最小正周期和值域。（）由=可求得cos，由余弦函数的二倍角公式与诱导公式可求得的值。例14. （2012年天津市理13分）已知函数，.()求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】解：() ，函数的最小正周期。（）函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 又， 函数在的最大值为 2 ，最小值为1。【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值。【分析】()利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将化为，即可求得函数的最小正周期。（）分析得到函数在区间上的增减性，即可是求得在区间的最大值和最小值。例15. （2012年天津市文13分） 在中，内角所对的分别是。已知，.（i）求和b的值；（ii）求的值。【答案】解：（i）在中，。 ，。，解得。（ii）、 ，。【考点】解三角形，三角函数中的恒等变换应用。【分析】（i）中，利用同角三角函数的基本关系求出，再由正弦定理求出，再由余弦定理求得。（ii）利用二倍角公式求得和的值，再由两角和的余弦公式求出的值。例16. （2012年安徽省理12分） 设函数 （i）求函数的最小正周期； （ii）设函数对任意，有，且当时， ； 求函数在上的解析式。【答案】解：（i）， 函数的最小正周期。（ii）当时， 当时， ，当时， ，。函数在上的解析式为。【考点】三角函数公式和性质。，【解析】（i）将化为，即可求出函数的最小正周期。 （ii）由得出关于的函数关系式。由分区间讨论即可。例17. （2012年安徽省文12分）设的内角所对的边为，且有（）求角的大小；（ii） 若，为的中点，求的长。【答案】解：（），。 。 。 （ii）， ，解得。 。 在中，。【考点】三角函数的应用，余弦定理，勾股定理和逆定理。【解析】（）化简即可求出角的大小。（ii）应用余弦定理，求出，从而根据勾股定理逆定理得到，在在中应用勾股定理即可求出的长。例18. （2012年广东省理12分）已知函数的最小正周期为（1）求的值；（2）设，求的值。【答案】解：（1）由得。（2）由（1）知， 且，。 ，。【考点】两角和与差的余弦函数，诱导公式，三角函数的函数的周期。【解析】（1）由题意，由于已经知道函数的周期，可直接利用公式解出参数的值。 （2）由题设条件，可先对，与进行化简，求出与两角的函数值，再由余弦的和角公式求出的值。例19. （2012年江西省理12分）在中，角的对边分别为。已知，。（1）求证：（2）若，求的面积。【答案】解：（1）证明：由bsincsina，应用正弦定理，得sinbsinsincsinsina，sinbsinc。整理得sinbcosccosbsinc1，即sin(bc)1。0b，c，bc。（2）由（1）知bc，又bca，b，c。由a，a，得b2sin，c2sin。abc的面积sbcsinasinsincossin。【考点】解三角形，三角形的面积，三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用。【解析】（1）通过正弦定理以及三角和差公式化简已知表达式，推出bc的正弦函数值，由得出0b，c，从而求得bc。（2）利用，通过正弦定理求出b，c，然后利用三角形的面积公式求abc的面积。例20. （2012年江西省文12分）在中，角的对边分别为。已知。（1）求；（2）若， 的面积为，求。【答案】解：（1）由化简得：， 变形得：，即，。（2）为三角形的内角，。又，即，解得：。又，由余弦定理得，即=13。联立解得：或。【考点】余弦定理、正弦定理、诱导公式的应用，两角和与差的余弦函数。【解析】（1）利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项，移项合并后再利用两角和与差的余弦函数公式得出的值，将用三角形的内角和定理及诱导公式变形后，将的值代入即可求出的值。（2）由的值及为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，利用三角形的面积公式表示出的面积，将已知的面积及的值代入，得出，记作，再由及的值，利用余弦定理列出关于与的关系式，记作，联立即可求出与的值。例21. （2012年浙江省理14分）在中，内角，的对边分别为，已知，（）求的值；（）若，求的面积【答案】解：()cosa0，sina。又coscsinbsin(ac)sinacoscsinccosacoscsinc整理得：tanc。（）由图辅助三角形知：sinc，。又由正弦定理知：，解得。abc的面积为：s。【考点】三角恒等变换，正弦定理，三角形面积求法。【解析】()由a为三角形的内角，及cosa的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sina的值，再将已知等式的左边sinb中的角b利用三角形的内角和定理变形为（a+c），利用诱导公式得到sinb=sin（a+c），再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanc的值。（）由tanc的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinc 和cosc的值，将cosc的值代入中，即可求出的值，由求出c的值，最后由s即可求出三角形abc的面积。例22. （2012年浙江省文14分）在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且bsina=acosb。（1）求角b的大小；（2）若b=3，sinc=2sina，求a，c的值.【答案】解：（1）bsina=acosb，由正弦定理得，即。 b是abc的内角，。（2）sinc=2sina，由正弦定理得。 由余弦定理得， 解得。 。【考点】正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理。【解析】（1）将已知的等式利用正弦定理化简，根据sina不为0，等式两边同时除以sina，再利用同角三角函数间的基本关系求出tanb的值，由b为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出b的度数。（2）由正弦定理化简sinc=2sina，得到关于a与c的关系，再由b及cosb的值，利用余弦定理列出关于a的一个方程，解出即可求出a与c的值。例23. （2012年湖北省文12分）设函数f(x)sin2x2sinxcosxcos2x(xr)的图象关于直线x对称，其中，为常数，且.（）求函数f(x)的最小正周期；（）若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)的值域【答案】解：（）f(x)sin2xcos2x2sinxcosxcos2xsin2x2sin.，且直线x是yf(x)图象的一条对称轴，sin1。2k(kr)，即(kr)。又，kr，k1。f(x)的最小正周期是。（）由yf(x)的图象过点，得f0，即2sin2sin。f(x)2sin，函数f(x)的值域为2，2【考点】三角函数的恒等变化，正弦函数的定义域和值域。【解析】（）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f(x)化为y=asin（x+）+k型函数，再利用函数的对称性和的范围，计算的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期。（）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f(x)的值域。例24. （2012年重庆市理13分）设，其中（）求函数 的值域；（8分）（）若在区间上为增函数，求的最大值.（5分）【答案】解：（） ，。即函数的值域为。（）由得。 在上为增函数。时，为增函数，对某个整数成立，易知必有=0。，解得。的最大值为。【考点】二倍角的余弦和正弦，两角和与差的正弦函数，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性。【分析】（i）由题意，可由三角函数的恒等变换公式对函数的解析式进行化简得到，由此易求得函数的值域。（ii）在区间上为增函数，此区间必为函数某一个单调区间的子集，由此可根据复合三角函数的单调性求出用参数表示的三角函数的单调递增区间，由集合的包含关系比较两个区间的端点即可得到参数所满足的不等式，由此不等式解出它的取值范围，即可得到它的最大值。例25. （2012年重庆市文12分）设函数（其中 ）在处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为。（i）求的解析式（5分）；（ii）求函数的值域（7分）。【答案】解：（）函数图象与轴的相邻两个交点的距离为，的周期为，即，解得。在处取得最大值2，=2。，即。又，。的解析式为。（）函数， 又，且， 的值域为。【考点】三角函数中的恒等变换应用，由的部分图象确定其解析式。【分析】（）通过函数的周期