2014年福建普通高考数学试题及参考答案.doc

数学试题(理工农医类)第玉卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数z=(3-2i)i的共轭复数z等于A.-2-3iB.-2+3iC.2-3iD.2+3i2.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱3.等差数列an的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于A.8B.10C.12D.144.若函数y=logaxa0,且a屹()1的图象如右图所示,则下列函数图象正确的是5.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的S的值等于A.18B.20C.21D.406.直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1冶是“吟OAB的面积为12冶的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件7.已知函数f(x)=x2+1,x0,cosx,x臆0,则下列结论正确的是A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为-1,+)8.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)319.设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆x210+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是A.52B.46+2C.7+2D.6210.用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1冶表示一个球都不取、“a冶表示取出一个红球、而“ab冶则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)第域卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.若变量x,y满足约束条件x-y+1臆0,x+2y-8臆0,x逸0,则z=3x+y的最小值为摇摇摇摇摇.12.在吟ABC中,A=60毅,AC=4,BC=23,则吟ABC的面积等于摇摇摇摇摇.13.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是摇摇摇摇摇(单位:元).14.如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为摇摇摇摇摇.15.若集合a,b,c,d=1,2,3,4,且下列四个关系:淤a=1;于b屹1;盂c=2;榆d屹4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是摇摇摇摇摇.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-12.(玉)若0琢0,b0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.(玉)求双曲线E的离心率;(域)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且吟OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.4120.(本小题满分14分)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(玉)求a的值及函数f(x)的极值;(域)证明:当x0时,x2ex;(芋)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x沂(x0,+)时,恒有x2cex.21.本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换已知矩阵A的逆矩阵A-1=21()12.(玉)求矩阵A;(域)求矩阵A-1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为x=a-2t,y=-4t(t为参数),圆C的参数方程为x=4cos兹,y=4sin兹(兹为参数).(玉)求直线l和圆C的普通方程;(域)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲已知定义在R上的函数f(x)=x+1+x-2的最小值为a.(玉)求a的值;(域)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2逸3.数学试题(理工农医类)参考答案一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分50分.1.C2.A3.C4.B5.B6.A7.D8.B9.D10.A二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分,满分20分.11.1摇摇摇12.23摇摇摇13.160摇摇摇14.2e2摇摇摇15.6三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的三角函数公式及三角函数的图象与性质等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分13分.解法一:(玉)因为0琢仔2,sin琢=22,所以cos琢=22.所以f(琢)=22(22+22)-12=12.(域)因为f(x)=sinxcosx+cos2x-12=12sin2x+1+cos2x2-12=12sin2x+12cos2x=22sin(2x+仔4),所以T=2仔2=仔.由2k仔-仔2臆2x+仔4臆2k仔+仔2,k沂Z,得k仔-3仔8臆x臆k仔+仔8,k沂Z.所以f(x)的单调递增区间为k仔-3仔8,k仔+仔8,k沂Z.解法二:f(x)=sinxcosx+cos2x-12=12sin2x+1+cos2x2-12=12sin2x+12cos2x=22sin(2x+仔4).51(玉)因为0琢仔2,sin琢=22,所以琢=仔4,从而f(琢)=22sin(2琢+仔4)=22sin3仔4=12.(域)T=2仔2=仔.由2k仔-仔2臆2x+仔4臆2k仔+仔2,k沂Z,得k仔-3仔8臆x臆k仔+仔8,k沂Z.所以f(x)的单调递增区间为k仔-3仔8,k仔+仔8,k沂Z.17.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.满分13分.解:(玉)疫平面ABD彝平面BCD,平面ABD疑平面BCD=BD,AB奂平面ABD,AB彝BD,亦AB彝平面BCD.又CD奂平面BCD,亦AB彝CD.(域)过点B在平面BCD内作BE彝BD,如图.由(玉)知AB彝平面BCD,BE奂平面BCD,BD奂平面BCD,亦AB彝BE,AB彝BD.以B为坐标原点,分别以寅BE,寅BD,寅BA的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意,得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),M(0,12,12),则寅BC=(1,1,0),寅BM=(0,12,12),寅AD=(0,1,-1).设平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0),则n寅BC=0,n寅BM=0,即x0+y0=0,12y0+12z0=0,取z0=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1).设直线AD与平面MBC所成角为兹,则sin兹=cos=n寅ADn寅AD=63,即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为63.18.本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想、分类与整合思想.满分13分.解:(玉)设顾客所获的奖励额为X.(印)依题意,得P(X=60)=C11C13C24=12,即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.(英)依题意,得X的所有可能取值为20,60.P(X=60)=12,P(X=20)=C23C24=12,即X的分布列为X2060P0.50.5所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=20伊0.5+60伊0.5=40(元).(域)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:61对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1,则X1的分布列为X12060100P162316X1的期望为E(X1)=20伊16+60伊23+100伊16=60,X1的方差为D(X1)=(20-60)2伊16+(60-60)2伊23+(100-60)2伊16=16003.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2,则X2的分布列为X2406080P162316X2的期望为E(X2)=40伊16+60伊23+80伊16=60,X2的方差为D(X2)=(40-60)2伊16+(60-60)2伊23+(80-60)2伊16=4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.注:第(域)问,给出方案1或方案2的任一种方案,并利用期望说明所给方案满足要求,给3分;进一步比较方差,说明应选择方案2,再给2分.19.本小题主要考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类与整合思想、函数与方程思想.满分13分.解法一:(玉)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以ba=2,所以c2-a2a=2,故c=5a,从而双曲线E的离心率e=ca=5.(域)由(玉)知,双曲线E的方程为x2a2-y24a2=1.设直线l与x轴相交于点C.当l彝x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则OC=a,|AB|=4a,又因为吟OAB的面积为8,所以12OCAB=8,因此12a4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为x24-y216=1.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为x24-y216=1.以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:x24-y216=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k2或k-2,则C(-mk,0).记A(x1,y1),B(x2,y2).由y=kx+m,y=2x得y1=2m2-k,同理得y2=2m2+k.由S吟OAB=12OCy1-y2得,12-mk2m2-k-2m2+k=8,即m2=44-k2=4k2()-4.71由y=kx+m,x24-y216=1得,(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.因为4-k20,所以驻=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-164k2-m2()-16,又因为m2=4k2()-4,所以驻=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为x24-y216=1.解法二:(玉)同解法一.(域)由(玉)知,双曲线E的方程为x2a2-y24a2=1.设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得-12m12.由x=my+t,y=2x得y1=2t1-2m,同理得y2=-2t1+2m.设直线l与x轴相交于点C,则C(t,0).由S吟OAB=12OCy1-y2=8,得12|t|2t1-2m+2t1+2m=8,所以t2=41-4m2=41-4m()2.由x=my+t,x2a2-y24a2=1得,(4m2-1)y2+8mty+4t2-a()2=0.因为4m2-12或k-2.由y=kx+m,4x2-y2=0得,(4-k2)x2-2kmx-m2=0,因为4-k20,所以x1x2=-m24-k2,又因为吟OAB的面积为8,所以12OAOBsin蚁AOB=8,又易知sin蚁AOB=45,所以25x21+y21x22+y22=8,化简得x1x2=4.所以-m24-k2=4,即m2=4k2()-4.由(玉)得双曲线E的方程为x2a2-y24a2=1,由y=kx+m,x2a2-y24a2=1得,(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,因为4-k20,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当驻=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,即k2()-4a2()-4=0,所以a2=4,所以双曲线E的方程为x24-y216=1.当l彝x轴时,由吟OAB的面积等于8可得l:x=2,又易知l:x=2与双曲线E:x24-y216=1有且只有一个公共点.综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为x24-y216=1.8120.本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词与存在量词等基础知识,考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想.满分14分.解法一:(玉)由f(x)=ex-ax,得f忆(x)=ex-a.又f忆(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=ex-2x,f忆(x)=ex-2.令f忆(x)=0,得x=ln2.当xln2时,f忆(x)ln2时,f忆(x)0,f(x)单调递增.所以当x=ln2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值.(域)令g(x)=ex-x2,则g忆(x)=ex-2x.由(玉)得g忆(x)=f(x)逸f(ln2)0,故g(x)在R上单调递增,又g(0)=10,因此,当x0时,g(x)g(0)0,即x20时,x20时,x2cex.取x0=0,当x沂(x0,+)时,恒有x2cex.于若0c1,要使不等式x2kx2成立.而要使exkx2成立,则只要xln(kx2),只要x2lnx+lnk成立.令h(x)=x-2lnx-lnk,则h忆(x)=1-2x=x-2x,所以当x2时,h忆(x)0,h(x)在(2,+)内单调递增.取x0=16k16,所以h(x)在(x0,+)内单调递增,又h(x0)=16k-2ln(16k)-lnk=8(k-ln2)+3(k-lnk)+5k,易知klnk,kln2,5k0,所以h(x0)0.即存在x0=16c,当x沂(x0,+)时,恒有x2cex.综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x沂(x0,+)时,恒有x20时,exx2,所以ex=ex2ex2(x2)2(x2)2,当xx0时,ex(x2)2(x2)24c(x2)2=1cx2,因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x沂(x0,+)时,恒有x2cex.解法三:(玉)同解法一.(域)同解法一.(芋)首先证明当x沂(0,+)时,恒有13x30时,x2ex,从而h忆(x)0,h(x)在(0,+)单调递减,所以h(x)h(0)=-10,即13x3x0时,有1cx213x3ex.因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x沂(x0,+)时,恒有x2cex.注:对c的分类可有不同的方式,只要解法正确,均相应给分.21.(1)选修4-2:矩阵与变换本小题主要考查逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分7分.91解:(玉)因为矩阵A是矩阵A-1的逆矩阵,且A-1=2伊2-1伊1=3屹0,所以A=132-1()-12=23-13-1323.(域)矩阵A-1的特征多项式为f(姿)=姿-2-1-1姿-2=姿2-4姿+3=(姿-1)(姿-3),令f(姿)=0,得矩阵A-1的特征值为姿1=1或姿2=3,所以孜1=1()-1是矩阵A-1的属于特征值姿1=1的一个特征向量,孜2=1()1是矩阵A-1的属于特征值姿2=3的一个特征向量.(2)选修4-4:坐标系与参数方程本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分7分.解:(玉)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,圆C的普通方程为x2+y2=16.(域)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d=-2a5臆4,解得-25臆a臆25.(3)选修4-5:不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分7分.解:(玉)因为x+1+x-2逸(x+1)-(x-2)=3,当且仅当-1臆x臆2时,等号成立,所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(域)由(玉)知p+q+r=3,又因为p,q,r是正实数,所以(p2+q2+r2)(12+12+12)逸(p伊1+q伊1+r伊1)2=(p+q+r)2=9,即p2+q2+r2逸3.摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇数学试题(文史类)第玉卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合P=x2臆x4,Q=xx逸3,则P疑Q等于A.x3臆x4B.x3x4C.x2臆x3D.x2臆x臆32.复数(3+2i)i等于A.-2-3iB.-2+3iC.2-3iD.2+3i3.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于A.2仔B.仔C.2D.14.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的n的值为A.1B.2C.3D.45.命题“坌x沂0,+),x3+x逸0冶的否定是A.坌x沂(-,0),x3+x0B.坌x沂(-,0),x3+x逸0C.埚x0沂0,+),x30+x00,且a屹1)的图象如右图所示,则下列函数图象正确的是9.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是A.80元B.120元C.160元D.240元10.设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则寅OA+寅OB+寅OC+寅OD等于A.寅OMB.2寅OMC.3寅OMD.4寅OM11.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域赘:x+y-7臆0,x-y+3逸0,y逸0.若圆心C沂赘,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为A.5B.29C.37D.4912.在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L-距离冶定义为P1P2=x1-x2+y1-y2,则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L-距离冶之和等于定值(大于F1F2)的点的轨迹可以是第域卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.13.如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为摇摇摇摇摇.14.在吟ABC中,A=60毅,AC=2,BC=3,则AB等于摇摇摇摇摇.15.函数f(x)=x2-2,摇摇x臆0,2x-6+lnx,x0的零点个数是摇摇摇摇摇.16.已知集合a,b,c=0,1,2,且下列三个关系:淤a屹2;于b=2;盂c屹0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于摇摇摇摇摇.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)在等比数列an中,a2=3,a5=81.(玉)求an;(域)设bn=log3an,求数列bn的前n项和Sn.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx).(玉)求f(5仔4)的值;(域)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.19.(本小题满分12分)如图,三棱锥A-BCD中,AB彝平面BCD,CD彝BD.(玉)求证:CD彝平面ABD;(域)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.20.(本小题满分12分)根据世行2013年新标准,人均GDP低于1035美元为低收入国家;人均GDP为10354085美元为中等偏下收入国家;人均GDP为408512616美元为中等偏上收入