高考数学一轮复习 第六章 数列 第三节 等比数列及其前n项和课件 文.ppt

第三节等比数列及其前n项和 总纲目录 教材研读 1 等比数列的定义 考点突破 2 等比数列的通项公式 3 等比中项 考点二等比数列的性质及其应用 考点一等比数列的基本运算 4 等比数列的常用性质 5 等比数列的前n项和公式 6 等比数列前n项和的性质 考点三等比数列的判定与证明 1 等比数列的定义如果一个数列从 第二项起 每一项与前一项的比等于 同一个常数 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的 公比 通常用字母 q表示 定义的表达式为 q n n 教材研读 2 等比数列的通项公式等比数列 an 的通项公式为an a1qn 1 3 等比中项若 g2 ab ab 0 那么g叫做a与b的等比中项 4 等比数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am qn m n m n 2 若 an 为等比数列 且k l m n k l m n n 则 akal aman 3 若 an bn 项数相同 是等比数列 则 an 0 an bn 仍是等比数列 5 等比数列的前n项和公式等比数列 an 的公比为q q 0 其前n项和为sn 当q 1时 sn na1 当q 1时 sn 6 等比数列前n项和的性质公比不为 1的等比数列 an 的前n项和为sn 则sn s2n sn s3n s2n仍成等比数列 其公比为qn 与等比数列有关的结论 1 an am qn m an m anqm amqn m n n 2 a1a2a3 am am 1am 2 a2m a2m 1a2m 2 a3m 成等比数列 m n 3 若等比数列的项数为2n n n 公比为q 奇数项之和为s奇 偶数项之和为s偶 则 q 4 三个数成等比数列 通常设为 x xq 四个数成等比数列 通常设为 xq xq3 1 已知 an 是等比数列 a2 2 a5 则公比q a b 2c 2d 答案d由通项公式及已知得a1q 2 a1q4 由 得q3 解得q 故选d d 2 已知等比数列 an 的前三项依次为a 1 a 1 a 4 则an a 4 b 4 c 4 d 4 答案b由题意得 a 1 2 a 1 a 4 解得a 5 故a1 4 a2 6 所以q 则an 4 b 3 在等比数列 an 中 已知a7a12 5 则a8a9a10a11 a 10b 25c 50d 75 答案b a7a12 5 a8a9a10a11 a8a11 a9a10 a7a12 2 25 4 2016北京丰台一模 已知等比数列 an 中a1 1 且 8 那么s5的值是 a 15b 31c 63d 64 答案b q3 8 q 2 又 a1 1 s5 31 b b 5 2017北京海淀一模 已知等比数列 an 中 a2a4 a5 a4 8 则公比q 其前4项和s4 答案2 15 解析设等比数列 an 的公比为q a2a4 a5 a4 8 8a2 a2 q3 q 2 a1 1 s4 15 6 2017北京朝阳期中 各项均为正数的等比数列 an 的前n项和为sn 若a3 2 s4 5s2 则a1的值为 s4的值为 答案 解析当等比数列的公比等于1时 由a3 2 得s4 4a3 4 2 8 5s2 5 2a3 5 2 2 20 与题意不符 设各项均为正数的等比数列的公比为q q 0且q 1 由a3 2 s4 5s2 得整理得解得或 舍 则s4 典例1 2017北京 15 13分 已知等差数列 an 和等比数列 bn 满足a1 b1 1 a2 a4 10 b2b4 a5 1 求 an 的通项公式 2 求和 b1 b3 b5 b2n 1 考点一等比数列的基本运算 考点突破 解析本题考查等差数列及等比数列的通项公式 数列求和 考查运算求解能力 1 设等差数列 an 的公差为d 因为a2 a4 10 所以2a1 4d 10 解得d 2 所以an 2n 1 2 设等比数列 bn 的公比为q 因为b2b4 a5 所以b1qb1q3 9 解得q2 3 所以b2n 1 b1q2n 2 3n 1 从而b1 b3 b5 b2n 1 1 3 32 3n 1 方法指导解决等比数列有关问题的常用思想方法 1 方程的思想 等比数列中有五个量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 2 分类讨论的思想 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论 当q 1时 an 的前n项和sn na1 当q 1时 an 的前n项和sn 1 1 2016北京西城期末 已知数列 an 是等比数列 并且a1 a2 1 a3是公差为 3的等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn a2n 记sn为数列 bn 的前n项和 证明 sn 典例2 1 2015北京海淀期中 若等比数列 an 满足a1 a3 5 且公比q 2 则a3 a5 a 10b 13c 20d 25 2 若等比数列 an 的各项均为正数 且a10a11 a9a12 2e5 则lna1 lna2 lna20 3 设等比数列 an 的前n项和为sn 若s6 s3 1 2 则s9 s3 考点二等比数列的性质及其应用 答案 1 c 2 50 3 3 4 解析 1 a3 a5 a1q2 a3q2 a1 a3 q2 5 22 20 2 因为等比数列 an 中 a10a11 a9a12 所以由a10a11 a9a12 2e5 可得a10 a11 e5 所以lna1 lna2 lna20 ln a1 a2 a20 ln a10 a11 10 10ln a10 a11 10lne5 50 3 由题意可知q 1 故由等比数列的性质知 s3 s6 s3 s9 s6仍成等比数列 于是 s6 s3 2 s3 s9 s6 将s6 s3代入可得 易错警示 1 在解决等比数列的有关问题时 要注意挖掘隐含条件 利用性质 特别是 若m n p q m n p q n 则am an ap aq 可以减少运算量 提高解题速度 2 在应用相应性质解题时 要注意性质成立的前提 有时需要进行适当变形 此外 解题时注意对设而不求思想的运用 2 1已知x y z r 若 1 x y z 3成等比数列 则xyz的值为 a 3b 3c 3d 3 答案c由题意知y2 3 y 又 y与 1 3符号相同 y 又y2 xz 所以xyz y3 3 c 2 2记等比数列 an 的前n项积为tn n n 已知am 1 am 1 2am 0 且t2m 1 128 则m的值为 a 4b 7c 10d 12 答案a因为 an 是等比数列 所以am 1am 1 故由am 1am 1 2am 0 可知am 2 am 0舍去 由等比数列的性质可知前 2m 1 项积t2m 1 22m 1 128 故m 4 a 典例3 2016北京西城二模 已知数列 an 的前n项和sn满足4an 3sn 2 其中n n 1 求证 数列 an 为等比数列 2 设bn an 4n 求数列 bn 的前n项和tn 考点三等比数列的判定与证明 方法技巧证明数列 an 各项不为零 是等比数列的常用方法 一是定义法 证明 q n 2 q为非零常数 二是等比中项法 证明 an 1 an 1 n 2 若判定一个数列不是等比数列 则可以举反例 也可以用反证法 3 1 2017北京朝阳一模 已知数列 an 满足a1 1 an 1 an 设bn n n 1 证明 bn 是等比数列 2 求数列 log