赋值法在解数学竞赛题中的应用.pdf

中等数学 賦 值法在解数学竞赛题中的应用 刘东华 天津市南开中学 中图分类号 文献标识码 文章编号 数学竞赛是培养学生数学 兴趣的重要途径次 规定 则 最终变为 竞赛题思考性强有助于学生创 造性思维的培养 十 其中有 一类数学问题 若用常规的思考方式解答 从而所有数变 为相等 且对相邻顶点对 往往捉襟见肘 此时只需转换思路 经过添加 一个 的操作次数 赋值使问题迎刃而解 下面举例说明 矣 例 在正 边形的每个顶点处各放置 符合题目要求 了 一个不超过 的非负整数给某两个相邻顶 例将棋盘 由列方格构成 点处的数分别加 称作对这两个相邻顶点的 英 的所有小方格均染上红蓝两色之 对邻 若两个相邻有公共边的 小方格异色 则称这两 左 次操作求 的最小值 使得 一定可 以将所有顶 水丨 卡故士水 碎麻科 点处的数变雌此全相等 县县 第 届俄罗斯数学奥林匹克 色确定 什么情形下 为奇数 什么情形下为 解 孙的粉优淹韦 偶数 说明理由 设顶点 处的数依次为 第四届中国西 部数 学奥林匹克 解把所有方格分成三类 第类方格位于 对每次操作赋值 難讓賴 純好 細胁 不包括四个角 上 其余的方格为第三类 若对相邻顶点对 岑 毛 操作 一次 则 增 将所有红色方格填上数 所有蓝色方格填 加 上数 若对相邻顶点对 操作 一次 则 记第 一类方格 中的填数分别为 七 减少 第二类 方格中的填数 分别为巧 巧 若对其他相邻顶点对 操作 一次 则保持不变第三类 方格中的填 数 分别为 初始时 最终时 于是 至少要对相邻顶点对 次 毛操作彳任意两个相邻的方格 在其公共边上标上 次 这两个方格中填数的积 从而 设所有公共边上的标数的积为 其次证明 对任意初 始状态 对每个第一类方格它有两个邻格 从而其 各 一定可 以通过至多次 填数在丑中贡献两次 操作 将所有的数变为相等 对每个第二类方格它有三个邻格 从而 其 事实上 对相邻顶点对 操作 填数在 中贡献三次 对每个第三类方格它有四个邻格 从而 其 收稿日期 填数在好中贡献四次 年第期 故 其中 当时 好 故有偶数个标准对 当 时 故有奇数个标准对 这表明 的奇偶性由第二类方格的颜色所 乂 故当第二类方格中有奇数个蓝色格时 为奇 数当第二类方格有偶数个蓝色格时 为偶数 闻 例如图平面上由边长为的正三角形开始时 构成 一个无穷 的三角形网络 三角形的顶点成为而由规则知任意 一轮跳跃不改变青蛙 所 格点距离为的格点为相邻格点 在格点的值与青蛙所在格点的值之比值 若最终青蛙 能交换位置则 士 矛盾所以 不能做到 例有张书签 每张书签 一面 为白色 另 一 面为黑色将它们排成 一排 且所有的书签的白 色 一面朝上 每次操作 若可能的话 是拿掉 一张 两只青蛙进行跳跃游戏 白色的面朝上的书签 非最靠边的书签 并将与 一次跳跃 是指青蛙从所在的格点跳至相 这张书签相邻的两张书签翻到另 面证明 能够 邻的格点 使得只剩下两张书签的充分必要 条件是 不 青蛙 的 一轮跳跃 是指其按下列规则 进行的青蛙先青蛙后的跳跃 第 届预选题 规则 青蛙任意跳 一次 则青蛙 沿与 证明 将白色的面朝上的书签称为 白书 相同的跳跃方向跳跃 一次 或沿与之相反的跳跃 签 反之称为 黑书签 则在所有可能的操作 方向跳跃两次 后 黑书签的数目的奇偶性始终不变 规则当青蛙 所在的格点相邻时它们 剩下两张书签 则这两张书签的颜色相同 可执行规则 完成 一轮跳跃 也可由青蛙 连跳 若 一张书签 的左边有 张黑书签则在该白 两次 每次跳跃均保持与青蛙 相邻 而青蛙 书签上放置数 只在白书签上放置数 则留在原地不动 设是白书签上所放置的数的和 若青蛙义的初始位置为两个相邻的格点 只需证明 在可能的操作下 是不变量 能否经过有限轮跳跃 使青蛙恰位于对方的 任意选 择 一张 白书签 且设拿掉 之前其 初始位置上 左边有张黑书签 中国国家集训队测试 若 的两张相邻书签均为黑书签则拿掉 解 不 可能 后 白书签上放置的数之和增加了 不妨设青蛙 在右方与之相邻的格点上 现为每个格点赋值 先取青蛙初始所在 格 因此 模没有改变 点 将此格点賦值为 以后赋值规则为 任意 一 若 的两张相邻书签均为白书签 则拿掉 个格点所賦之值是 其左边相邻格点处的值乘以 后 白书签上放置的数之和增加了 又是斜左下方与之相邻格点处的值乘以 出 知 因此模没有改变 所有格点赋值分布如图其中 一 若麵张相邻的书签为左黑右白 则拿掉 中等数 学 斯后 白书签上放置的数之和增加了 则上述每 一种策略对应一个 元有序数组 因此 模没有改变 擦去所有的 若 的两张相邻的书签为左白右黑 则拿掉 其中 擦去所有的 妒后 白书签上放置的数之和增加了 广 对赋值 则所有种策賴赋值之和为 因为开始时是张白书签 所以 若最后剩下两张书签则当是两张白书签时 当是两张黑书签时 对于黑板上的每 一个数 和每种策略 定义 因此或 即 卞 在数对中得 一分 若 不被整除 当时每次选择最 巾 左边的可以进行操作的书签 连续进行次操作 后则剩下 张白书签 没有黑书签 这称为 卜 一轮操作 对张白书签 经过若干轮上述操作后 得到 只剩下或张白书签的局面 此时 至多再 丄 操作 一次 得到只剩下两张白书签的局面 例 黑板上有对非零整数 对于每个整 数 与 至多有 一对出 现在黑板 若 则 上 一学生擦去这 个整数中的某 一些 使得被 擦去的数中任两个数之和不为零规定 若这 对整数中的某 一对至少有一个数被擦去 则该学 生就得分 求该学生得分的最大值 若 则 外 難数学奥林匹克 解 首先证明 一定可以得到 分 设黑板上所有的数的绝对值构成的集合为 丄 则 不妨设 黑板上没有形如 乂 的数对 否则将 与 义互换即可 八 令沪 二 贝 识 考虑 种 不同的策 略 擦数方式 每种策 若 略中 要么将所有的擦去 要么将所有的 山 二 广一他穿 对 将所有形如 丄 识 的数对用 代替后 每种 策略的最终得到分 数不咖 一 知 从而 不妨设所有数对均具有 注意到 故 的 于是 n 一 年第期 与 数 字和的狗造问题 有 关的两 个 引理 武柄 杰 复旦大学数学科学学院 级研究生 中 分类号文献标识码 文章编号 有关数字和的问题 当对题目进行灵活多样 引理的证明 记 则 的构造时常给题目提升了很大的难度本文旨在 通过两个简单的引理 串连起 系列此类问题的 构造方法 用表示数字在 十进制表示下的数字所以 和则 一个直接的运用 例计算 其中 表示不超过实数欠的最大整数 由表达式 可直接得到结论 美国数学奥林匹克 分析 熟知引理 且稍有 一 点数量级概念 的话 一下子便能得到答案了 的局部连续性 解设 则 当时 当 且 时 利用引理得 下面分别简述两个引理及其证明 觀 似 则 收稿日期卿务 例 证明 对于任意的自然 存在无穷 若如上每种策略均至多得分 则从而 该学生至多得 分 由分 士卜呈 知当或 与式 矛盾时 取最大值 故必有 一种策略至少可以得 分综上 得分最大值为 其次构造对数 使得学生至多得分参考文献 对于每个 构造对数 这 丨 第 届俄罗斯数 学奥林匹克 十年级 中等