【全程复习方略】高考数学二轮复习 专题辅导与训练 解答题规范训练（三）.doc

【全程复习方略】2015高考数学二轮复习 专题辅导与训练 解答题规范训练（三） (建议用时:45分钟)1.在数列an中,a1=3,an=2an-1+n-2(n2,且nn*).(1)求a2,a3的值.(2)证明:数列an+n是等比数列,并求an的通项公式.(3)求数列an的前n项和sn.【解析】(1)令n=2,a2=2a1=6,令n=3,a3=2a2+1=13.(2)an+nan-1+(n-1)=2an-1+n-2+nan-1+n-1=2,所以数列an+n是首项为4,公比为2的等比数列,an+n=42n-1,所以an=2n+1-n.(3)因为数列an的通项公式an=2n+1-n,sn=(22+23+2n+1)-(1+2+n)=4(1-2n)1-2-n(n+1)2=2n+2-n2+n+82.【加固训练】已知数列an满足:a1=1,an+1=an2an+1(nn*),数列bn的前n项和sn=12-1223n(nn*).(1)求数列an和bn的通项公式.(2)设cn=bnan,是否存在mn*,使cm9成立?并说明理由.【解析】(1)由an+1=an2an+11an+1=1an+2,所以1an=1+2(n-1)=2n-1,an=12n-1(nn*).由sn=12-1223n及sn-1=12-1223n-1(n2),可得bn=sn-sn-1=423n-1(n2),令n=1,则b1=s1=12-1223=4也满足上式,所以bn=423n-1(nn*).(2)cn=bnan=(2n-1)423n-1=4(2n-1)23n-1,设cm为数列cn中的最大项,则cmcm-1,cmcm+14(2m-1)23m-14(2m-3)23m-2,4(2m-1)23m-14(2m+1)23m(2m-1)232m-3,2m-1(2m+1)23m72,m52,所以m=3.即c3为cn中的最大项.因为c3=20232=8099,所以不存在mn*,使cm9成立.2.(2014温州模拟)设an是公差不为零的等差数列,sn为其前n项和,满足:a22+a32=a42+a52,s7=7.(1)求数列an的通项公式.(2)求数列an的前n项和tn.(3)试求所有的正整数m,使得amam+1am+2为数列an中的项.【解析】(1)设公差为d,则a22-a52=a42-a32,由性质得-3d(a4+a3)=d(a4+a3).因为d0,所以a4+a3=0,即2a1+5d=0.又由s7=7得7a1+762d=7,即a1+3d=1.联立解得a1=-5,d=2,所以an=2n-7(nn*).(2)由(1)知,当n3时,an3时,an0.sn=n(a1+an)2=n(-5+2n-7)2=n2-6n.所以当n3时,tn=-sn=-n2+6n;当n3时,tn=-s3+(sn-s3)=sn-2s3=(n2-6n)-2(-9)=n2-6n+18.综上,tn=-n2+6n(n3),n2-6n+18(n3).(3)amam+1am+2=(2m-7)(2m-5)2m-3,令2m-3=t,则amam+1am+2=(t-4)(t-2)t=t+8t-6.故t为8的约数,又因为t是奇数,所以t的可能取值为1.当t=1时,m=2,a2a3a4=3=25-7是数列an中的第5项;当t=-1时,m=1,a1a2a3=-15=2(-4)-7不是数列an中的项.所以满足条件的正整数m=2.【加固训练】已知ab,且a2-a-6=0,b2-b-6=0,数列an,bn满足a1=1,a2=-6a,an+1=6an-9an-1(n2,nn*),bn=an+1-ban(nn*).(1)求证数列bn是等比数列.(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)因为a0,所以an-an-1=2.当n=1时,(a1-1)(a1+3)=4a1,所以(a1+1)(a1-3)=0.又a10,所以a1=3,所以数列an是以3为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1),a1=3,d=2,所以an=2n+1.设bn=4an2-1,nn*;因为an=2n+1,所以an2-1=4n(n+1),bn=44n(n+1)=1n(n+1)=1n-1n+1,所以tn=b1+b2+b3+bn=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.5.已知数列an的前n项和sn=an+n2-1,数列bn满足3nbn+1=(n+1)an+1-nan,且b1=3.(1)求an,bn.(2)设tn为数列bn的前n项和,求tn,并求满足tn7时n的最大值.【解析】(1)当n2时,sn=an+n2-1,sn-1=an-1+(n-1)2-1,两式相减,得an=an-an-1+2n-1,所以an-1=2n-1,所以an=2n+1,所以3nbn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3,所以bn+1=4n+33n,所以当n2时,bn=4n-13n-1,又b1=3符合上式,所以bn=4n-13n-1.(2)由(1)知,bn=4n-13n-1,所以tn=31+73+1132+4n-53n-2+4n-13n-1,13tn=33+732+1133+4n-53n-1+4n-13n,-,得23tn=3+43+432+43n-1-4n-13n=3+4131-13n-11-13-4n-13n=5-4n+53n,所以tn=152-4n+523n-1,tn-tn+1=4(n+1)+523n-4n+523n-1=-(4n+3)3n0,所以tntn+1,即tn为递增数列.又t3=5997,所以当tn0,n3时,(*)不成立;当a0时,(*)等价于(n-3)(n+3)a+20(*)当n=3时,(*)成立.当n4时,有(n+3)a+20,即a-2n+3恒成立,所以a-27.当n=1时,有4a+20,a-12.当n=2时,有5a+20,a-25.综上,a的取值范围是-25,-27.(3)当t1时,sn=a(1-tn)1-t,bn=a(1-tn)1-t+1=1+a1-t-atn1-t,cn=k+n+an1-t-at(1-tn)(1-t)2=atn+1(1-t)2+1+a-t1-tn+k(1-t)2-at(1-t)2,所以,当1+a-t1-t=0,k(1-t)2-at(