中考数学总复习 第四章 图形的认识 4.5 特殊的平行四边形（试卷部分）课件.ppt

第四章图形的认识 4 5特殊的平行四边形 中考数学 浙江专用 1 2017宁波 12 4分 一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形 且只有标号为 和 的两个小矩形为正方形 在满足条件的所有分割中 若知道九个小矩形中n个小矩形的周长 就一定能算出这个大矩形的面积 则n的最小值是 a 3b 4c 5d 6 考点一矩形 a组2014 2018年浙江中考题组 五年中考 答案a如图 设正方形 的边长为a 正方形 的边长为b 矩形 的长为c 矩形 的宽为d 则大矩形的长和宽分别是 a c b 和 a d b a c为矩形 的周长的一半 a d为矩形 的周长的一半 于是只需知道这两个矩形的周长和正方形 的周长即可算出大矩形面积 故选a 思路分析本题的难点是学生不明白这道题目考查的知识点是什么 这样的图形在我们学习乘法公式时经常会出现 本题可用字母表示小矩形的边长 进而表示出大矩形的长与宽 再利用整体思想分析即可 2 2016嘉兴 9 4分 如图 矩形abcd中 ad 2 ab 3 过点a c作相互平行的线段ae cf 分别交cd ab于点e f 若ae cf之间的距离为2 则de的长是 a b c 1d 答案d作fg ae于g 由题意知fg 2 d 90 agf dae与 gaf互余 gaf与 gfa互余 dae gfa 又ad fg 2 ade fga asa af ae ab dc ae fc 四边形aecf为平行四边形 af ec ae ec dc 3 de ae 3 在rt ade中 ad2 de2 ae2 22 de2 3 de 2 解这个方程 得de 故选d 关键提示本题考查了矩形的性质 全等三角形的判定与性质 平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识 解题的关键是将ae用含de的式子表示出来 进而利用勾股定理求得de 3 2018湖州 13 4分 如图 已知菱形abcd 对角线ac bd相交于点o 若tan bac ac 6 则bd的长是 答案2 解析 四边形abcd是菱形 ac db tan bac 又 ac 6 bd 2 故答案是2 4 2018杭州 16 4分 折叠矩形纸片abcd时 发现可以进行如下操作 把 ade翻折 点a落在dc边上的点f处 折痕为de 点e在ab边上 把纸片展开并铺平 把 cdg翻折 点c落在线段ae上的点h处 折痕为dg 点g在bc边上 若ab ad 2 eh 1 则ad 答案3 2 解析设ad x x 0 则ab x 2 把 ade翻折 点a落在dc边上的点f处 df ad ea ef 又 dfe a 90 四边形aefd为正方形 ae ad x 把 cdg翻折 点c落在线段ae上的点h处 折痕为dg 点g在bc边上 dh dc x 2 he 1 ah ae he x 1 在rt adh中 ad2 ah2 dh2 x2 x 1 2 x 2 2 整理得x2 6x 3 0 解得x1 3 2 x2 3 2 舍去 ad 3 2 方法总结本题考查了折叠的性质 折叠是一种对称变换 它属于轴对称 折叠前后图形的形状和大小不变 位置变化 对应边和对应角相等 同时本题也考查了矩形的性质和勾股定理 5 2015宁波 15 4分 命题 对角线相等的四边形是矩形 是命题 填 真 或 假 答案假 解析对角线相等的平行四边形是矩形 而对角线相等的四边形也可能是等腰梯形 故命题 对角线相等的四边形是矩形 是假命题 6 2017丽水 24 12分 如图 在矩形abcd中 点e是ad上的一个动点 连接be 作点a关于直线be的对称点f 且点f落在矩形abcd的内部 连接af bf ef 过点f作gf af交ad于点g 设 n 1 求证 ae ge 2 当点f落在ac上时 用含n的代数式表示 3 若ad 4ab 且以点f c g为顶点的三角形是直角三角形 求n的值 解析设ae a 则ad na 1 由对称知ae fe eaf efa gf af eaf fga efa efg 90 fga efg eg ef ae eg 图1 2 当点f落在ac上时 如图1 由对称知be af abe bac 90 dac bac 90 abe dac bae d 90 abe dac ab dc ab2 da ae na2 ab 0 ab a 图2 3 若ad 4ab 则ab a 当点f落在线段bc上时 如图2 ef ae ab a 此时a a n 4 当点f落在矩形内部时 n 4 点f落在矩形内部 点g在ad上 fcg bcd fcg 90 当 cfg 90 时 点f落在ac上 由 2 得 n 16 fcg 90 当 cfg 90 时 点f落在ac上 由 2 得 n 16 图3 当 cgf 90 时 如图3 则 cgd agf 90 fag agf 90 cgd fag abe bae d 90 abe dgc ab dc dg ae dg ad ae eg na 2a n 2 a n 2 a a 解得n 8 4或n 8 4 舍 综上 当n 16或n 8 4时 以点f c g为顶点的三角形是直角三角形 关键提示 1 利用等角的余角相等得出 fga efg 从而得出eg ef 2 判断出 abe dac 进而列出比例式 3 判断出只有 cfg 90 和 cgf 90 两种情况 7 2017衢州 24 12分 在直角坐标系中 过原点o及点a 8 0 c 0 6 作矩形oabc 连接ob 点d为ob的中点 点e是线段ab上的动点 连接de 作df de 交oa于点f 连接ef 已知点e从a点出发 以每秒1个单位长度的速度在线段ab上移动 设移动时间为t秒 1 如图1 当t 3时 求df的长 2 如图2 当点e在线段ab上移动时 def的大小是否发生变化 如果变化 请说明理由 如果不变 请求出tan def的值 3 连接ad 当ad将 def分成的两部分的面积之比为1 2时 求相应的t值 解析 1 当t 3时 点e为ab的中点 点d为ob的中点 de oa de oa 4 四边形oabc是矩形 oa ab de ab oab dea 90 又 df de edf 90 四边形dfae是矩形 df ae 3 图1 2 def的大小不变 如图1 作dm oa于m dn ab于n 四边形oabc是矩形 oa ab 四边形dman是矩形 mdn 90 dm ab dn oa 点d为ob的中点 m n分别是oa ab的中点 dm ab 3 dn oa 4 edf 90 mdn fdm edn 又 dmf dne 90 dmf dne edf 90 tan def 3 作dm oa于m dn ab于n 设ad交ef于点g 因ad将 def分成面积之比为1 2的两部分 则点g为ef的三等分点 图2 当点e到达ab的中点之前时 如图2所示 ne 3 t 由 dmf dne得mf 3 t af 4 mf t 点g为ef的三等分点 g 设直线ad的解析式为y kx b k 0 把a 8 0 d 4 3 代入 得解得 直线ad的解析式为y x 6 把g代入 得t 图3 当点e越过ab的中点之后 如图3所示 ne t 3 由 dmf dne得mf t 3 af 4 mf t 点g为ef的三等分点 g 代入直线ad的解析式y x 6 得t 综上所述 当ad将 def分成的两部分的面积之比为1 2时 t的值为或 8 2016台州 19 8分 如图 点p在矩形abcd的对角线ac上 且不与点a c重合 过点p分别作边ab ad的平行线 交两组对边于点e f和点g h 1 求证 phc cfp 2 证明四边形pedh和四边形pfbg都是矩形 并直接写出它们面积之间的关系 解析 1 证明 四边形abcd是矩形 ab cd ad bc 又 ef ab gh ad ef cd gh bc cpf hcp cph pcf 2分 pc pc phc cfp 4分 2 由 1 知ab ef cd ad gh bc 四边形pedh和四边形pgbf都是平行四边形 5分 四边形abcd是矩形 d b 90 6分 四边形pedh和四边形pgbf都是矩形 7分 s矩形pedh s矩形pfbg 8分 评析本题考查了矩形的判定及性质 全等三角形的判定以及平行线的性质 属于中档题 9 2016丽水 24 12分 如图 矩形abcd中 点e为bc上一点 f为de的中点 且 bfc 90 1 当e为bc中点时 求证 bcf dec 2 当be 2ec时 求的值 3 设ce 1 be n 作点c关于de所在直线的对称点c 连接fc af 若点c 到af的距离是 求n的值 解析 1 证明 在矩形abcd中 dce 90 f是rt dce斜边de的中点 cf ef fec fce 又 bfc 90 且e为bc的中点 ef ec cf ce 在 bfc与 dce中 bfc dce fc ce fcb ced bfc dce 2 设ce a 由be 2ce 得be 2a bc 3a fec fce bfc dce 90 bfc dce ed2 3a2 ed2 6a2 dc a 3 过c 作c h af于点h 连接cc 交ef于m 如图 ad bc adf cef 又 cef bcf adf bcf ad bc fd fc adf bcf afd bfc 90 又 c h af c c ef c hf c mf 90 hfe 四边形c mfh是矩形 fm c h 设em x 则fc fe x 在rt emc和rt fmc中 由勾股定理得ce2 em2 cf2 fm2 12 x2 解得x1 x2 舍去 由 2 得 将ce 1 be n代入计算 得cf 解得n 4 方法指导 1 利用asa证明 2 设ce a 用含a的式子表示cd与bc 进而求比值 3 作辅助线 利用全等三角形 勾股定理求解 评析本题考查了矩形的性质与判定 全等三角形的判定与性质 直角三角形斜边上的中线性质 勾股定理 相似三角形的判定与性质等知识 本题综合性强 难度较大 证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键 10 2015绍兴 24 14分 在平面直角坐标系中 o为原点 四边形oabc的顶点a在x轴的正半轴上 oa 4 oc 2 点p 点q分别是边bc 边ab上的点 连接ac pq 点b1是点b关于直线pq的对称点 1 若四边形oabc为矩形 如图1 求点b的坐标 若bq bp 1 2 且点b1落在oa上 求点b1的坐标 2 当四边形oabc为平行四边形 如图2 且oc ac时 过点b1作b1f x轴 与对角线ac 边oc分别交于点e 点f 若b1e b1f 1 3 点b1的横坐标为m 求点b1的纵坐标 并直接写出m的取值范围 解析 1 b 4 2 如图 过点p作pd oa 垂足为点d bq bp 1 2 点b关于pq的对称点为b1 b1q b1p 1 2 pdb1 pb1q b1aq 90 pb1d b1qa pb1d b1qa 2 b1a 1 ob1 3 即b1 3 0 2 四边形oabc为平行四边形 oa 4 oc 2 且oc ac oac 30 c 1 b1e b1f 1 3 点b1不与点e f重合 也不在线段ef的延长线上 当点b1在线段fe的延长线上时 如图 延长b1f与y轴交于点g 点b1的横坐标为m b1f x轴 b1g m 设og a 则gf a of a cf 2 a b1f x轴 cef cao 30 fe 4 a b1e b1f 1 3 b1e ef b1e 2 a b1g b1e ef fg a m a m 即b1的纵坐标为 m m的取值范围是 m 1 当点b1在线段ef 除点e f 上时 如图 延长b1f与y轴交于点g 点b1的横坐标为m b1f x轴 b1g m 设og a 则gf a of a cf 2 a fe 4 a b1e b1f 1 3 b1f ef 3 a b1g b1f fg 3 a a m a m 即点b1的纵坐标为 m m的取值范围是 m 3 方法指导 1 根据oa 4 oc 2可直接得点b的坐标 利用相似三角形求解 2 分点b1在线段fe的延长线上和线段ef上两种情况进行讨论 1 2015衢州 8 3分 如图 已知某广场菱形花坛abcd的周长是24米 bad 60 则花坛对角线ac的长等于 a 6米b 6米c 3米d 3米 考点二菱形 答案a设ac与bd的交点为o 四边形abcd为菱形 ac bd oa oc ob od ab bc cd ad 24 4 6 米 bad 60 abd为等边三角形 bd ab 6 米 od ob 3 米 在rt aob中 根据勾股定理得oa 3 米 则ac 2oa 6 米 故选a 评析此题考查了勾股定理 菱形的性质 以及等边三角形的判定与性质 熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键 2 2015台州 9 4分 如图 在菱形abcd中 ab 8 点e f分别在ab ad上 且ae af ae eb 过点e作eg ad交cd于点g 过点f作fh ab交bc于点h eg与fh交于点o 当四边形aeof与四边形cgoh的周长之差为12时 ae的值为 a 6 5b 6c 5 5d 5 答案c由题意可得四边形aeof与四边形cgoh都是菱形 设ae x 则oh 8 x 所以4x 4 8 x 12 整理得8x 44 即x 5 5 故选c 3 2014杭州 5 3分 下列命题中 正确的是 a 梯形的对角线相等b 菱形的对角线不相等c 矩形的对角线不能互相垂直d 平行四边形的对角线可以互相垂直 答案d当平行四边形是菱形时 对角线互相垂直 故选d 4 2016丽水 15 4分 如图 在菱形abcd中 过点b作be ad bf cd 垂足分别为点e f 延长bd至g 使得dg bd 连接eg fg 若ae de 则 答案 解析如图 连接ac ef 在菱形abcd中 ac bd be ad ae de ab bd ab ad ab bd ad abd是等边三角形 adb 60 设ef与bd交于点h ac与bd交于点o ab 4x ae de 由菱形的对称性可知cf df ef是 acd的中位线 dh do bd x 在rt edh中 eh dh x dg bd gh bd dh 4x x 5x 在rt egh中 eg 2x 故答案为 关键提示本题考查了菱形的性质 等边三角形的判定与性质 勾股定理 三角形中位线的性质 关键在于作辅助线构造出直角三角形及三角形中位线 5 2016台州 15 5分 如图 把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转90 旋转前后的两个菱形构成一个 星形 若菱形的一个内角为60 边长为2 则该 星形 的面积是 答案6 6 解析如图 过e作ef ac于点f 四边形abcd为菱形 ab 2 bad 60 bao 30 aob 90 ao ab cos bao bo ab sin bao 1 同理 a o d o 1 ad ao d o 1 a d o 90 30 60 bao 30 aed 30 ead d e ad 1 在rt ed f中 ed 1 ed f 60 ef ed sin ed f 星形 的面积s s菱形abcd 4s ad e 2ao 2bo 4 ad ef 6 6 故填6 6 思路分析 星形 可看作由一个菱形和四个全等的小三角形构成 菱形的面积容易求得 故关键是求小三角形的面积 这可通过作高求解 6 2015温州 16 5分 图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品 该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成 不重叠 无缝隙 图乙中 ef 4cm 上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2 其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到 则该菱形的周长为cm 答案 解析如图 连接mn pq 设mn 2xcm pq 2ycm 可设ab 6kcm k 0 则bc 7kcm 上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2 2 3k 54 6k 7k 即 2x 7k 3k 54 42k2 易知四边形denm 四边形afmn是平行四边形 de af mn 2xcm ef 4cm 4x 4 7k 即2x 将 代入 得 3k 54 42k2 化简得7k2 4k 36 0 解得k1 2 k2 舍去 ab 12cm bc 14cm x mn 5cm 易证 mcd mpq 解得y pm cm 菱形mpnq的周长为4 cm 评析本题主要考查平行四边形 菱形的性质以及相似三角形的性质 7 2015杭州 16 4分 如图 在四边形纸片abcd中 ab bc ad cd a c 90 abc 150 将纸片先沿直线bd对折 再将对折后的图形沿从一个顶点出发的射线裁剪 剪开后的图形打开铺平 若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形 则cd 答案2 4或2 解析 四边形纸片abcd中 a c 90 abc 150 cda 30 根据题意对折 裁剪 铺平后有两种情况得到平行四边形 如图1 剪痕为bm bn 过点n作nh bm于点h 图1易证平行四边形bmdn为菱形 且 mbn cda 30 设bn dn x 则nh x 根据题意 得x x 2 x 2 负值舍去 bn dn 2 nh 1 易证四边形bhnc是矩形 bc nh 1 在rt bcn中 cn cd 2 如图2 剪痕为ae ce 过点b作bh ce于点h 易证平行四边形baec是菱形 且 bch 30 设 bc ce x 则bh x 根据题意 得x x 2 x 2 负值舍去 bc ce 2 bh 1 在rt bch中 ch eh 2 易证 bcd ehb 即 cd 2 4 2 图2 综上所述 cd 2 或4 2 方法指导根据题意画图 得出符合题意的裁剪方式有两种 再通过作平行四边形的高求解 评析本题主要考查剪纸问题 多边形内角和定理 轴对称的性质 菱形 矩形的判定和性质 含30度角的直角三角形的性质 相似三角形的判定和性质 分类思想和方程思想的应用 8 2015丽水 15 4分 如图 四边形abcd与四边形aecf都是菱形 点e f在bd上 已知 bad 120 eaf 30 则 答案 解析如图 过点e作eh ab于点h 四边形abcd与四边形aecf都是菱形 bad 120 eaf 30 abe 30 aef 75 bae 45 不妨设ae 则在等腰rt aeh中 ah eh 1 在rt beh中 bh ab 1 9 2018衢州 24 12分 如图 rt oab的直角边oa在x轴上 顶点b的坐标为 6 8 直线cd交ab于点d 6 3 交x轴于点c 12 0 1 求直线cd的函数表达式 2 动点p在x轴上从点 10 0 出发 以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动 过点p作直线l垂直于x轴 设运动时间为t 点p在运动过程中 是否存在某个位置 使得 pda b 若存在 请求出点p的坐标 若不存在 请说明理由 请探索当t为何值时 在直线l上存在点m 在直线cd上存在点q 使得以ob为一边 o b m q为顶点的四边形为菱形 并求出此时t的值 解析 1 设直线cd的解析式为y kx b k 0 将d 6 3 c 12 0 代入 得解得 直线cd的函数解析式为y x 6 2 存在 当点p在点a的左侧时 pda b pd ob pad oab pa oa 6 p 当点p在点a的右侧时 可得p i 以点b为圆心 bo为半径画弧交直线cd于q1 q2两点 由题意可知 bq1 bo bq2 设q 由勾股定理得 x 6 2 102 解得x1 4 x2 12 即q1 q2的横坐标分别为 4和12 易知m1 m2的横坐标分别为 10和6 又点p从点 10 0 开始运动 t1 0 t2 16 ii 以o为圆心 ob为半径画弧交直线cd于q3 q4两点 由题意可知 oq3 ob oq4 设q 由勾股定理得 x2 102 解得x1 x2 即q3 q4的横坐标分别为和 可得m3和m4的横坐标分别为和 又点p从点 10 0 开始运动 t1 t2 综上所述 当t为0或16或或时 在直线l上存在点m 使得以ob为一边 o b m q为顶点的四边形为菱形 10 2016衢州 18 6分 如图 已知bd是矩形abcd的对角线 1 用直尺和圆规作线段bd的垂直平分线 分别交ad bc于e f 保留作图痕迹 不写作法和证明 2 连接be df 问四边形bedf是什么四边形 请说明理由 解析 1 如图所示 ef为所求直线 2 四边形bedf是菱形 理由 ef垂直平分bd be de def bef ad bc def bfe bef bfe be bf 又 bf df be ed df bf 四边形bedf是菱形 11 2016杭州 23 12分 在线段ab的同侧作射线am和bn 若 mab与 nba的平分线分别交射线bn am于点e f ae和bf交于点p 如图 点点同学发现当射线am bn交于点c 且 acb 60 时 有以下两个结论 apb 120 af be ab 那么 当am bn时 1 点点发现的结论还成立吗 若成立 请给予证明 若不成立 请求出 apb的度数 写出线段af be ab长度之间的等量关系 并给予证明 2 设点q为线段ae上一点 qb 5 若af be 16 四边形abef的面积为32 求aq的长 解析 1 原结论不成立 新结论 apb 90 af be ab 或af be 2ab 理由如下 如图 因为am bn 所以 mab nba 180 因为ae bf分别平分 mab nba 所以 eab mab fba nba 所以 eab fba mab nba 90 所以 apb 90 因为ae平分 mab 所以 mae bae 因为am bn 所以 mae bea 所以 bae bea 所以ab be 同理 af ab 所以af be ab 或af be 2ab 2 过点f作fg 直线ab于点g 因为af be af be 所以四边形abef为平行四边形 由 1 知af ab 所以四边形abef为菱形 又af be 16 所以ab af be 8 由32 8fg 得fg 4 又因为af 8 所以 fag 60 当点g在线段ab上时 fab 60 当点g在线段ba的延长线上时 fab 120 如图 当 fab 60 时 pab 30 所以pb 4 pa 4 因为bq 5 bpa 90 所以pq 3 所以aq 4 3或aq 4 3 如图 当 fab 120 时 pab 60 fbg 30 所以pb 4 因为pb 4 5 则线段ae上不存在符合条件的点q 综上 aq 4 3或4 3 方法指导对于 1 利用角平分线和平行线的性质求解 对于 2 过点f作fg 直线ab于点g 根据条件求出af fg 从而推出 fag 60 然后根据点g的不同位置 分 fab 60 和 fab 120 两种情况进行讨论 评析本题是角平分线的性质 平行线的性质 菱形的判定和性质及勾股定理的综合应用 12 2014杭州 22 12分 菱形abcd的对角线ac bd相交于点o ac 4 bd 4 动点p在线段bd上从点b向点d运动 pf ab于点f 四边形pfbg关于bd所在直线对称 四边形qedh与四边形pfbg关于ac所在直线对称 设菱形abcd被这两个四边形盖住部分的面积为s1 未被盖住部分的面积为s2 bp x 1 用含x的代数式分别表示s1 s2 2 若s1 s2 求x的值 解析 1 在rt abo中 由tan abo 得 abo 60 因为bp x 所以bf fp 菱形abcd的面积等于ac bd 8 当0 x 2时 s1 s2 8 当2 x 4时 四边形pfbg的面积等于 又因为po x 2 mn 所以 pmn的面积等于 所以五边形bgnmf的面积等于 所以s1 2 8 s2 2 当0 x 2时 由s1 s2 即 8 解得x 2 舍去 当2 x 4时 由s1 s2 即 8 解得x 8 2或x 8 2 舍去 所以当x 8 2时 s1 s2 1 2017温州 9 4分 四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形abcd 过各较长直角边的中点作垂线 围成面积为s的小正方形efgh 已知am为rt abm较长直角边 am 2ef 则正方形abcd的面积为 a 12sb 10sc 9sd 8s 考点三正方形 答案c如图 由题意知an nm 四个白色的四边形为全等的矩形 即ak kn ef fq kn fq ak ef bm ef 因为am 2ef ab2 bm2 am2 所以ab2 9ef2 所以s正方形abcd ab2 9ef2 9s 故选c 2 2016台州 9 4分 小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形 她对折了 a 1次b 2次c 3次d 4次 答案b如图 把原丝巾沿ac对折 展开后再沿ef对折 如果对折这两次使 abc与 adc 四边形aefd与四边形befc分别重合 则表明该丝巾的形状是正方形 理由 由 abc与 adc完全重合 得ab ad bc cd b d 由四边形aefd与四边形befc完全重合 得ad bc a b d c ab ad bc cd ad bc ab ad bc cd 四边形abcd是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 b d a b d c b d c a a b c d 90 四边形abcd是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 四边形abcd是正方形 故选b 关键提示既是菱形又是矩形的四边形为正方形 评析本题考查了翻折变换的性质 菱形的判定 矩形的判定 正方形的判定 熟练掌握翻折变换的性质和正方形的判定方法是解决问题的关键 3 2014宁波 11 4分 如图 正方形abcd和正方形cefg中 点d在cg上 bc 1 ce 3 h是af的中点 那么ch的长是 a 2 5b c d 2 答案b如图 连接ac cf 在正方形abcd和正方形cefg中 bc 1 ce 3 ac cf 3 acd gcf 45 acf 90 由勾股定理得 af 2 h是af的中点 ch af 2 故选b 关键提示本题考查了 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 这一性质 正方形的性质 勾股定理 熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键 4 2018杭州 23 12分 如图 在正方形abcd中 点g在边bc上 不与点b c重合 连接ag 作de ag于点e bf ag于点f 设 k 1 求证 ae bf 2 连接be df 设 edf ebf 求证 tan ktan 3 设线段ag与对角线bd交于点h ahd和四边形cdhg的面积分别为s1和s2 求的最大值 解析 1 证明 因为四边形abcd是正方形 所以 baf ead bad 90 又因为de ag 所以 aed 90 所以 ead ade 90 所以 ade baf 又因为bf ag 所以 dea afb 90 又因为ad ab 所以rt dae rt abf 所以ae bf 2 证明 易知rt bfg rt dea 所以 在rt def中 tan 在rt bef中 tan 所以ktan tan 所以tan ktan 3 设正方形abcd的边长为1 则bg k 所以 abg的面积等于k 易知 ahd ghb 所以 k 所以s1 所以s2 1 k 所以 k2 k 1 因为0 k 1 所以当k 即点g为bc中点时 有最大值 思路分析 1 利用同角的余角相等确定相等的角 再证rt dae rt abf 从而有ae bf 2 易知rt bfg rt dea 再由三角函数定义转化关系即可 3 设正方形abcd的边长为1 则bg k 用k表示出s1 s2 确定关于k的函数关系式后求其最值 方法总结本题以正方形为背景 考查全等三角形 相似三角形的判定与性质及三角函数等内容 同时涉及二次函数的最值问题 知识点较多 需综合应用 5 2017杭州 21 10分 如图 在正方形abcd中 点g在对角线bd上 不与点b d重合 ge dc于点e gf bc于点f 连接ag 1 写出线段ag ge gf长度之间的等量关系 并说明理由 2 若正方形abcd的边长为1 agf 105 求线段bg的长 解析 1 ag2 ge2 gf2 理由如下 连接gc 由正方形性质知ad cd adg cdg 在 adg和 cdg中 所以 adg cdg 所以ag cg 由题意知 gec gfc dcb 90 所以四边形gfce为矩形 所以gf ec 在rt gec中 根据勾股定理 得gc2 ge2 ec2 所以ag2 ge2 gf2 2 作ah bd于点h 由题意知 agb 60 abg 45 所以 abh为等腰直角三角形 agh为含30 角的直角三角形 因为ab 1 所以ah bh hg 所以bg bh hg 6 2016杭州 21 10分 如图 已知四边形abcd和四边形defg为正方形 点e在线段dc上 点a d g在同一条直线上 且ad 3 de 1 连接ac cg ae 并延长ae交cg于点h 1 求sin eac的值 2 求线段ah的长 解析 1 由题意知ec 2 ae 过点e作em ac于点m 所以 emc 90 易知 acd 45 所以 emc是等腰直角三角形 所以em 所以sin eac 2 在 gdc与 eda中 所以 gdc eda 所以 gcd ead 又因为 hec dea 所以 ehc eda 90 所以ah gc 则有s agc ag dc gc ah 所以 4 3 ah 所以ah 思路分析 1 作em ac于m 由于sin eac 故求出em ae即可解决问题 2 先证明 gdc eda 得 gcd ead 进而推出ah gc 则有s agc ag dc gc ah 由此可求出ah 评析本题是正方形与三角形的综合题 涉及等腰直角三角形和三角函数 全等三角形的判定与性质 以及利用等积法求线段的长度 7 2016衢州 23 10分 如图1 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 1 概念理解 如图2 在四边形abcd中 ab ad cb cd 问四边形abcd是垂美四边形吗 请说明理由 2 性质探究 试探索垂美四边形abcd两组对边ab cd与bc ad之间的数量关系 猜想结论 要求用文字语言叙述 写出证明过程 先画出图形 写出已知 求证 3 问题解决 如图3 分别以rt acb的直角边ac和斜边ab为边向外作正方形acfg和正方形abde 连接ce bg ge 已知ac 4 ab 5 求ge长 解析 1 是垂美四边形 理由 连接ac bd ad ab 点a在bd的垂直平分线上 cb cd 点c在bd的垂直平分线上 ac所在直线是bd的垂直平分线 ac bd 四边形abcd是垂美四边形 2 猜想结论 垂美四边形两组对边的平方和相等 已知 如图 在四边形abcd中 对角线ac bd 垂足是点e 求证 ad2 bc2 ab2 cd2 证明 ac bd aed bec aeb ced 90 ad2 bc2 de2 ae2 be2 ce2 ab2 cd2 ae2 be2 ce2 de2 ad2 bc2 ab2 cd2 3 如图 连接cg be 设ce ca分别交gb于点m n gac bae 90 bag cae ag ac ab ae bag eac agn acm cnm ang cmn nag 90 bg ce 即四边形cgeb是垂美四边形 cg2 be2 bc2 ge2 cg2 42 42 32 be2 52 52 50 bc2 52 42 9 32 50 9 ge2 ge2 73 ge 8 2015绍兴 23 12分 正方形abcd和正方形aefg有公共顶点a 将正方形aefg绕点a按顺时针方向旋转 记旋转角 dag 其中0 180 连接df bf 如图 1 若 0 则df bf 请加以证明 2 试画一个图形 即反例 说明 1 中命题的逆命题是假命题 3 对于 1 中命题的逆命题 如果补充一个条件后能使该逆命题为真命题 请直接写出你认为需要补充的一个条件 不必说明理由 解析 1 证明 如图 正方形abcd和正方形aefg中 gf ef ag ae ad ab dg be 又 dgf bef 90 dgf bef df bf 2 图形 即反例 如图 3 不唯一 如点f在正方形abcd内或 180 9 2015嘉兴 舟山 19 6分 如图 正方形abcd中 点e f分别在ab bc上 af de af和de相交于点g 1 观察图形 写出图中所有与 aed相等的角 2 选择图中与 aed相等的任意一个角 并加以证明 解析 1 与 aed相等的角是 dag afb cde 2 如图 解法一 选择 1 2 正方形abcd中 dae b 90 ad ab 又de af ade baf 1 2 解法二 选择 1 4 正方形abcd中 ab cd 1 4 解法三 选择 1 3 正方形abcd中 ad bc 3 2 又同解法一可证 1 2 1 3 10 2015衢州 24 12分 如图 在 abc中 ab 5 ac 9 s abc 动点p从a点出发 沿射线ab方向以每秒5个单位的速度运动 同时 动点q从c点出发 以相同的速度在线段ac上由c向a运动 当q点运动到a点时 p q两点同时停止运动 以pq为边作正方形pqef p q e f按逆时针排序 以cq为边在ac上方作正方形qcgh 1 求tana的值 2 设点p运动时间为t 正方形pqef的面积为s 请探究s是否存在最小值 若存在 求出这个最小值 若不存在 请说明理由 3 当t为何值时 正方形pqef的一个顶点 q点除外 落在正方形qcgh的边上 请直接写出t的值 备用图 解析 1 如图 过点b作bm ac于点m ac 9 s abc ac bm 即 9 bm 解得bm 3 由勾股定理 得am 4 则tana 2 存在 如图 过点p作pn ac于点n 依题意得ap cq 5t tana an 4t pn 3t qn ac an cq 9 9t 根据勾股定理得 pn2 nq2 pq2 s正方形pqef pq2 3t 2 9 9t 2 90t2 162t 81 在t的取值范围之内 s正方形pqef的最小值 3 如图 当点e在边hg上时 t1 如图 当点f在边hg上时 t2 如图 当点p在边qh上 或点e在边qc上 时 t3 1 如图 当点f在边cg上时 t4 思路分析 1 过点b作bm ac于点m 利用三角形面积公式求得bm的长度 再利用勾股定理得到am的长度 最后由锐角三角函数的定义进行求解 2 过点p作pn ac于点n 利用 1 中的结论和勾股定理 正方形的面积公式得到s正方形pqef关于t的二次函数 进而利用二次函数的性质求最小值 3 需要分类讨论 即分点e在边hg上 点f在边hg上 点p在边qh上 或点e在边qc上 点f在边cg上进行讨论 评析本题是正方形综合题 涉及三角形的面积公式 正方形的性质 勾股定理以及二次函数的最值的求法 其中 解答第 3 题时 要分类讨论 做到不重不漏 结合图形解题更形象 直观 1 2017安徽 10 4分 如图 在矩形abcd中 ab 5 ad 3 动点p满足s pab s矩形abcd 则点p到a b两点距离之和pa pb的最小值为 a b c 5d b组2014 2018年全国中考题组 考点一矩形 答案d如图 过p点作mn 使mn ab 作a点关于mn的对称点a1 连接pa1 a1b 则pa1 pa 设点p到ab的距离为h 由ab 5 ad 3 s pab s矩形abcd可得h 2 则aa1 4 因为pa pb pa1 pb a1b 所以当p为a1b与mn的交点时 pa pb最小 其最小值为 故选d 疑难突破本题的突破口是根据s pab s矩形abcd推出p点是在平行于ab的线段上运动 从而想到利用轴对称的性质将问题转化 2 2014河南 15 3分 如图 矩形abcd中 ad 5 ab 7 点e为dc上一个动点 把 ade沿ae折叠 当点d的对应点d 落在 abc的角平分线上时 de的长为 答案或 解析作bf平分 abc交cd于点f 作ag bf于点g 由题意知ag ab sin45 5 d 是以a为圆心 ad长为半径的圆弧与bf的交点 易知有两种情况 第一种情况 如图 图 在rt agd 中 d g bd 4 d f bf d b 5 4 作d h cd 垂足为h 在rt d fh中 易求得fh hd 1 dh df fh 3 设de x 则d e x eh 3 x 在rt ehd 中 eh2 d h2 d e2 即 3 x 2 12 x2 解得x 即d e 第二种情况 如图 图 作d h cd 垂足为h 同理求得d e 综上所述 de的长为或 关键提示本题是以矩形为载体 以折叠为背景的求线段长问题 主要考查矩形的性质 轴对称的性质 角平分线 勾股定理的运用 依据题意构造直角三角形是解题的关键 3 2018内蒙古包头 25 12分 在矩形abcd中 ab 3 bc 5 e是ad上的一个动点 1 如图a 连接bd o是对角线bd的中点 连接oe 当oe de时 求ae的长 2 如图b 连接be ec 过点e作ef ec交ab于点f 连接cf 与be交于点g 当be平分 abc时 求bg的长 3 如图c 连接ec 点h在cd上 将矩形abcd沿直线eh折叠 折叠后点d落在ec上的点d 处 过点d 作d n ad于点n 与eh交于点m 且ae 1 求的值 连接be d mh与 cbe是否相似 请说明理由 图a图b图c 解析 1 如图 连接oa 在矩形abcd中 cd ab 3 ad bc 5 bad 90 在rt abd中 bd o是bd的中点 od ob oa oad oda oe de eod ode eod ode oad ode ado 即do2 de da 设ae x 则de 5 x 5 5 x x ae 3分 2 在矩形abcd中 be平分 abc abe ebc 45 ad bc aeb ebc abe aeb ae ab 3 ae cd 3 de 2 ef ec fec 90 aef ced 90 a 90 aef afe 90 ced afe d a 90 aef dce af de 2 bf 1 如图 过点g作gk bc于点k ebc bgk 45 bk gk kcg bcf abc gkc 90 rt ckg rt cbf 设bk gk y 则ck 5 y 解得y bk gk 在rt gkb中 bg 7分 3 在矩形abcd中 d 90 ae 1 ad 5 de 4 dc 3 ec 5 根据折叠可得ed ed 4 d h dh ed h d 90 d c 1 设d h dh z 则ch 3 z 在rt hd c中 ch2 d c2 d h2 3 z 2 12 z2 解得z dh ch d n ad and d 90 d n dc emn ehd ed m ech 10分 如图 相似 理由 根据折叠可得 ehd ehd ed h d 90 md h ed n 90 end 90 ed n ned 90 md h ned d n dc ehd d mh ehd d mh d m d h ad bc ned ecb md h ecb ce cb 5 d mh cbe 12分 思路分析 1 连接oa 则oa od 易得 ode ado 即可求得ae的长 2 根据be平分 abc及ad bc可得ae ab 由 fec 90 a d 90 及ae cd 可得 aef dce 可得af 2 所以bf 1 作gk bc于点k 易得rt ckg rt cbf 利用对应边成比例列方程求得bk的值 进而求出bg的长 3 根据折叠并利用勾股定理求得dh和ch的长 依据d n dc得两对相似三角形 将求的值转化为求的值 根据条件推出d m d h md h ned ecb ce cb 则可判定 d mh cbe 解题关键本题是以矩形为载体的动点问题 主要考查了矩形的性质 相似三角形 三角形全等 勾股定理 轴对称的性质等知识 考查知识点多 难度大 关键是会用方程思想求线段的长 并会熟练应用相似三角形的判定和性质解答问题 1 2018陕西 8 3分 如图 在菱形abcd中 点e f g h分别是边ab bc cd和da的中点 连接ef fg gh和he 若eh 2ef 则下列结论正确的是 a ab efb ab efc ab 2efd ab ef 考点二菱形 答案d如图 连接ac bd交于o 四边形abcd是菱形 ac bd oa oc ob od 点e f g h分别是边ab bc cd和da的中点 ef ac eh bd eh 2ef bd 2ac ob 2oa ab oa 易知oa ef ab ef 故选d 思路分析首先根据菱形的性质得到ac bd oa oc ob od 然后根据三角形中位线定理得出ef ac eh bd 进而得到ob 2oa 最后根据勾股定理求得ab oa 即得ab ef 2 2017河北 9 3分 求证 菱形的两条对角线互相垂直 已知 如图 四边形abcd是菱形 对角线ac bd交于点o 求证 ac bd 以下是排乱的证明过程 又bo do ao bd 即ac bd 四边形abcd是菱形 ab ad 证明步骤正确的顺序是 a b c d 答案b证明 四边形abcd是菱形 ab ad 又bo do ao bd 即ac bd 所以证明步骤正确的顺序是 故选b 3 2014上海 6 4分 如图 已知ac bd是菱形abcd的对角线 那么下列结论一定正确的是 a abd与 abc的周长相等b abd与 abc的面积相等c 菱形abcd的周长等于两条对角线长之和的两倍d 菱形abcd的面积等于两条对角线长之积的两倍 答案b解法一 由题图可知s abd s菱形abcd s abc s菱形abcd 所以s abd s abc 解法二 abc和 abd是同底等高的两个三角形 所以s abc s abd 4 2018江西 22 9分 在菱形abcd中 abc 60 点p是射线bd上一动点 以ap为边向右侧作等边 ape 点e的位置随着点p的位置变化而变化 1 如图1 当点e在菱形abcd内部或边上时 连接ce bp与ce的数量关系是 ce与ad的位置关系是 2 当点e在菱形abcd外部时 1 中的结论是否还成立 若成立 请予以证明 若不成立 请说明理由 选择图2 图3中的一种情况予以证明或说理 图4 3 如图4 当点p在线段bd的延长线上时 连接be 若ab 2 be 2 求四边形adpe的面积 解析 1 相等 或bp ce 垂直 或ce ad 2 成立 证明 如图 连接ac 交bd于点o 当点p在线段od上时 四边形abcd为菱形 abc 60 ab bc abd 30 abc为等边三角形 bac 60 ab ac ape为等边三角形 ap ae pae 60 bac pac pae pac 即 bap cae 在 apb与 aec中 a